矩陣及運算(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上矩陣及其運算矩陣的概念1、形如、這樣的矩形數表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數組成的向量稱為列向量；由個行向量與個列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個數叫做矩陣的元素，在一個階矩陣中的第（）行第（）列數可用字母表示，如矩陣第3行第2個數為。4、當一個矩陣中所有元素均為0時，我們稱這個矩陣為零矩陣。如為一個階零矩陣。5、當一個矩陣的行數與列數相等時，這個矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均

2、為三階方陣。在一個階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣與矩陣的行數和列數分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當且僅當它們對應位置的元素都相等時，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對于方程組中未知數的系數按原來的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。應用舉例：例1、已知矩陣且，求、的值及矩陣。例2、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）例3、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對應的方程組：（1） （2）例

3、4、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行或兩列；（2）把某一行同乘（除）以一個非零的數；（3）某一行乘以一個數加到另一行。 顯然，通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解。應用舉例：例1、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。例2、運用矩陣變換方法解方程組：（、為常數）課堂練習：用矩陣變換方法解下列問題：（1）若方程組的解與相等，求的值。（3）解方程組：矩陣運算 （對從實際問題中抽象出來的矩陣，我們經常將幾個矩陣聯系起來，討論它們是否相等，它們在什么條件下可以進行何種運算，這些運算具有什么性質等問題

4、，這是下面所要討論的主要內容.） 1相等 定義 如果兩個矩陣，滿足： (1) 行、列數相同，即 ； (2) 對應元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個mn矩陣相等，等價于元素之間的mn個等式.）例如，矩陣A =， B = 那么A = B，當且僅當a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因為B, C這兩個矩陣的列數不同，所以無論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數都不會與矩陣B

5、相等.2加法定義2.3 設，是兩個mn矩陣，則稱矩陣C = 為A與B的和，記作C = A + B = （由定義2.3可知，只有行數、列數分別相同的兩個矩陣，才能作加法運算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A - B = A + (-B ) =稱D為A與B的差.例1 設矩陣A =， B =，求A + B，A - B. 例2、矩陣，若，求的值。 矩陣加法滿足的運算規(guī)則是什么？ 設A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗證矩陣的加法滿足以下運算規(guī)則 1. 加法交換律： A + B = B + A； 2. 加法結合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣

6、滿足： A + O = A； 4. 存在矩陣-A，滿足：A -A = A + (-A ) = O . 3數乘 定義2.4 設矩陣，為任意實數，則稱矩陣為數與矩陣A的數乘，其中，記為C =A （由定義2.4可知，數乘一個矩陣A，需要用數去乘矩陣A的每一個元素.特別地，當 = -1時，A = -A，得到A的負矩陣.） 例3 設矩陣A =，用2去乘矩陣A，求2A. 數乘矩陣滿足的運算規(guī)則是什么？ 對數k , l和矩陣A = ，B =滿足以下運算規(guī)則： 1. 數對矩陣的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩陣對數的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數與矩

7、陣的結合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數1與矩陣滿足： 1A = A. 例4 設矩陣 A =，B =，求3A - 2B. 4乘法 矩陣乘積的定義 設A=是一個ms矩陣，B=是一個sn矩陣，則稱mn矩陣C =為矩陣A與B的乘積，記作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的定義可知：） (1) 只有當左矩陣A的列數等于右矩陣B的行數時，A, B才能作乘法運算AB； (2) 兩個矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數等于左矩陣A的

8、行數，它的列數等于右矩陣B的列數； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素與B的第j列對應元素的乘積之和，故簡稱行乘列的法則. 例6 設矩陣 A = ， B = ，計算AB. 例7 設矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 由例6、例7可知，當乘積矩陣AB有意義時，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進行矩陣乘法時，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個零矩陣（AB = O），即兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當

9、AB = O，不能得出A和B中至少有一個是零矩陣的結論. 一般地，當乘積矩陣AB = AC，且AO時，不能消去矩陣A，而得到B = C.這說明矩陣乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿足下列運算規(guī)則： 1. 乘法結合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數乘結合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一個常數.例8：已知，矩陣，求。練習：計算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 例9、已知矩陣，若A=BC，求函數在1,2 上的最小值.例10：將

10、下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為與可變換，設，求所有與可交換的矩陣。課堂練習與課后作業(yè)一、選擇題1、“兩個矩陣的行數和列數相等”是“兩個矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、3、若，且，則矩陣_.4、點A（1，2）在矩陣對應的變換作用下得到的點的坐標是_5、已知是一個正三角形的三個頂點坐標所組成的矩陣，那么a+b= .6、若點A在矩陣對應的變換作用下得到的點為（1，0），那么= .7、若點A在矩陣對應的變換作用下下得到的點為（2，4），那么點A的坐標為 .8、已知，若A=B，那么+= .9、設A為二階矩陣，其元素滿足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩陣 A= .10：，且，那么A+AB= 。 11、一個線性方程組滿足，系數矩陣為單位矩陣，解為