高等數(shù)學(xué)(下)無窮級數(shù)

1、無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)傅氏級數(shù)（數(shù)一）傅氏級數(shù)（數(shù)一）第十一章常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 第一節(jié) 第十一章 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個和逼近于圓的面積 A .0a1a2ana設(shè) a0 表示,時n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23定義定義： 給定一個數(shù)列,321n

2、uuuu將各項依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數(shù)， 其中第 n 項nu叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和nkknuS1稱為級數(shù)的部分和部分和.nuuuu321次相加, 簡記為1nnuS當級數(shù)收斂時, 稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項余項.,lim不存在若nnS則稱無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 .顯然0limnnr,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和和,記作例例1. 討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1時，當1q, 0limnnq

3、由于從而qannS1lim因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級數(shù)發(fā)散 .其和為2). 若,1q,1時當qanSn因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時當qaaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時, 等比級數(shù)收斂 ;1q時, 等比級數(shù)發(fā)散 .則,級數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技

4、巧:利用 “拆項相消拆項相消” 求和23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項相消拆項相消” 求和二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項乘以常數(shù) c 所得級數(shù)1nnuc也收斂 ,說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則)

5、(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.例如，三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 性質(zhì)5、設(shè)收斂級數(shù),1nnuS則必有.0limnnu可見: 若級數(shù)的一般項不趨于

6、若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時當注意注意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級數(shù)發(fā)散 .事實上事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法

7、常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 第十一章 一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS有界 .則稱為正項級數(shù) .定理定理2 (比較審斂法比較審斂法) 設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數(shù)1nnv則弱級數(shù)1nnu(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),例例1. 討論 p 級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因為對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級數(shù)1

8、1npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1, 1p因為當nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂 .時,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在,ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因為2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級

9、數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級數(shù)發(fā)散 .例例2.2.定理定理3. (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當 0 l 時,nunv,limlvunnn是兩個正項級數(shù)正項級數(shù), (1) 當 時, l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;特別取,1pnnv 可得如下結(jié)論 :對正項級數(shù),nu,1p l0lnnnlimpn,1p l0發(fā)散nu(2) 當 且 收斂時,0lnv(3) 當 且 發(fā)散時, lnv

10、也收斂 ;nu也發(fā)散 .nu收斂nu的斂散性. nnn1lim例例3. 判別級數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4. 判別級數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn定理定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) nu為正項級數(shù), 且,lim1nnnuu則(1) 當1(2) 當1時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 .1lim1nnnuu說明說明: 當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如, , p

11、 級數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 . limn例例5. 討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時當 x級數(shù)收斂 ;,1時當 x級數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級數(shù)nn,1時當 x例例6. 討論級數(shù)12!nnnnn的斂散性 .定理定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法) 設(shè) 1nnu為正項級,limnnnu則;,1) 1(級數(shù)收斂時當 .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當 數(shù), 且時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1

12、n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .例例7. 討論級數(shù)1()21nnnn的斂散性 .例例8. 討論級數(shù)( 1)13lnnnnnn 的斂散性 .二二 、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211

13、)21nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕

14、對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 .定理定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .說明：上述逆定理不一定成立。即nu發(fā)散nu發(fā)散例例9. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對收斂.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā)

15、散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限13. 任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱例1、（06，一，三）若nac則級數(shù)（ ）A、nacB、( 1)nnacC、1nna acD、12nnaac例2、（05，三）設(shè)0,1,2,nun若( 1)nnnuu發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（ ）A、212nnuu收斂，發(fā)散B、212nnuu發(fā)散，收斂C、212nnuu（）

16、收斂D、212nnuu（）收斂第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算 冪級數(shù) 第十一章 一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) .對, I0 x若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發(fā)散點發(fā)散點, ),2, 1()(nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 ., )(xS為級數(shù)

17、的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項)()()(xSxSxrnn則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它例如例如, 等比級數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或?qū)懽?1x又如又如, 級數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時當x有和函數(shù) ,1時收斂當x,10時但當 x二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如00

18、)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即nnxxa)(0稱 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出,

19、 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R = 0 時, 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,0 R冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當 時,則 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理1limnnnaaR對端點 x =

20、1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域為例例1 1.求冪級數(shù) limn 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n例例3.nnxnn202) !(! )2(

21、求冪級數(shù)的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當21x即) 1(2nxnx2故直接由例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當 t = 2 時, 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當 t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1

22、nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂域為,212x即.31x三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算定理定理3. 設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0說明說明: 兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,R

23、但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11定理定理4 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.例例5. 求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 ,

24、有時則當,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)1) 兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標準型再求 .乘法運算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂

25、區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.第四節(jié)兩類問題: 在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級數(shù)求 和展 開本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 第十一章 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項拉格朗日余項 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的

26、n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) . 則稱當x0 = 0 時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) .1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), )(0 x則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:.0)(limxRnn設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內(nèi)具有定理定理2

27、. 若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知, 展開成冪級數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開例例1. 將函數(shù)xexf)(展開成 x 的冪級數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其

28、收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級數(shù) ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x2. 間接展開法間接展開法211x x11利用

29、一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解: 因為nnxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù). 例例5. 將函數(shù))1ln()(xxf展開成 x 的冪級數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對 x 1 也是成立的,于

30、是收斂例例6. 將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級數(shù). 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x例例7. 將3412 xx展成 x1 的冪級數(shù). 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x

31、1(06,一)將2( )2xf xxx展成關(guān)于x的冪級數(shù)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x)

32、 1, 1(x) 1, 1(x第七節(jié)第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 第十一章 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動 :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運動 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項級數(shù))sincos(210 xnbxnaannk為角頻率, 為初相 )(諧波迭加)稱上

33、述形式的級數(shù)為三角級數(shù).xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 組成三角級數(shù)的函數(shù)系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 上的積分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1s

34、in2xnxn且有 但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在 二、二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;由公式 確定的nnba ,)(xf)(xf的傅里里的傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù) .稱為函數(shù))(xf以10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin

35、)(1nxnxxfbn定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點, 則 f (x) 的傅里里葉級數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點其中nnba ,為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點注意注意: 函數(shù)展成傅里里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.例例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達式為),xxxf

36、0,10,1)(解解: 先求傅里里葉系數(shù)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). oyx11xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當,6,4,2n當xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于02112) 傅氏級數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xo

37、yx11說明說明:), 2, 1, 0(kkx當f (x) 的情況見右圖.xoy例例2.上的表達式為),xxxxf0,00,)(將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5co

38、s xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx說明說明: 當) 12(kx時, 級數(shù)收斂于22)(0, )(xxf周期延拓)(xF傅里里葉展開,)(在xf上的傅里里葉級數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法), , )(xxf, )2(kxf其它例例3. 將函數(shù)xxxxxf0, 0,)(級數(shù) .oyx則xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里里葉2為

39、周期的函數(shù) F(x) , x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當 x = 0 時, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n說明說明:42,421312242設(shè),413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理定理

40、4 . 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里里葉系數(shù)為例例4. 設(shè)的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù).是周期為2 的周期函數(shù),它在上),)(xf解解: 若不計),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo級數(shù)的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情況見右圖.n5例例5. 將周期函數(shù)tEtusin)(展成傅里里葉級數(shù), 其中E 為正常數(shù) .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(