齒輪系統(tǒng)時(shí)變剛度和間隙非線性振動特性研究

1、參考文獻(xiàn):1Zhang Y ,L itvin F L ,M aruyam a N ,et al .Com 2puterized A nalysis of M esh ing and Contact of Gear R eal Too th Surfaces .A S M E Journal of M echanicalD esign ,1994,116(9:6676822K in V .Computerized A nalysis of Gear M esh ingBased O n Coo rdinate M easurem ent D ate .A S M EJournal of M ec

2、hanical D esign ,1994,116(9:7387443L itvin F L .Integrated Computer P rogram fo r Si m 2ulati on of M esh ing and Contact of Gear D rives .Computer M ethods in A pp lied M echanics and En 2gineering ,2000,181(1:71854朱心雄.自由曲面造型技術(shù).北京:科學(xué)出版社,19995余俊,廖道訓(xùn).最優(yōu)化方法及應(yīng)用.武漢:華中理工大學(xué)出版社,19836曾韜.螺旋錐齒輪設(shè)計(jì)與加工.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)

3、大學(xué)出版社,1989(編輯馬堯發(fā)作者簡介:李小清,男,1966年生。華中科技大學(xué)(武漢市430074國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心博士研究生。研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)、齒輪加工。發(fā)表論文5篇。周云飛,男,1956年生。華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心教授、博士研究生導(dǎo)師。王延忠,男,1963年生。華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心副教授、博士后研究人員。易傳云,男,1959年生。華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院副教授、博士后研究人員。文章編號:1004-132 (200313-1143-04齒輪系統(tǒng)時(shí)變剛度和間隙非線性振動特性研究王立華博士研究生王立華李潤方林騰蛟楊成云摘要:以齒輪系統(tǒng)動力

4、學(xué)和非線性動力學(xué)理論為基礎(chǔ),針對齒輪系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙耦合作用的具體特點(diǎn),建立了齒輪系統(tǒng)非線性模型,并用數(shù)值積分和數(shù)值仿真方法對其在某些參數(shù)域中進(jìn)行了非線性振動研究。根據(jù)仿真結(jié)果得到一些有用的結(jié)論,是進(jìn)一步進(jìn)行多自由度齒輪系統(tǒng)和行星齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)研究的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞:齒輪系統(tǒng);非線性模型;時(shí)變嚙合剛度;齒側(cè)間隙中圖分類號:TH 132.41文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 齒輪傳動系統(tǒng)是汽車傳動系統(tǒng)的重要組成部分,其動態(tài)特性直接影響汽車傳動系統(tǒng)的可靠性。為了保證良好的潤滑和消除干涉現(xiàn)象,齒輪副在設(shè)計(jì)時(shí)總是留有齒側(cè)間隙,制造誤差和磨損也會使齒輪副產(chǎn)生齒側(cè)間隙,而且輪齒的嚙合剛度總是隨時(shí)間變化的。具有

5、齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)將表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性,這使得汽車傳動系統(tǒng)成為一種參數(shù)激勵(lì)且具有時(shí)變剛度的間隙非線性系統(tǒng)。該系統(tǒng)在輕載或無載荷運(yùn)轉(zhuǎn)過程中將會產(chǎn)生輪齒分離和沖擊現(xiàn)象,這種沖擊將會導(dǎo)致劇烈的振動和產(chǎn)生強(qiáng)烈的噪聲和動載荷,影響齒輪傳動的平穩(wěn)性、可靠性和壽命。針對上述問題,本文對具有齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度耦合的齒輪系統(tǒng)的非線性振動進(jìn)行分析研究,揭示了一些客觀現(xiàn)象。收稿日期:20020402修回日期:20020824基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(500750881力學(xué)模型文獻(xiàn)1提出了一個(gè)二自由度的直齒輪副的動力學(xué)模型,見圖1a ,該模型假設(shè)齒輪系統(tǒng)的傳動軸和支承軸是剛性的,其中粘彈性

6、阻尼系數(shù)為c m ,輪齒時(shí)變嚙合剛度為k (t ,主動齒輪、被動齒輪的基圓半徑分別為R p 、R g ,齒側(cè)間隙為2b ,見圖1b 。則齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動分析模型為T p (t =I p d 2p d t 2+R p c m (R pd p d t-R gd gd t-d ed t+k (t R p f R p p -R g g -e (t (1-T g (t =I g d 2g d t 2-R g c m (R p d p d t -R g d gd t -d ed t-k (t R g f R p p -R g g -e (t (2式中,I p 、I g 分別為主動齒輪、被動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量;

7、e (t 為嚙合齒輪的靜傳遞誤差;p 、g 分別為主動齒輪、被動齒輪的扭轉(zhuǎn)振動位移;T p(t 、T g(t 為作用在主動齒輪、被動齒輪上的外力矩;f 為具有齒側(cè)間隙時(shí)的輪齒嚙合力,其形式見圖1b 。3411齒輪系統(tǒng)時(shí)變剛度和間隙非線性振動特性研究王立華李潤方林騰蛟等 (a (b 圖1齒輪副動力學(xué)模型隨著齒側(cè)間隙的不同,齒輪系統(tǒng)可能處在非沖擊、單邊沖擊和雙邊沖擊三種完全不同的沖擊狀態(tài)。1.1齒輪系統(tǒng)的分析模型齒輪副在僅考慮內(nèi)部激勵(lì)問題時(shí)得到量綱一形式的分析模型為13x (t +2x (t +k (t f (x (t =F m +F ah 2eh sin (eh t +h (3式中,為粘彈性阻尼

8、;eh 為量綱一內(nèi)部激勵(lì)基頻;F m 為量綱一平均載荷;F ah 2eh sin (eh t +h 為量綱一內(nèi)部激勵(lì);F ah 、h 分別為量綱一內(nèi)部激勵(lì)幅值和初始相位;k (t 為量綱一嚙合剛度;f (x (t 為量綱一嚙合力。該模型是在對式(1、式(2進(jìn)行簡化后得到的一個(gè)單自由度系統(tǒng)模型,其簡化過程是將扭轉(zhuǎn)方向上的兩個(gè)振動位移通過定義一個(gè)動態(tài)傳遞誤差x d (t =R p p (t -R g g (t 和靜態(tài)傳遞誤差的差值x (t =x d (t -e (t ,并做量綱一處理后得到的一個(gè)較理想化的模型。1.2間隙非線性函數(shù)式(1中f 為有齒側(cè)間隙的嚙合力,是與扭轉(zhuǎn)振動和系統(tǒng)靜態(tài)傳遞誤差e(

9、t 有關(guān)的函數(shù),為仿真計(jì)算的方便,進(jìn)行了簡化和量綱一處理。在處理過程中,將齒側(cè)間隙歸一化,使齒側(cè)間隙對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響耦合到時(shí)變嚙合剛度及外載荷中。則式(3中f (x (t 的表達(dá)式為f (x (t =f (x (t k (t b=x (t -1x (t >10-1x (t 1x (t +1x (t <-1(41.3時(shí)變嚙合剛度在齒輪副的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中,隨著單齒對嚙合和雙齒對嚙合的交替進(jìn)行,輪齒的嚙合剛度會隨時(shí)間周期性變化4。一般時(shí)變嚙合剛度k (t 由平均嚙合剛度k m 和變剛度兩部分組成,其中變剛度部分用余弦函數(shù)表示,k a 為變剛度幅值,eh 為變剛度基頻,r 為變剛度初相

10、位,一般取r =0。當(dāng)嚙合輪齒的節(jié)距和齒形誤差相同時(shí),時(shí)變嚙合剛度必定是基頻eh 的周期函數(shù),則k (t =k m +k a co s (eh t +r (5對上式作量綱一處理得k (t =k (t k m=1+co s (eh t +r (6式中,=k a k m 。2動態(tài)響應(yīng)的求解及數(shù)值仿真式(3即為該齒輪系統(tǒng)的振動微分方程,它是量綱一的方程,不依賴于具體的物理量綱,只有形式上的特點(diǎn),在研究求解分析時(shí)可以脫離具體參數(shù)的束縛,因而研究該量綱一方程更具有廣泛的意義。該微分方程的求解方法有解析法和數(shù)值仿真法,解析法包括諧波平衡法、多重尺度法和頻閃法等。但是解析法求解非常繁雜,且往往受到所假設(shè)的激

11、勵(lì)和響應(yīng)形式的限制(目前的研究均假設(shè)取為一次諧波,從而人為地遺失了響應(yīng)中的超諧、次諧和混沌分量。同時(shí)間隙非線性是一種不連續(xù)、不可微的函數(shù),具有強(qiáng)非線性性質(zhì),要得到精確的解是不可能的5。本文利用變步長四階R unge -Ku tta 數(shù)值仿真方法對該系統(tǒng)的動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解。為了得到比較理想的數(shù)值結(jié)果,計(jì)算過程中采用了比較小的時(shí)間步長。另外,考慮初始值的影響,需要將開始的數(shù)百個(gè)周期略去,這樣才能得到效果理想的相圖和Po incar é映射截面圖。用該方法分析某汽車傳動系統(tǒng)中的齒輪傳動的非線性振動特性,該對齒輪的主要參數(shù)為主動輪齒數(shù)32,從動輪齒數(shù)33,模數(shù)3.75mm ,齒寬23.

12、0mm 。當(dāng)系統(tǒng)eh =0.5、h =0、r =0 、=0.1、=0.01, 初始條件為x (0=0.5、x (0=0.5時(shí),得到系統(tǒng)的仿真結(jié)果,見圖2。(a 時(shí)間歷程圖(b 相圖(c Po incar é映射圖(d FFT 頻譜圖圖2仿真結(jié)果4411中國機(jī)械工程第14卷第13期2003年7月上半月3參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性及動態(tài)響應(yīng)的影響3.1內(nèi)部激勵(lì)頻率的影響在該系統(tǒng)中,參數(shù)的變化會直接影響和制約系統(tǒng)的動態(tài)特性。為便于討論,系統(tǒng)在簡化過程中外部激勵(lì)的變動部分略去不計(jì),僅考慮內(nèi)部激勵(lì)頻率而不考慮外部激勵(lì)頻率。在不同的內(nèi)部激勵(lì)頻率作用下,通過數(shù)值仿真得到該系統(tǒng)的動態(tài)特性,表現(xiàn)出豐富的振動特

13、性。當(dāng)系統(tǒng)其它參數(shù)如上述一樣,改變eh 的值時(shí)得到的相圖見圖3?？梢?系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率eh 的增大具有不同的運(yùn)動狀態(tài) ,(a eh =0.3(b eh =0. 4圖3不同eh 時(shí)的相圖當(dāng)激勵(lì)頻率在01.0之間變化時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)經(jīng)歷了周期倍周期周期混沌運(yùn)動,且從圖3還可得到,隨著激勵(lì)頻率eh 的增大,系統(tǒng)的振動幅值逐步增大,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解由非沖擊狀態(tài)變?yōu)閱芜厸_擊或雙邊沖擊,且當(dāng)取不同初值時(shí),還會得到更高倍的周期運(yùn)動。3.2嚙合剛度的影響齒輪嚙合剛度的變化引起齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)激勵(lì)。由時(shí)變嚙合剛度式(6知,當(dāng)改變系數(shù)時(shí),嚙合剛度值將發(fā)生相應(yīng)的變化,齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)行為則隨之變化。當(dāng)系數(shù)變化時(shí),齒輪系

14、統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)經(jīng)歷了單周期混沌倍周期的變化,見圖4,同樣從圖4可得到,隨著嚙合剛度的增大,系統(tǒng)的振動幅值逐步增大。3.3初始條件的影響齒輪非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解一般具有多值性,即對應(yīng)于一個(gè)激勵(lì)頻率或嚙合剛度將有多個(gè)穩(wěn)態(tài)解存在,而各穩(wěn)態(tài)解將與初始條件有關(guān)。當(dāng)eh =0.5,初始條件取不同值時(shí),得到多個(gè)穩(wěn)態(tài)解的相圖及Po incar é映射圖見圖5 。從相平面圖可看出(a =0. 3(b =0 .7圖4不同時(shí)的相圖和Po incar é映射圖(a x (0=1.0,x (0=0 .0(b x (0=1.0,x (0=- 圖5不同初始條件時(shí)的系統(tǒng)相圖和Po incar é映射圖

15、各穩(wěn)態(tài)解所具有的沖擊狀態(tài),有單邊沖擊狀態(tài)和雙邊沖擊狀態(tài),當(dāng)eh 取其它值時(shí)將可能會得到包5411齒輪系統(tǒng)時(shí)變剛度和間隙非線性振動特性研究王立華李潤方林騰蛟等括非沖擊狀態(tài)的三種沖擊狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)解。所以當(dāng)其它參數(shù)保持不變,改變初始條件時(shí)將得到單周期、雙周期、四周期等多周期解和混沌解,體現(xiàn)出解的復(fù)雜性和值的跳躍性。3.4阻尼比的影響齒輪系統(tǒng)阻尼比的變化將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),當(dāng)阻尼比逐步增大時(shí),響應(yīng)的幅值明顯降低, 系統(tǒng)由雙邊沖擊變?yōu)閱芜厸_擊或無沖擊狀態(tài),圖6為當(dāng)不同時(shí)的相圖。當(dāng)=0.045時(shí),系統(tǒng)為圖6不同時(shí)的相圖無沖擊狀態(tài)。同時(shí)得到,阻尼比越大,系統(tǒng)的非線性就越不明顯,不易發(fā)生輪齒分離和沖擊現(xiàn)象

16、,阻尼比越小,系統(tǒng)的非線性越突出,容易出現(xiàn)混沌狀態(tài)。4結(jié)論(1當(dāng)齒輪系統(tǒng)往復(fù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),齒側(cè)間隙引起齒輪系統(tǒng)沖擊振動,導(dǎo)致嚙合剛度的變化,使齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度產(chǎn)生耦合作用。齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度的耦合作用使齒輪系統(tǒng)的非線性特性表現(xiàn)十分明顯,仿真結(jié)果體現(xiàn)了解的復(fù)雜性。(2系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性影響很大,分別改變各參數(shù)值,使系統(tǒng)的響應(yīng)出現(xiàn)諧周期解、非諧周期解和混沌解,系統(tǒng)分別表現(xiàn)出非沖擊狀態(tài)、單邊沖擊狀態(tài)和雙邊沖擊狀態(tài)。參考文獻(xiàn):1李潤方,王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué)振動、沖擊、噪聲.北京:科學(xué)出版社,19972T heodo ssiades S ,N atsiavas S .N on -linear

17、 D ynam 2ics of Gear -pair System s w ith Peri odic Stiffness and Back lash .Journal of Sound and V ibrati on ,2000,229(2:2873103Kah ram an A ,Singh S .Interacti ons betw een T i m e-varying M esh Stiffness and C learance N onlinear 2ities in a Geared System .Journal of Sound and V i 2brati on ,1991

18、,146(1:135勵(lì)數(shù)值模擬.機(jī)械傳動,2001,25(2:13究:博士學(xué)位論文.西安:西北工業(yè)大學(xué),2001(編輯蘇衛(wèi)國作者簡介:王立華,男,1974年生。重慶大學(xué)(重慶市400044機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生,昆明理工大學(xué)(昆明市650093機(jī)電學(xué)院助教。研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動系統(tǒng)動力學(xué)。發(fā)表論文4篇。李潤方,男,1935年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。林騰蛟,男,1968年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室副教授、博士后研究人員。楊成云,男,1974年生。重慶大學(xué)機(jī)械學(xué)院講師、博士研究生。(上接第1099頁6結(jié)論本文提出了一種用H uffm an 樹實(shí)現(xiàn)的多

19、坐標(biāo)聯(lián)動逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法,算法占用很小的存儲空間,高速有效,應(yīng)用于五坐標(biāo)電火花加工中。算法對聯(lián)動軸數(shù)目沒有限制,H uffm an 編碼樹的坐標(biāo)分組是最優(yōu)的。參考文獻(xiàn)1Hovtun R .M ultiaxis T echno logy :Challenges toO vercom e .M anufacturing Engineering ,1999,(8:104114刀位軌跡生成算法.航空工藝技術(shù),1999,(2:35373詹涵菁.帶冠扭葉片渦輪葉盤CAD CAM 與加工仿真:博士學(xué)位論文.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2001的研究:博士學(xué)位論文.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),19995嚴(yán)蔚敏,吳偉民

20、.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).北京:清華大學(xué)出版社,20006王永章.機(jī)床的數(shù)字控制技術(shù).哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1999(編輯蘇衛(wèi)國作者簡介:李志勇,男,1977年生。哈爾濱工業(yè)大學(xué)(哈爾濱市150001特種加工與機(jī)電控制研究所博士研究生。主要研究方向?yàn)閷?shí)時(shí)操作系統(tǒng)和嵌入系統(tǒng)設(shè)計(jì)、電火花數(shù)控系統(tǒng)開發(fā)。趙萬生,男,1957年生。哈爾濱工業(yè)大學(xué)深圳研究生院院長、教授、博士研究生導(dǎo)師。張勇,男,1977年生。哈爾濱工業(yè)大學(xué)特種研究所博士研究生。6411中國機(jī)械工程第14卷第13期2003年7月上半月erogeneous,autonomous,distributed co llabo rative p rod2

21、uct developm ent environm ent.Key words:co llabo rative p roduct developm entp rocess m anagem entp ro ject m anagem entw o rk2 flowResearch on the Curren t St ate and D evelop m en t of I nfor-mation-based M anufactur i ngD u P ingan(U EST of Ch ina,Chengdu,Ch inap112621130Abstract:W ith the rap id

22、 developm ent of info r m ati on techno logy,Info r m ati on-Based M anufacturing(I BMis becom ing a m aj o r m eans to enhance the competitive abili2 ty of m anufacturing enterp rises.In th is paper,the devel2 opm ent h isto ry and features of I BM are review ed,and a functi onal model of m anufact

23、uring enterp rises is devel2 oped.Based on the functi onal model,the contents in w h ich info r m ati on techno logy should be i m p lem ented are classified,including design,m ach ining,m anagem ent, supp ly,sale,service,and suppo rting system,etc.,and the co rresponding commonly-used unit techno l

24、ogy,inte2 grated techno logy and suppo rting techno logy are dis2 cussed respectively.F inally,the po tential developm ent directi ons are addressed.Key words:info r m ati on-based m anufacturingdevelopm ent h isto rycontent arch itecturekey techno logydevelopm ent directi onSyste matic Error M odel

25、i ng i n Part M ach i n i ng Processes Based on Genetic A lgor ith mL i J ian(N anjing U niver2 sity,N anjing,Ch inaL iu Hongxing p113021132 Abstract:System atic erro r compensati on is one i m2 po rtant app roach to enhance the m ach ining p recisi on,and system atic erro r modeling is the key p ro

26、cess fo r the com2 pensati on.F irstly,in the paper several popular modeling m ethods are analyzed w ith disadvantages w hen they are used in the system atic erro r modeling.T hen,the paper introduces the system atic erro r modeling m ethod based on Genetic A lgo rithm(GA,w h ich is a po lynom ial r

27、egres2 si on m ethod in a broad sense,assum ing the po lynom ial pow ers as variables.F inally,a real app licati on examp le and the comparison w ith common m ethods are given, w h ich indicates that the p ropo sed m ethod is good.T he availability of the p ropo sed m ethod in modeling of non-unifo

28、r m ti m e series is also po inted out.Key words:genetic algo rithmm ach iningsys2 tem atic erro rN C m ach ine too lSeveral Key Technolog ies of Prec ise For m i ng for Ref lec-tor PanelsL i Dongsheng(Beihang U niversity,Bei2 jing,Ch inaZhou X ianbinChang H eshengChen L ianfeng p113321135Abstract:T

29、 he h igh p recisi on reflecto rs are the i m po r2 tant equi pm ent fo r comm unicati on and modern m ilitary affairs.E specially,th is type of panels have surfaces of p recisi on in10-2mm m easure,so it is help less to general m anufacture techno logy.T he p recise fo r m ing technique based on&qu

30、ot;nails die,vacuum and honeycom b sandw ich"is a new fo r m ing techno logy fo r the m anufacture of h igh p recisi on reflecto r panels.T he paper introduces its p rinci2 p le and m ethod.By m eans of stress release techniques bo th of slitting and grooving on the p lates,the p recise fo r m

31、ing of sandw ich panels has been ach ieved fo r doubly curved undevelopable surface,w ho se surface p recisi on m eets the dem ands of large area h igh p recisi on reflecto r p roducts.A validati on of app licati on in the p roducti on task indicates that th is reflecto r panels have ligh t-w eigh t

32、,h igh-p recisi on as w ell as reliable-shape.Key words:p recise fo r m ingdouble curvatedreflecto r panelhoneycom b sandw ich structure D ynam ic Errors of V irtual-C MM i n Fast Probi ngYan J i p ing(T singhua U niversity,Beijing,Ch inaCheng YeYe PeihuaH u H aijing p113621139Abstract:Fast p robing

33、 is an effective w ay of i m p rov2 ing the efficiency of the C MM s(Coo rdinate M easuring M ach ines.D uring fast p robing,the defo r m ati on of C MM is caused by inertial fo rces and driving fo rces and the dynam ic erro rs are p roduced.Based on analyzing dy2 nam ic erro rs in fast p robing,th

34、is paper p resents the FEA (finite elem ent analysismodel of C MM fo r compensating erro rs and i m p roving m easuring efficiency.By using FEA m ethod,the dynam ic erro rs caused by inertial fo rces of the parts and driving fo rces of the mo to r are calculated and the FEA model of C MM is verified

35、.O n the basis of FEA m ethod,th is paper describes the erro r model of C MM,and the results are reasonable.Key words:fast p robingdynam ic erro rcoo r2 dinate m easuring m ach ine(C MMfinite elem ent anal2 ysisAnalysis M ethod for M esh i ng Character istics of Sp iral Bevel and Hypo id Gear F itti

36、 ng Tooth SurfaceL i X iao2 qing(H uazhong U niversity of Science&T echno logy, W uhan,Ch inaZhou YunfeiW ang YanzhongY i Chuanyun p113921143Abstract:Given the samp ling po ints of too th surface m easurem ent,a m athem atical model fo r sp iral bevel and hypo id gear fitting too th surface is e

37、stablished by app ly2 ing p rinci p le of differential geom etry and Ferguson pa2 ram eter sp line functi on.A cco rding to the"BOX"op ti2 m izati on m ethod fo r finding extrem um w ith a li m ited boundary and conjugati on theo ry,quick so lving the con2 tacting po int of too th surface

38、can be realized by changing definiti on regi on.U sing V-H contact patterns adjusting m ethod,A n algo rithm fo r finding path of contact,con2 tact pattern and trans m issi on erro rs is investigated and related p icture of an actual examp le is p resented.Key words:sp iral bevel and hypo id geartoo th surface fittingm esh ing characteristicsm easure2 m ent of too th surfaceResearch on Non li near V ibration Character istics due to Ti m e-vary i ng M esh Stiffness and Gear Backlas