高一數學函數的定義域與值域(講義)

1、高一數學函數的定義域與值域一、知識歸納：（一）函數的定義域與值域的定義：函數y=f(x中自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y的值叫做函數值。函數值的集合f(xxA叫做函數的值域。（二）求函數的定義域一般有3類問題：1、已知解析式求使解析式有意義的x的集合常用依據如下：分式的分母不等于0； 偶次根式被開方式大于等于0； 對數式的真數大于0，底數大于0且不等于1； 指數為0時，底數不等于02、復合函數的定義域問題主要依據復合函數的定義，其包含兩類：已知fg(x的定義域為x（a,b）求f(x的定義域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，則 g(x 的值域即是 f(x 的定義域。

2、 已知f(x的定義域為x（a,b）求fg(x的定義域,方法是：由a 求得 x 的范圍，即為 fg(x 的定義域。 3、實際意義的函數的定義域，其定義域除函數有意義外，還要符合實際問題的要求。（三）確定函數的值域的原則1、當數y=f(x用表格給出時，函數的值域是指表格中實數y的集合。2、當函數y=f(x圖象給出時，函數的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。3、當函數y=f(x用解析式給出時，函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定。常見函數的值域：函數y=kx+by=ax2+bx+cy=axy=logax值域Ra>0a<0y|yR且y0y|y>0R4、當函數由實

3、際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定。（四）求函數值域的方法：1、觀察法，2、配方法，3、判別式法，4、反函數法，5、換元法，6、圖象法等二、例題講解：【例1】求下列函數的定義域（1） （2）(3y=lg(ax-kbx (a,b>0且a,b1，kR解析 （1）依題有 函數的定義域為(2依題意有 函數的定義域為（3）要使函數有意義，則ax-kbx>0，即當k0時，定義域為R當k>0時，（）若a>b>0,則 定義域為x|(若0 ，則 ， 定義域為 x| (若a=b>0，則當0 時定義域為 R ；當 k 1 時，定義域為空集 評析把求定義域的問題等價轉化為

4、關于x的不等式（組）的求解問題，其關鍵是列全限制條件(組?！纠?】設y=f(x的定義域為0，2，求（1）f(x2+x； (2f(|2x-1|； (3f(x+a-f(x-a (a>0的定義域分析：根據若f(x的定義域為a,b,則fg(x的定義域為ag(xb的解集，來解相應的不等式（或不等式組）解：（1）由0x2+x2得 定義域為-2,-10,1(2由2x-12，得 -22x-12 所以定義域為（3）由 得又因a0， 若2-aa，即0a1時，定義域為x|ax2-a若2-aa，即a1時，x，此時函數不存在變式:已知函數f(x+1的定義域是0，1，求函數f(x的定義域。 1，2【例3】求下列函數

5、的值域（1） （2） （3）（分析）（1）可分離常數后再根據定義域求值域，也可反解x求值域（2）常數后再利用配方法求解，也可采用判別式法（3）可以用換元法或者單調性法解：（1）方法一：分離常數法 由，得函數的值域為（-，2）（2，+）方法二：反函數法由得，整理得：（y-2）x=3y+1，若y-2=0，有3y+1=0 ，與y-2=0矛盾若y-20，有，y2 函數的值域為y| y2(2 方法一：配方法 而 函數的值域為方法二：判別式法變形得（y-1）x2-(y-1x+y-3=0當y=1時，此方程無解當y1時，xR =（y-1）24(y-1(y-3 0，解得 1y又y1， ， 函數的值域為（3）方法

6、一：換元法令，則t0且 函數的值域為方法二：單調性法函數的定義域在上均是增函數故在上是增函數函數的值域為變式1：已知函數f(x的的值域是，求的值域。解：, , 令, 則，,函數y=F(t在區(qū)間上遞增函數的值域為變式2：已知，求的值域【例4】（1）求 的值域。（2）求函數的值域。（分析）（1）分段函數的值域的求法從局部研究，把握局部和整體的關系（2）屬復合函數y=fg(x的值域問題，先由函數定義域求出u=g(x的值域，再在此值域上求出y=f(u的值域解：（1）若x1，則x-10,0<3x-11，有-2<3x-1-2-1，若x>1，則1-x<0, 0<31-x<

7、1， 有-2<31-x-2<-1,綜上有：y|-2 -1. （2）函數的定義域為R設u=x2-4x+5=(x-22+1 則當xR時，u1,+，又是減函數， 函數的值域是（-，0點評：求復合函數值域的一般步驟：（1） 正確分析函數的復合過程，抓住中間變量（2） 由x 的取值范圍確定中間變量u=g(x的值域，并逐層確定（3） 最后確定原函數的值域，整個過程是由內向外逐層解脫。 變式：函數的值域 （-，0【例5】（1）已知函數的值域是R，求實數a的取值范圍（2）若函數，當x(-,2時有意義，求實數a的取值范圍（3）函數的定義域和值域都是1,b (b>1,求b的值解：（1）只要u=ax2+(2a+1x+3能取到（0，+）上的所有實數，則f(x的值域為R，當a=0時 u=x+3能取到（0，+）上的所有實數。當a0時應有解得(2由題意得，當x(-，2時，1+2x+a4x>0,x(-，2時，。在（-，2）上是增函數。最大值是 （3）在1，b上是增函數，f(x在1，b上的值域是1,f(b,由題意知f(x在1，b上的值域是1，b，f(b=b，即解得b=1(舍去或