多元函數(shù)的連續(xù)性

1、第三節(jié)多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點且是其聚點且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點在點0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.連續(xù)的概念定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)

2、0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時時 220yx例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D

3、上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理（3）一致連續(xù)性定理）一致連續(xù)性定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定在在D D上一致連續(xù)上一致連續(xù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是