專題六數(shù)列第十七講遞推數(shù)列與數(shù)列求和答案

1、專題六數(shù)列第十七講遞推數(shù)列與數(shù)列求和答案部分1 【解析】4 1-故選C.I 'a*i = 4，S10 =2. D【解析】由數(shù)列通項(xiàng)可知，當(dāng) 1剟n 25, nN .時，0，當(dāng)26剟n 50,n N 時，an, 0 ,因?yàn)?6 a?6 0 , a2 a?7 0 二 3,5,，S50都是 正數(shù)；當(dāng)51剟n 100, nN .同理 為?,編。也都是正數(shù)，所以正數(shù)的個 數(shù)是100.3.-63【解析】通解 因?yàn)镾n=2an1，所以當(dāng)n = 1時，a2a1 1,解得= -1 ；當(dāng) n= 2 時，a1a 2a2 1，解得 a2 = -2 ；當(dāng) n=3時，a1a2a 2a3 1，解得 a3 = -4

2、；當(dāng) n= 4 時，a1a2a3 a 2a41，解得 a4 = -8；當(dāng) n= 5 時，a1a2a3 a4 a = 2a51,解得 a =-16 ；當(dāng) n= 6 時，a1a2a3 a4 a5 a6 = 2a6 1，解得a6= -32.所以 & = -1 -2 -4 -8-16 -32 = -63.優(yōu)解 因?yàn)?2an 1，所以當(dāng)n =1時，a 2a1 1，解得q = -1,當(dāng) n > 2 時，an 二 Sn -Snr =2an 1-2an4 T，所以 an =2and ,n _1所以數(shù)列an是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以 an =-2 ,所以S6 =-1 (1-26)1-

3、24.空【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d ,n 1a1 2d = 3則4 34耳d2=10解得玄1 = 1, d = 1 ,5. &可印叫口 d=叫口，所以丄22Snn 1 1 11 所以k懇切T （廠？1 h(丄12 3'n-k(k 1)n-1)H2(12n1 1n【解析】當(dāng)n=1時，Sw，所以v1，S.1，6.所以是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列,11所以 (-1) (n -1)(-1) - -n，所以 Sn :Snn20【解析】由題意得：an二-a.丄）an-a）（a? -耳）印11二n n_ 1(1 2 1 =如衛(wèi)21 1 1 1所以 2(),Sn=2(1)

4、a. n n 1'務(wù)S1020112 17.【解析】當(dāng)n=1時，a1=S1= a<332 1當(dāng) n > 2 時，務(wù)=Sn - & 4 = an '-33解得a1 =1,2)=3an=_2an J ,1 1 11因?yàn)?an .1 = Sn 1 - Sn = SnSn 1，所以一-一 1，即SnSn*Sn*-an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， an = （-2）n&（1計(jì)，（2 3（六 T）1【解析】(1)V Sn=(-1)nan-1n =3時，a1 + a2+ a3= a3 8由知=3 161 1(2) n 1 時，Sn二=(一1)'an /

5、- ()'，二an= (-1an(_1)an J()A為奇數(shù)時，a()n 11為偶數(shù)時，anJ1 =(勢9._)n1,n為奇數(shù)2(-)n, n為偶數(shù)2二 3 - s2 S1001 14(F1-11830【解析】可證明:Sn1nr，n為奇數(shù)20, n為偶數(shù)12461002 2 2 21 1 1 1_?(1 _0)= 3(200_1).bn1 = a4n1 張 2 印 n 3 ' a4n 4 =弘 3 'a4n _2'a4n_2' a4n bn16b 二 a1 a 2 a 3 a 習(xí)10 二 S5 =10 15 154 16 =1830.210.3018【解

6、析】因?yàn)閏os 的周期為4；由an二ncos 1 nN2 2二 a a2 a3 a4 =6,a5a6a7a8 = 6, -二 S2012 二 503 6 = 3018 .11.【解析】 由a42是a3, a5的等差中項(xiàng)得 玄彳足泊印* ,所以 a3 a4 a 3a4 4 = 28 ,解得a4 = 8.1由 a3 ' a5 =20得8(q )=20 ,q因?yàn)閝 1，所以q = 2 .設(shè)Cn =(bn .i -bn)an，數(shù)列 Cn前n項(xiàng)和為Sn .由 cnS，n 1，解得 cn = 4n -1 .nSn Snr n > 21由(1)可知an = 2 一 ,所以 bn i-bn =(

7、4門-1) £)2 ,1故bn 七=(4n-5) <-)n, n> 2 ,bn -bl =(bn -bnj) - (g工)血七)4 - )1 1 1= (4n 一5)(自心 (4n 一9)(寸嚴(yán)7扌 3.1 1 1設(shè)Tn = 3 711 (?)2"4n -5) ( )n , n > 2 ,111 1 1?Tn =3 2 7(2)2 11 (?)(4n-5) (?)n1 11 1 1所以 Jn =3 4 1 4(2)24(2嚴(yán)-(4n-5) (gn,1n-2因此 Tn =14-(4 n- 3) (?)2 , n > 2 ,又 b1 = 1，所以 bn

8、= 15 - (4n - 3)212.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由a1,aa2 2,可得q -q-2=0 .因?yàn)閝 .0，可得q =2，故an=2n.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d,由a4 = d b5，可得d 3d =4.由a5 = b4 25 ,可得 3013d -16,從而 0 =1,d =1,故bn =n.n 1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =2 ，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn = n.1 _2n(2)(i)由(1)，有 Sn2n -1 ,1-2nk 八J ck2 (1-2n)c故Tn(2 1)2nn=2n2 .kik =i12(ii)證明：因?yàn)?Tk+bk+2)bk (2k 1 -

9、k -2 k 2)k k 2k 12k 2 2k 1(k 1)(k 2) 一 (k 1)(k 2) 一(k 1)(k2) 一 k 2 一 k 1所以，(Tk bk 2)bk(k 1)(k2)III (2n 2n 22*1213【解析】證明：(1)因?yàn)镃aJ是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d，則a.二印 (n-1)d ,從而，當(dāng) n > 4 時，a.上 a.山二印 (n - k -1)d - a1 (n k -1)d= 2a12(n - 1)d =2an , k =1,2,3,所以 an衛(wèi) an+an/an 1 an 2+an 3 =6an， 因此等差數(shù)列訂是“ P(3)數(shù)列” (2)數(shù)列:an

10、?既是“ P(2)數(shù)列”，又是“ P(3)數(shù)列”，因此,當(dāng) n _3時，an工 and a. 1 a.2= 4a.，當(dāng) n 一4時，an,VnN anj an1 an 2 an.3=6an由知，an J3 ' an -2 4an d (an ' an 1 )，an 2 - an 3 =4an 1 -(anan)，將代入，得and ' a. 1 =2an，其中n _ 4,所以a3,a4,a5,1H是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d'在中，取n= 4,貝H a2' a3' a5= 4a4，所以 a2 = a3 _d'，在中，取n=3 ,則 a1a2a

11、4a 4a3，所以 a a? - 2d',所以數(shù)列an是等差數(shù)列.14.【解析】(I)設(shè) & .'的公差為d , S7 =7a4 =28 ,84 a-a4 =4，d1，an = & (n _1)d = n . Id =.lgaj-llg-0 ,bn-llgan丨 7g11 J -1 ,b= lg 丨-憶仙卜 2 .(U)記b沖勺前n項(xiàng)和為Tn，則T1000 =bb2booo當(dāng) 0 < Ig an :：: 1 時，n =1, 2 , 9 ;當(dāng) 1 w Ig an ：2 時，n =10, 11, , 99 ;當(dāng) 2 w Igan ：3時，n =100, 101

12、, 999 ；當(dāng) Igan =3 時，n =1000 .Teoo =0 9 1 90 2 900 3 1 =1893.215.【解析】(I )當(dāng) n =1 時，a1 2a1 = 4S 3 = 4+3，因?yàn)?an 0，所以 a1=3，22當(dāng) n 亠2 時，an an -an- anj = 4Sn，3-4Sn- 3 = 4 an，即(an - am)(aandH2(an a.)，因?yàn)?a. 0，所以 aanj=2，所以數(shù)列 an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以 an = 2n 1 ；, 12n 3），（）由（1 ）知，6 =門門 JR門3廠？、2n 1所以數(shù)列 bn前n項(xiàng)和為111 11 14

13、 d 川 bn弓齊5)(5-7)w(1 一，1 11 )2n 1 2n 31=6 4n 63(2 n 3)n + 216【解析】（1）由題意知：耳 2a| - nan =4-了口2+2當(dāng) n=3 時，a 2a2=4；3十2當(dāng) n =3時，a1 2a2+3a3=4；223a3 =43+22+23盯一(4 一1a3=4(2)當(dāng)1 +2n=1 時，印=4-盯=1 ；a1 -2a2 (n _1)an=4兩式相減得nan芒匸經(jīng)檢驗(yàn)知a, =1也滿足an2門丄=右故數(shù)列an是以1為首項(xiàng),-為公比的公比數(shù)列,21仆1七)n故 Tn 二2=2(3)由(1)(2)知，b| = a1 = 1 .當(dāng)n > 2

14、時,bn1+- +3Tnj一 (1)an2 3 n1 1 1)石-n -1n 2(111丄(2 3 n) 2n當(dāng)n = 1時,S =1<2 + 2ln1 = 2，成立;當(dāng)n > 2時,2 1 1 2 1 1 1 Sn "【2工)戸3 2-3)禺-(1 1 1 n 21 1 1 . ) n -1 n 22 3!) (!丄丄) n) (2 222®1 1 1 1 1 一盯-2)=1 2(丄-2 3(3(2324n -11 11 11( )2 2 2232門121111) ( )n(2na)(2*422=12(1-21 1 1 1J (1”冷1-22）1(丄3(23)

15、+ .+ 1 “ 1122)n_1(2n<2nn2n421)(1 - n)+,+ 13、2®=1 2(丄21(2* 41 1 1) ( ) n 4nJ 丿nn-1(2n n'2心=2 2(1 1亠 亠丄)_ (1 丄n 1亠 亠丄)一123 n 2 3 n 2n7x構(gòu)造函數(shù) f (x) =ln(1 x),x 017.f (x)0, f(x)在(0,+ ：)單調(diào)遞增1 +xx.f(x) =1 n(1 x)f (0) =01 +x.In(1 - x) 在(0,+ ：)上恒成立，即一 1+x1+x1 1 1 令 x=, n > 2，貝yIn(1 -n -1nn -11

16、1 1 1 從而可得ln(1 ), In(1 -22133 1將以上n-1個式子同向相加即得<l n(1 +x),-< ln(1 nn -1111 1 1 1 ln(1 )1 n(1)亠Tn(1) = /2 3n2-13-1n-12 3 n、|ln()=1 n n ,12 n-1111故 Sn : 2 2() ： 2 2ln n2 3n綜上可知，Sn < 2 2ln n .2 2【解析】（I）令n=1得：S -（-1冷-3 2=0,即Si S-6=0,所以(S 3)($ -2) = 0 ,0, S, =2,即 a2.(n)由S；-(n1 2 * 4n-3)S-3(n2n)=0

17、,得：(S 3)|S-(n2n) = 0,7 an 0(n N ),. Sn 0,從而 Sn 30, &冷 n,當(dāng)n 一2時,an = Sn=n2 n - (n -1)2 (n -1)二 2n,又a1 = 2 =2 1, an =2n(n N ).k N 時*2 Jk2 話(kT(k 4),1 1 1 ajak 1)2k(2k 1)41k(k 1)1 4(k-£(k4(k*) (k 1)+a2(a2 1)1 1IN -an(an -1)-1 (1 -11 _1n一 + 1)44 一1 1F (2 2 -418.【解析】- a二 S1 "S1 二"a0, a

18、二 1.當(dāng)n .1時,an = sn - sn J2a n a1S1S1=2an - 2an：an =2anj_=an時首項(xiàng)為a1 =1公比為q = 2的等比數(shù)列,(n)設(shè)Tn=1a12 a2 3a3 ：汁 一：>nan 二qTn=12qa23qa3 川：卜nqan=qTn = 1 a22 a33 a4 ：；"川n an dn1 -q上式錯位相減:(1 - q)T = a1 a2a an - na* 1 = a1nnnan 1=21 - n1 一 q=Tn 二(n -1) 2n 1,n N *19.【解析】（1）由a1 = b 0,知 annban1 2n -1 r anb b an令 An，A當(dāng)n 2時,An2 1lb乙川-一 b2 川 bn422n°2n，+ +| +b2bnbn當(dāng)b = 2時,blb丿bn -2nbn(b -2)當(dāng)b =2時,代an2,b = 2(2)當(dāng)b = 2時，(欲證an饗穿耳心需證nb"n -1n n洛1)賤)n n(2