特征值與特征向量(課后修改版)

1、 1. 設(shè)設(shè)A是是n階方陣階方陣, 若存在數(shù)若存在數(shù)及及n維非零列維非零列向量向量 , 使得使得 A = , 則稱(chēng)則稱(chēng)為為A的的, 稱(chēng)稱(chēng) 為為A的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于 的的.：1. 特征向量總是非零向量特征向量總是非零向量; 2. 對(duì)于一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向?qū)τ谝粋€(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向 量有無(wú)窮多個(gè)量有無(wú)窮多個(gè). ( ) 2. 幾何意義幾何意義設(shè)設(shè)A 是是22實(shí)矩陣，實(shí)矩陣， 則則 A 可以看作是可以看作是R2 上的變換上的變換. 若存在某個(gè)非若存在某個(gè)非零向量零向量使得使得 A與與 平行平行 則非零向量則非零向量就是就是 A的一個(gè)特征向量的一個(gè)特征向量.( = A=k ),只有一些特殊的向量

2、只有一些特殊的向量 才能使得才能使得A與與平行平行: 一類(lèi)是一類(lèi)是x軸上的向量；另一類(lèi)軸上的向量；另一類(lèi)是是y軸上的向量。軸上的向量。這些向量構(gòu)成了這些向量構(gòu)成了A的所有特征向量的所有特征向量.只有一些特殊的角只有一些特殊的角 才能使得才能使得A 與與平行，所以只有一些特殊的角平行，所以只有一些特殊的角 才能才能使得使得A有有實(shí)的實(shí)的特征值和特征值和實(shí)的實(shí)的特征向量特征向量.例例1 1 假設(shè)假設(shè)n階方陣階方陣 A=kE. 問(wèn)問(wèn)A有沒(méi)有特征值和特征向量？有沒(méi)有特征值和特征向量？ Rn , A = (kE) = k.k是是A的特征值，所有非零的特征值，所有非零Rn 是是A的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征

3、值k的特征向量的特征向量.解：解：存在存在非零非零 , 使得使得A = , 為為A的特征值的特征值對(duì)于一般的方陣對(duì)于一般的方陣A A 呢？呢？齊次線性方程組齊次線性方程組( 0EA)x = 有非零解有非零解系數(shù)行列式系數(shù)行列式| 0EA|=0 | EA|=0 被稱(chēng)為被稱(chēng)為A的的, | EA|被被稱(chēng)為稱(chēng)為A的的. 求方陣求方陣A的特征值和特征向量的一般步驟：的特征值和特征向量的一般步驟：求解特征方程求解特征方程| EA|=0的根的根求解求解(EA)x = 的的非零解非零解 (此時(shí)方此時(shí)方程組一定有無(wú)窮多解，只需求出它程組一定有無(wú)窮多解，只需求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系1 , 2 , , s

4、)1 , 2 , , s 即為即為A對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量的特征向量 1 0 10 2 01 0 1A 1 0 00 2 03 2 1A從例從例3的求解過(guò)程，不難分析出一個(gè)的求解過(guò)程，不難分析出一個(gè)上上(下下)三角矩陣三角矩陣的特征值就是其的特征值就是其主對(duì)角元素主對(duì)角元素。特。特別地，一個(gè)別地，一個(gè)對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣的特征值就是其的特征值就是其主對(duì)主對(duì)角元素角元素。：下面這個(gè)矩陣的特征值是什么？：下面這個(gè)矩陣的特征值是什么？ 0 0 10 1 01 0 0A：設(shè)：設(shè) A 是是 n 階方陣階方陣. 如果存在數(shù)如果存在數(shù) k使得使得 kE-A不可逆不可逆, 則能得到什么結(jié)論？則能得到什

5、么結(jié)論？事實(shí)上事實(shí)上, k是是A的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值 |kE-A|=0 kE-A不可逆不可逆二二. 性質(zhì)性質(zhì) 通常稱(chēng)通常稱(chēng) 為矩陣為矩陣A的的， 記為記為, 或或. 由代數(shù)基本定理，一定有這樣的分解：由代數(shù)基本定理，一定有這樣的分解：其中其中是方程是方程的的n個(gè)根個(gè)根 ( 可能有重根，有復(fù)根可能有重根，有復(fù)根), 即為即為A的所有特征值的所有特征值. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 的特征值是的特征值是 , 則則,.例例 4 4 設(shè)設(shè)A是是2 階方陣，階方陣，E A 和和 3E+2A 不可逆不可逆. 試求試求 A 的跡和行列式的跡和行列式.,. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 的特征值是的特征值是 , 則則例例 5 5 設(shè)設(shè)A是是3 階方陣，階方陣，E A , E+A , 2E-A不可逆不可逆. A* 是是A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. f(x)=x2 +x +3.試求試求 f(A*)的跡和行列式的跡和行列式.第一步第一步 求出求出A*的特征值；的特征值；第二步第二步 求出求出f(A*)的特征值的特征值.(與課本例與課本例5.5步驟稍有不同步驟稍有不同)解：解：