高數(shù) 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞 高等數(shù)學(xué) 第十三講2第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo) 第二章 二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法331yx一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .此函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱如如 010yex1 ey0111yex1y0121yyxexy40),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的

2、方程)y隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 例例1 設(shè) xyy 是由方程0exyey所確定的，求.y解：解：方程兩邊同時(shí)對 x 求導(dǎo)。0yxyyey.yyyex5例例2 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x(*)0因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)代入(*)求解。6例例3. 求橢圓191622yx在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)8xyy920y2323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx

3、將點(diǎn))3,2(23代入03341y7求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)y1yxddxeyxddyxddxe11例例4. 設(shè)8)(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得0yxyyey再求導(dǎo), 得2yey yxey)(02 y當(dāng)0 x時(shí), 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 例例5 設(shè)若求.,yy .xeyyy.22xeyeyyyy 再將y代入上式。9觀察函數(shù),)4(1) 1(23xexxxy方法方法: : 先在方程兩邊取對數(shù), 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法

4、-適用范圍適用范圍: :.)()(的情形數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法.sinxxy 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).10例例6. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx11 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:12例例7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù))01,0,0(xbabaaxxbbay

5、bax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb.y1.132. )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xuuuuuuu)ln(ln0求.y14例例8. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)

6、2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx15三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若變量 y 是 x 的函數(shù)， 其對應(yīng)關(guān)系是通過第三個(gè)變量 t 聯(lián)系在一起的，即 x , y 是 t 的函數(shù),這就是參數(shù)方程。參數(shù)方程的一般形式為： tytx t 是參變量。例如：例如：242tytx表示拋物線2xy taytaxsincos表示半徑為 a 的圓：222ayx例如：例如： 炮彈以初速度 v0 與水平方向角 t 射出， 其運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：20021sincosgtatvyatvx表示。又如：又如：16若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù))(,

7、)(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時(shí), 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí), 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)17)cos1 (tay求在2t處的切線方程。解解：點(diǎn)坐標(biāo)：) 12(axay 2txdyd2ttasin)cos1 (ta12t切線方程：12axay例例9 已知擺線方程xa2yo)sin(ttax18, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddye0ddtty0ddtxy例例10 設(shè)方程組兩邊同時(shí)對 t 求導(dǎo), 得26

8、ttyddtsin0ddtyteycostxtydddd2e0t1y20ddttxe19極坐標(biāo)：極坐標(biāo)：若將直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)取為極點(diǎn)極點(diǎn)，M軸的正半軸取為極軸極軸。0 xx設(shè)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)yx,的坐標(biāo)M極坐標(biāo)系中點(diǎn)M的坐標(biāo), r, rrsincosryrxxyryxtan222r020 oMr稱為極坐標(biāo)的極徑極徑。稱為極坐標(biāo)的極角極角。把y由極軸出發(fā)逆時(shí)針方向?yàn)檎勺鴺?biāo)系中變量間關(guān)系：yx20r在對應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時(shí)對應(yīng)點(diǎn)斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為22xy2例例11

9、 求螺線21 求參數(shù)方程)()(tytx所表示的函數(shù))(xfy 的二階導(dǎo)數(shù).解解: 已知xdyd存在則22xdyd)(xdydxdd)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )(xdydt dd)(),(,)()(tttt 且tdxd)()(ttxdyd)(tx)()(tytx22xdyddxyd)()(tt也可使用一階導(dǎo)數(shù)22例例12 設(shè)求.dd22xy,1221tytxxydd2211tt22ddxytt2131t,1221tytx)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知注意注意 :t1則有2211ttdxyd23ttx22) 1ln( ty求

10、22,.d yd yd xdx解解：xdyd) 1ln(t)2(2 tt) 1(211tt2) 1(21t例例13 設(shè)22dxyd2121t12t4121t22) 1(212tyttxdxyd24)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t tft1)(tf 已知解解:)()(tftfty例例14)(tfxty 22dxyddxyd25內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式26作業(yè)作業(yè)P109 1 ;