研究生建模D題解題思路與模型

1、2010年全國研究生數(shù)學建模競賽D 題 解題基本思路及其數(shù)學模型 D 題命題者 2010.11.5 于廣州一本題背景 本題是從一個科研項目中提煉而成，該項目是一個工程項目，為加工我國獨立自主研制的新型地空導彈的天線罩，需要研制一臺大型精密內(nèi)外圓數(shù)控磨床，由某航天科研院與善長于磨床研究生產(chǎn)的上海機床廠合作研制。這項工程包括研制一臺能磨削天線罩這樣工件的磨床，并調(diào)試機床數(shù)字控制系統(tǒng)。該工程的研制成功，不僅解決了當時國內(nèi)加工導彈天線罩這類特殊工件采用靠模式機床無法保證精度的問題，也提供了加工大型旋轉(zhuǎn)體工件的設(shè)備（這是該工程的一個副產(chǎn)品），同時為當時國產(chǎn)機床的計算機控制積累了經(jīng)驗。數(shù)控機床加工曲線的常

2、規(guī)方法是插補，這對于車床、銑床等都是可以實現(xiàn)的，但對磨床來說，由于切削工具是砂輪，直接套用插補技術(shù)有不可逾越的障礙，那就是砂輪外形對曲線的“干涉”！所以，曲線磨床無法直接采用插補技術(shù)。為此，該機床的總體設(shè)計放棄兩個相互垂直的工作臺插補實現(xiàn)曲線加工的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)方式，有創(chuàng)意地加入第三個工作臺，這個工作臺就是本題中的上工作臺，它在前兩個工作臺運動的基礎(chǔ)上（即跟隨下臺和中臺提供的向運動），再做旋轉(zhuǎn)運動，構(gòu)成有3個自由度的復合運動。這樣就可以與砂輪的外形配合，加工出（理論上）復雜曲線來。該機床的控制系統(tǒng)也有不少值得稱道的國內(nèi)首創(chuàng)的技術(shù)突破。應該說，這是可以編入機械專業(yè)教科書的精彩內(nèi)容（不知道現(xiàn)有的機床教課

3、書有沒有編進？）。有了機床，就要編制出計算機控制程序，其前提是如何根據(jù)要加工的曲線（實際上是旋轉(zhuǎn)體的母線）方程，確定三個工作臺相互配合的運動。這是適合于研究生數(shù)學建模競賽的適當素材，本題就是圍繞對這一素材，去除許多工程處理的細節(jié)，集中于數(shù)學建模及其求解提煉出來的。二D 題命題的指導思想研究生數(shù)學建模競賽是國內(nèi)研究生中較為優(yōu)秀的一部分學生的競賽，在朱道元先生為代表的一批有識之士長期堅持和努力下，已經(jīng)成為國內(nèi)有重要影響的數(shù)學奧林匹克。既然是競賽，就要比出高低和好壞。但本命題人認為，各地和各校拿幾個獎，不應是我們這項賽事的主要目標（雖然已經(jīng)出現(xiàn)了有的學校以此為教學水平甚至領(lǐng)導政績的標志的現(xiàn)象），我們

4、的根本目標應是堅忍不拔地引導和影響國內(nèi)高等數(shù)學教育走上正確健康之路，使一批研究生的數(shù)學素養(yǎng)又實質(zhì)性的提高，數(shù)學和理性思維有一個上臺階的提升，數(shù)學和科學視野能進一步擴大，打下能靈活應用學到的數(shù)學理論和方法，解決較高難度問題的基礎(chǔ)。而我們這里所說的“引導和影響”主要通過競賽的試題的形式和內(nèi)容來體現(xiàn)。 基于此，D 題命題的指導思想是： 1考核高等數(shù)學最基本的觀念和最常用的方法。就D 題而言，涉及到建立坐標系，向量運算，坐標變換，導數(shù)（曲線的切線），曲率，線性空間的基，動態(tài)系統(tǒng)的運動分析等等屬于最基本的概念。希望研究生們通過本題，認識到最前沿的科學研究，更復雜的工程技術(shù)，大部分都將分解或轉(zhuǎn)化為若干最基

5、本、最基礎(chǔ)的問題，所以，打好基本功，走遍天下都不怕。本題不追求最新最深的數(shù)學?？己藢W生不在表面的新鮮與好看。2考核學生在解決復雜問題的過程中，能靈活地根據(jù)研究的進展，不斷提煉或提出子問題的能力，或深化問題研究的能力。本題的目標是研究三個工作臺相互配合的運動，這是工程層面的問題，如何把它轉(zhuǎn)化為一個平面運動的點的運動方程和軌跡方程，是第一層深化；如何運用坐標變換，實現(xiàn)逼近是第二層深化；為保證機床各個工作臺運動平穩(wěn)，則是第三層深化，等等。在每次深化中，都可以提煉出相應的數(shù)學問題及其模型。對于本題，可以提出基于線性代數(shù)的坐標變換模型，進而微分方程模型，甚至最優(yōu)控制模型，而且各問題環(huán)環(huán)相扣，層層深化，數(shù)

6、學的含量也逐步提高，提到什么樣的問題取決于你研究的角度和深度，也取決于你的數(shù)學功底的深淺。3考核學生閱讀能力和理解實際問題情景的能力。D 題的前面2/3的篇幅是介紹加工任務的由來，機床特點，砂輪等文字與圖的內(nèi)容，希望學生能在頭腦里顯示機床的空間概念，理清眾多數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，為建模做好準備。如果連起碼的空間想象能力都缺乏，那么后面的工作就很難展開。如果面對一堆數(shù)據(jù)，弄不清聯(lián)系與區(qū)別，你不知道先用哪個后調(diào)哪個，模型又怎么建立？這常是影響學生解決實際問題的第一道障礙。這種能力的缺損是很多國內(nèi)學生的通病，屬于綜合素養(yǎng)的問題，而不單單是數(shù)學素養(yǎng)的問題。4考核學生從讀題中抓住其中關(guān)鍵的信息的能力。建

7、立三個工作臺的運動與被加工曲線之間的定量關(guān)系是求解本題的核心，而這樣理解這個定量關(guān)系的基礎(chǔ)是能否數(shù)學描述三個工作臺構(gòu)成的復合運動的方程，這也是建立誤差理論的關(guān)鍵。另外的關(guān)鍵信息是能否透過眾多數(shù)據(jù)，分類好，弄清什么數(shù)據(jù)與什么有關(guān)。這個能力也非單單屬于數(shù)學。5考核學生對動態(tài)系統(tǒng)的處理能力。三個工作臺的運動是一個動態(tài)過程，而非靜態(tài)的坐標變換的計算。目前學生對靜態(tài)問題的處理要好于對動態(tài)問題的處理，相應的訓練也不夠。從這次競賽看，我們在研究生階段的課程設(shè)置和訓練，還存在深層次的毛病。6考核學生的計算能力。這是大多數(shù)研究生較強的部分，計算機玩得比較好。7考核學生的空間想象能力和文字表述能力。三題目分析本題

8、在數(shù)學上屬于一類“數(shù)值逼近問題”，即使得砂輪對工件加工形成的逼近曲線盡量與理論曲線重合。逼近的主要指標首先是精度要高或誤差要小。處理數(shù)值逼近問題的基本數(shù)學思想之一是“用空間換精度”，把整體分成若干局部，在每個局部區(qū)域（區(qū)間）上用較簡單的曲線來近似理論曲線，然后匯合成整體。所以，整體近似曲線是所有局部簡單曲線的集成，當局部近似足夠小時，逼近精度將跟著提高。在研究生課程“數(shù)值計算”中，介紹了用事先選定的簡單函數(shù)（如正交多項式或三角函數(shù)，乃至小波基函數(shù)等）作為局部逼近函數(shù)的基函數(shù)，采用有關(guān)準則來建立逼近方程，于是具體的計算就轉(zhuǎn)化為求解法方程。如果考生一開始就認識到本題的屬性，容易想到上述思路。但是，

9、本題卻很難找到事先選定的簡單函數(shù)，所以要想套用現(xiàn)成的逼近方法是困難的。不過，“把整體分成局部，用局部逼近整體”的數(shù)學思想?yún)s是“放之四海而皆準的”。不能隨便套用的是教科書上現(xiàn)成的數(shù)學方法和相應公式。這是必須打破多數(shù)學生的“思維定勢”的第一點。這樣，具體實施這樣的逼近的第一步是“分段”，將被逼近曲線劃分為若干子段。以后我們討論的模型和局部誤差等工作就在每一子段上展開。第二，本題的逼近是對平面曲線的逼近，如果記砂輪旋轉(zhuǎn)軸線和工件工作箱的旋轉(zhuǎn)主軸線構(gòu)成的平面為，那么工件母線就在內(nèi)，所以我們的逼近在內(nèi)實現(xiàn)。局部逼近是靠三個工作臺的運動實現(xiàn)的。為了使局部逼近曲線也是一條光滑連續(xù)曲線，三個工作臺必須同時運動

10、，而且要相互配合，而非相繼先后運動！這是一個動態(tài)的逼近過程。由于上臺帶動工件運動，也就是帶動工件的母線運動，或更確切些，是帶動函數(shù)在平面內(nèi)運動。是不變的，故可視為剛體。因此，要認識到在整個逼近過程中作剛體的平面運動。這是決定我們建立模型成敗的第2個關(guān)鍵。所謂剛體的平面運動是指剛體這樣的運動：在其運動過程中，剛體的任一點到某一個固定平面的距離始終不變。下面簡稱為平面運動。不難知道，剛體的平面運動可用截剛體的一個平行于那個固定平面的平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動來代替。記此平面圖形為?，F(xiàn)研究圖形在固定坐標系內(nèi)的運動。若圖形內(nèi)的任兩點固定，則整個圖形就固定，因此，圖形的運動可用直線段的運動來代替。直線

11、段的自由度顯然等于3，因此可選用點的坐標和與軸的夾角作為獨立變量（這樣的選法當然不唯 一）。當圖形運動時，這3個變量是時間的函數(shù)： ， （3. 1）這組函數(shù)稱為平面運動方程式。運動可以分解和合成。平面運動可分解為平動和轉(zhuǎn)動。如圖2所示，設(shè)平面圖形的位移使直線段移動到。這個運動可以通過兩個分位移來實現(xiàn)：先使移到，再使繞點旋轉(zhuǎn)角度與重合。在這樣的情況下，稱點為基點。當然我們也可先使移到，再使繞轉(zhuǎn)動角度與重合，此時稱為基點。 圖1 剛體平面運動容易看出，當以為基點時，平動從移到；當以為基點時，平動從移到，兩者不同。但是，以為基點的轉(zhuǎn)動位移與以為基點為基點的轉(zhuǎn)動位移大小卻完全相同，都是，而且轉(zhuǎn)動方向都

12、一樣（在本例中為逆時向）。因此，平動位移與基點的選擇有關(guān)，而轉(zhuǎn)動位移與基點的選擇無關(guān)。這個認識很重要。上述分析對于位移是有限還是微小的，都有效。所以，方程（3.1）中的前2個，描述的是圖形平動的規(guī)律，第3個描述的是圖形繞圖2 平面運動的分解 基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律。由下列方程組, (3.2)描述圖形平動的速度和加速度。由下列方程組, (3.3)描述圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度，一般取逆時向為正向。所以，平面運動可以視為選定基點的平動和圖形（剛體）繞基點的轉(zhuǎn)動的合成。在此基礎(chǔ)上，可以推出作平面運動的圖形內(nèi)各點的位移和速度。下面推導作平面運動的平面圖形內(nèi)任一點的位移。設(shè)固定坐標系為，在圖形內(nèi)取點為基點

13、，并建立與圖形固連的動坐標系，軸與軸的夾角為。在任意時刻，點在系中的坐標是，點在兩個坐標系中的坐標分別為和。那么在任意時刻，它們之間的關(guān)系為， (3.4)其中在動坐標系中是定值，注意，和都是時間的函數(shù)。所以（3.4）就是點的運動方程，描述了點隨著平面圖形（或剛體）的運動得到的在固定坐標系中兩個坐標方向的分運動。(3.4)也可以用向量方法推出。記點，點在固定坐標系中的向量分為，而在動坐標系中的向量為。顯然有 ，（3.5）其中分別是的兩個基向量，分別是動坐標系的兩個基向量。于是，點在固圖3 平面運動中的點的坐標 定坐標系為中的坐標分量為 ， 。 這里要強調(diào)的是，作平面運動的圖形內(nèi)任一點的運動方程（

14、3.4），解析幾何中坐標的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的復核結(jié)果好像與（3.4）相同。其實，解析幾何中的這兩個變換誰先誰后，其結(jié)果是不同的，因為它們求的事先后作了這兩個不同變換后的坐標值，轉(zhuǎn)動角度和平移量只是靜態(tài)的量。但是，平面運動的基點平動和圖形繞基點的轉(zhuǎn)動則是以函數(shù)形式同時進行的，不存在誰先誰后的問題。這是現(xiàn)能看到的15篇論文中存在的一個嚴重通病，看來，我們的研究生的動態(tài)觀念與思想還不強，可能與課程設(shè)置與訓練有關(guān)。我們有時更希望知道點的運動軌跡。將（3.4）的兩式各平方之：,。將上2式相加，并記，則有點的運動軌跡 ， （3.6）由于是時間的函數(shù)，也是時間的函數(shù)，所以（3.4）不能直接視為一個圓的方程

15、，因而并非點的運動軌跡方程。記此時間函數(shù)為隱函數(shù)形式為 ， （3.7）為了推導運動微分方程，再看點的速度。對（3.4）的兩邊關(guān)于時間求導數(shù)，即得的速度在固定坐標系中的投影分量： ， 。其中為圖形的轉(zhuǎn)動角速度。將（3.4）代入，有 。 （3.8）如果記角速度向量，其中為垂直于固定坐標系的基向量的由右手系統(tǒng)決定的基向量，那么點的速度可寫成向量形式： =。 （3.9）這就是說，圖形上任一點的速度等于基點的速度與相對于基點的轉(zhuǎn)動速度的向量和。同理，也可以推出點的加速度公式。因為本題希望工作臺平穩(wěn)運動（即速度盡量變動小），所以，這套公式在此省略。第三，要認識到本題的逼近是靠三個工作臺的運動是實現(xiàn)的，系統(tǒng)

16、是一個動態(tài)系統(tǒng)。研究動態(tài)系統(tǒng)的定量分析（包括建立方程，計算和求解）都在坐標系中進行。所以建立合理的坐標系統(tǒng)是本題的第3個要點。如前所述，砂輪旋轉(zhuǎn)軸線和工件工作箱的旋轉(zhuǎn)主軸線構(gòu)成的平面為，我們的所有坐標系和分析工作都在這個平面內(nèi)進行。首先是固定坐標系（或絕對坐標系），顯然應選固定的機床本身，記為。取內(nèi)某固定點為坐標原點，取下臺導軌方向為軸，規(guī)定向右為正向，按右手準則確定軸。再建立與工件工作箱固聯(lián)的工件坐標系。取工件工作箱旋轉(zhuǎn)主軸與夾具基準面交點為該系原點，沿工件工作箱旋轉(zhuǎn)主軸方向為軸，以離開工件工作箱方向為正向，同理按右手準則確定軸。由于工件工作箱固裝在上臺上，隨上臺的運動相對機床身（即固定坐標

17、系）而動，工件坐標系是動坐標系。工件母線的方程實際是在此坐標系中建立的，現(xiàn)記此母線方程為。最后建立旋轉(zhuǎn)坐標系（或上臺坐標系)，原點即為上臺旋轉(zhuǎn)中心，軸與相同，顯然軸與平行，相距（中臺轉(zhuǎn)心到夾具基準面的距離）。 圖4 三個基本坐標系第四現(xiàn)考慮磨削問題1時的情況，這個問題的處理是求解全題的基礎(chǔ)。在下圖中，假設(shè)集中研究加工工件母線的弧段，這個弧段在分段時已經(jīng)確定。圖示正在磨削的為點，母線與砂輪的接觸點，理論上就是點；而砂輪的切削點與重合。注意到砂輪僅作高速旋轉(zhuǎn)，砂輪機座與機床底座是固聯(lián)的，所以切削點始終不動，它在固定坐標系中的坐標為定值。而，點在工件坐標系中的坐標是定值，從而在上臺坐標系中的坐標也是

18、定值，只差工件工作箱主軸方向上的一個常量，即 。 （3.10） 圖5 磨削工件母線的弧段的示意圖還要注意到，在磨削點時，由于工件母線的切線與砂輪的圓柱形母線是重合的，此時上臺坐標系相對于固定坐標系已經(jīng)旋轉(zhuǎn)了角度，這個角度大小正好等于工件母線方程在工件坐標系中于點處的切線與軸正方向之間的夾角，由高等數(shù)學知， ， （3.11）當時，是銳角；當時，是鈍角。根據(jù)我們所設(shè)立的坐標系的關(guān)系，可以建立與的關(guān)系： 。 （3.12）現(xiàn)在我們用剛體平面運動的觀點，考慮加工工件母線的弧段的過程中，三個工作臺的運動量。這個過程的初始時磨削點，終止時磨削點。注意到磨削點時，點必到達砂輪的切削點，且工件母線在點處的切線與

19、砂輪的圓柱形母線重合。這是三個工作臺協(xié)調(diào)復合運動的結(jié)果。從剛體平面運動的觀點看，我們?nèi)暨x擇點（上臺的旋轉(zhuǎn)中心，或上臺坐標系的原點）為平面運動的基點，那么在加工工件母線的弧段的過程中，下臺與中臺的運動結(jié)果等于平面運動的基點的運動。說得具體些，在固定坐標系中，記基點的初始點位置為，而其終止點位置為，則基點的方向的平移運動量和分別為： 。 （3.13）實際上就是下臺的相對平移量，則是中臺的相對平移量。描述平面運動的第3個運動是該平面的轉(zhuǎn)動角增量，即上臺的相對轉(zhuǎn)動量。由（3.12）直接可得： 。 （3.14） 所謂“加工工件母線的弧段”，是指確定下臺與中臺的相對平移運動量和，以及上臺的相對轉(zhuǎn)動角?？雌?/p>

20、來有3個待求的未知量，但是實際上，第3個量在工件母線的分段確定后，直接可通過計算曲線在指定點的導數(shù)不難得出，因此不用歸入未知量。也就是說，只需要確定和。應用平面運動的方程式(3.4)，注意到曲線上的點“被運動”到一開始點原來的位置，或砂輪切削點處，即在該加工的終止點處點的坐標就等于點的坐標，這樣就建立方程 。 （3.15）從而有 。 （3.16）至此，我們可以在已知“工件母線的弧段”的初始基點的基礎(chǔ)上，計算出加工該段的下臺與中臺的相對運動量，而上臺的相對轉(zhuǎn)角則直接從工件母線方程上通過簡單計算得出。第五現(xiàn)在可考慮三個步進電機應發(fā)的脈沖數(shù)。這是簡單的。不難計算出下臺和中臺的脈沖當量發(fā)一個脈沖使工作

21、臺的移動量： （mm）, (3.17)同理，上臺的脈沖當量發(fā)一個脈沖使工作臺的轉(zhuǎn)動量： （弧度）。 （3.18）因此，下臺和中臺應發(fā)的脈沖個數(shù)分別為 ， ； （3.19）上臺應發(fā)的脈沖個數(shù)為 ， （3.20）其中記號表示用四舍五入方式取整數(shù)。 到這里，我們已經(jīng)完成第一層面的建模以及計算方法的工作，即求出子段上的三個工作臺的運動量。不過，就題目要求而言，還沒有結(jié)束，后面關(guān)于誤差和運動平穩(wěn)性的建模與計算，更加有挑戰(zhàn)性，需要的數(shù)學內(nèi)容和工具也要深一點。四兩條母線函數(shù)的數(shù)學性態(tài)這兩條曲線是模擬函數(shù)，第一條簡單些，為探索求解整道題做準備，第二條復雜些，考核學生靈活應用的能力。兩條母線函數(shù)的數(shù)學性態(tài)的分析

22、是必須的，因為加工方案的設(shè)計與曲線的性態(tài)密切相關(guān)，分段逼近的分段點的選擇也取決于曲線的極值點和拐點的位置。從能看到的15篇考生論文看，能意識到必須要做這樣常規(guī)分析的隊還不多。雖然這樣的分析只能算是微積分起碼的練習，不存在難度，但也可看出很多考生的數(shù)學思維意識還不強，基本功還不扎實。（1）；其圖像為 圖6 問題1的母線方程的圖線其導函數(shù)為 。此線性導數(shù)只有一個極值點，且為極大點：（取小數(shù)點后4位）；相應的極大值為 。因此，在區(qū)間中，曲線上升，上臺的轉(zhuǎn)動角為負； 在區(qū)間中，曲線下降，上臺的轉(zhuǎn)角為正。又二階導數(shù)為?？梢娫撉€在整個區(qū)間上為上凸的，因此一階導數(shù)在整個區(qū)間一直在遞減。 如果加工從母線方程

23、的作為起點，這個特點決定了本題的上臺從初始轉(zhuǎn)角開始，一直在逆時針向轉(zhuǎn)動。而初始轉(zhuǎn)角等于在處的曲線切線對工件坐標系的軸正向的傾斜角： ，故上臺初始轉(zhuǎn)角等于： （弧度）。而在處， ， 上臺的最終轉(zhuǎn)角等于 或 。這表明：上臺在整個加工過程中的轉(zhuǎn)動角為接近。 由于工件工作箱固定在上臺上，所以，上臺的正負向轉(zhuǎn)角是不勻衡的。（2）；其圖像為 圖7 問題2的母線方程的圖線這是一條起伏2次的曲線，其中大約在0，200區(qū)段中，曲線的形態(tài)類同于問題1的曲線。在以后的部分出現(xiàn)了下凸。因此，對此類曲線只能采用輪式砂輪，而輪式砂輪的輪廓形狀則與曲線的曲率密切相關(guān)，選取不當會引起砂輪對工件的“干涉”磨削掉不該磨削的部分。

24、i) 先求函數(shù)的一階導數(shù)。其中 ， （弧度）。 在此基礎(chǔ)上求極值點。令，有 ，得 對于 ，得到極值點 ，這是個極大點，記為 ，相應的極大值等于 。對于 ，得到極值點，它是極小點，記為 ，相應的極小值等于 。 有了函數(shù)的極大值和極小值，便得到函數(shù)的極差 。函數(shù)的極差是確定輪式砂輪的直徑的依據(jù)之一。ii) 再求函數(shù)的二階導數(shù)。由 可得其中 （弧度）。函數(shù)的拐點是二階導數(shù)的點。令 ，得 對于，解出的為負值，此種情況舍去； 對于，得到第1個拐點 ；對于 ，得到第2個拐點 。iii) 2個極值點和2個拐點，將區(qū)間分成五段。第一段：。在此段中，而。上臺的轉(zhuǎn)角由（負角）轉(zhuǎn)至零度。 第二段：。在此段中，而。上

25、臺的轉(zhuǎn)角由零度轉(zhuǎn)至 （正角）。第三段：，在此段中，。上臺的轉(zhuǎn)角由 （正角0轉(zhuǎn)至零度。第四段：，在此段中，。上臺由零度轉(zhuǎn)至 第五段：。在此段中，上臺由轉(zhuǎn)至 我們可以看到，曲線在下列兩個區(qū)間的起伏比較大：0，100和300，400。除此外的100，300何400，600中還是比較平坦的，也即上臺的轉(zhuǎn)動量并不大，或者說，在這2個區(qū)段，要求上臺的轉(zhuǎn)動角速度是一個很小的值，在兩個拐點附近，上臺轉(zhuǎn)動角速度甚至可接近零！。這樣的觀察，將可使得加工方案大為簡化。因此，對曲線的數(shù)學分析必不可少。 圖8 問題2母線方程的分段性態(tài) 最后計算曲線的最小曲率半徑，這個數(shù)據(jù)在確定輪式砂輪的幾何尺寸時是必須的。 由微積分知

26、，函數(shù)的曲率為： ，所以其曲率半徑等于 。何處曲率半徑最??？嚴格地說，要寫出的函數(shù)表達式，然后求其最小值。不過對本題的函數(shù)，指數(shù)函數(shù)只起到衰減作用，不影響正弦函數(shù)的極值性，故我們只需求在處的曲率半徑就可以了。不難求得， ；故 （mm）。五誤差分析及其模型1局部誤差考慮加工弧線段，由點加工至（見圖5）。在第三節(jié)中，我們已經(jīng)推導出：隨著基點的平動和圖形（即剛體）的轉(zhuǎn)動，作剛體平面運動的圖形上的任一點在固定坐標系中的運動方程（3.4）。現(xiàn)我們的基點是中臺的幾何中心，所以將（3.4）改寫為 ， （5.1）其中，為點在固定系中的兩坐標位移量，為點在固定系中的兩坐標位移量，為圖形的轉(zhuǎn)角（正向按逆時針計），

27、是點在上臺坐標系中的兩坐標分量，它們?yōu)槎ㄖ?。由此，不難得到點沿著運動的曲線的方程：（即（3.6）式）， (5.2)其中等于點到點的距離，是個定值。注意，這只是一個表面上消去角度的方程，自變量仍然是時間，故不能稱為點的運動軌跡。這樣，在固定坐標系中，它不能視為一個中心在，半徑為的圓。當給定平面圖形的轉(zhuǎn)動規(guī)律，隨著時間的變動增長，（5.2）給出的平面曲線常會變得相當復雜。但是，若基點的運動，的變化率不太大，在一個較短的時間段（是個小值）中，曲線或可認為接近于對稱的二次曲線。這樣的數(shù)學條件，在加工我們的曲線時顯然是滿足的。因為我們希望下，中臺的運動較為平穩(wěn)，而分段后各段的轉(zhuǎn)角也不大。這樣得出的觀察和

28、認識結(jié)論可為加工弧線段時的誤差模型提供方便。一個較簡便的誤差模型可用理論曲線與逼近曲線之差的無窮范數(shù)來建立： （5.3）由于是在工件坐標系里定義的，而逼近函數(shù)在固定坐標系里計量的。所以上述定義僅有理論上的意義。為了更便于計算，我們進一步改用二條曲線的弓段上的高之差來近似。若記理論曲線的弓上的高為，逼近曲線的弓段上的高為。定義逼近誤差為 。 （5.4）現(xiàn)來計算此值。給定工件母線方程（工件坐標系）和弧線段的兩端點的坐標，則在直線段上由Lagrange中值定理，在段上至少存在一點，使， （5.5） 從中解出的值。直線的方程為 圖9 母線在段上的弧線弓的高 ，將代入，解出直線與直線的交點的值：。這樣就

29、不難得到弧線段的弓的高等于 。 (5.6) 注意，上述計算均在工件坐標系中進行。再考慮工件母線平面運動所形成的逼近曲線的弓段上的高（見圖10）。前面已經(jīng)得出一個近似的但足夠精確的結(jié)論：在本題中，由（5.2）給出的曲線可視為對稱的二次曲線，記此曲線為。注意！我們在固定坐標系里計算，故必須將工件母線在工件坐標系里的方程轉(zhuǎn)變?yōu)樵诠潭ㄗ鴺讼道锏姆匠?，當然這個工作是常規(guī)的。由于弧線是對稱的二次曲線，圖中的（注意這里的與上述的圖10 局部誤差示意圖 意義不同，則在固定坐標系中的點）恰為線段的中點，即 。由（5.2）， 得 ，而直線與直線的交點的值 再提醒一句，上述的是母線方程在給定的分段位置時在固定坐標系

30、中的方程！ 仿（5.5）可得 。 （5.7）注意，（5.6）與（5.5）形式看起來一樣，但實質(zhì)不一樣，因為計算時在不同坐標系里進行的。再將的值代入(5.4)，即得該段上的局部誤差。這個模型的優(yōu)點是比較簡單，也很直觀。因為加工時分段的，如果每段的誤差計算很復雜，將引起整個曲線的計算量大大增加。還可以考慮用理論曲線下的面積和逼近曲線下的面積之差來描述局部誤差。（由于時間關(guān)系，在此先省略，推導并不難。如有可能，以后補上）2整體誤差整體誤差一般等于局部誤差之和。但這里還要考慮來每段的脈沖數(shù)取整帶來的誤差。如果每段的三個工作臺中最少的脈沖個數(shù)大于50，那么因四舍五入帶來的誤差并不大；而工作臺中最少的脈沖

31、個數(shù)與分段有關(guān)，該段較長則脈沖數(shù)必定較多，但是該段長度越大，則上述的局部誤差一般也越大。這實際上又構(gòu)成一個靜態(tài)優(yōu)化問題。如何折中這兩者的關(guān)系，筆者還沒有作實質(zhì)性的工作，在閱卷前已經(jīng)沒有可能，只好等以后再說。哪位老師有興趣，不妨一試，筆者甚為感謝。六理想的動態(tài)模型第三節(jié)給出了三個工作臺分析的基礎(chǔ)，即用剛體平面運動的觀點和方法，可以在分段的基礎(chǔ)上，求出加工每一段中三個工作臺應發(fā)的脈沖數(shù)。特別令人興奮的是，由于砂輪的切削點與工件母線的切線重合，所以，加工出的曲線在相鄰兩段的連接點處至少具有一階導數(shù)連續(xù)！所以，這樣的逼近曲線至少是二階樣條函數(shù)（是不是多項式？待研究）。這個結(jié)論為上一節(jié)的誤差分析提供了堅

32、實的數(shù)學基礎(chǔ)。但是，停留在這個層面還不夠，每段的脈沖數(shù)有了，還需要知道它們的分布，從而控制工作臺運動的速度（乃至加速度）。所以，需要一個動態(tài)數(shù)學模型來描述本題的加工過程。實際上，在加工過程中，工作臺一直在運動，因此，這樣的機床系統(tǒng)是一個動態(tài)系統(tǒng)。描述動態(tài)系統(tǒng)的合適的數(shù)學工具是微分方程。除此外，還要考慮這樣的系統(tǒng)的運動須滿足逼近的要求，即求三個工作臺的最佳運動。從控制的角度看，這三個工作臺的運動不僅僅提供一個時段中的脈沖數(shù)，還需包括這些脈沖的分布，從而形成工作臺的最佳控制函數(shù)。因此，較為合理的數(shù)學模型應該歸結(jié)為一個最優(yōu)控制問題。大家知道，一個最優(yōu)控制問題屬于動態(tài)優(yōu)化問題，它的數(shù)學描述包括四個主要

33、部分：一是動態(tài)系統(tǒng)的運動描述，一般用描述系統(tǒng)運動的狀態(tài)變量和能改變系統(tǒng)運動的控制變量以及有關(guān)參量構(gòu)成的一組微分方程組來表述，對于集中系統(tǒng)，可表為常微分方程組 ，其中狀態(tài)向量，控制向量，一般指時間實變量，；二是這個系統(tǒng)的狀態(tài)的初始值和終端值。三是相關(guān)約束條件；第四是描述系統(tǒng)運動的目標性能泛函，即用來刻畫控制達到的目標。約束條件和目標泛函都要用狀態(tài)變量和控制變量來表達。因此，最優(yōu)控制問題是尋求動態(tài)系統(tǒng)從初始狀態(tài)開始，運動到終止狀態(tài)，且其運動滿足所有約束條件的整個過程中，使目標性能泛函取得極?。ɑ驑O大）值的控制變量函數(shù)。仍然以子段的逼近來考慮模型的建立，即加工弧線段，由點加工至（見圖5）。首先是系統(tǒng)

34、的狀態(tài)方程。建立狀態(tài)方程的前提是選擇好系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量。按照我們在前面的分析，三個工作臺相互配合的運動使工件與砂輪相切，等價于剛體平面運動，而這個平面運動由基點的平動和上臺的轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)，具體的基點運動是由下，中臺兩者相互正交的線運動合成而成。所以，下，中臺的運動就是輸入的控制量。加工的任務由加工至，也即使點最終移動至砂輪的磨削點，而開始時是與砂輪相切，與點重合。所以，問題的核心是的運動。這樣系統(tǒng)的狀態(tài)量首先是描述點的運動量。記點在固定坐標系中的運動量為它的兩個正交的位移量；其次，僅有還不足以描述點向切點“靠近”的狀態(tài)，故上臺的轉(zhuǎn)動也要選為系統(tǒng)狀態(tài)量。由此，我們選向量 ， （6.1）為系

35、統(tǒng)的狀態(tài)變量。系統(tǒng)的控制變量選控制點向切點“靠近”的那些變量，即為 。 （6.2）現(xiàn)在可根據(jù)剛體平面運動方程來寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程，狀態(tài)方程是微分方程，故對（5.1）兩邊關(guān)于時間求導：，其中 是平面圖形的轉(zhuǎn)動角速度。上兩個方程加上第3個狀態(tài)變量的導數(shù)，即可完整地描述平面的點在固定坐標系中的運動：即系統(tǒng)的狀態(tài)方程：， （6.3）這構(gòu)成了，這是一個非線性系統(tǒng)（帶來求解的困難程度）。其次，寫出系統(tǒng)狀態(tài)的初始和終端條件，這比較容易： 初始值：； （6.4）注意，指加工該段的端點時圖形在固定坐標系里的傾角，是在工件坐標系里的計算值。終止值：。 （6.5） 第三是約束條件，這里包括本題給定的機床進給速度的限

36、制和平穩(wěn)性要求等，比如要求工件每轉(zhuǎn)動100轉(zhuǎn)，砂輪切點載工件工作箱的旋轉(zhuǎn)軸方向上的移動量部超過4mm。這些條件均要表達為相同狀態(tài)變量和控制變量以及參數(shù)的有關(guān)方程，具體內(nèi)容要結(jié)合加工方案寫出，這里暫時省略。 最后，也是最重要的，是目標性能泛函，主要是根據(jù)問題的要求而定。我們的問題時要逼近理論曲線，所以前述的誤差（5.4）作目標性能泛函是合理的，但要寫成狀態(tài)變量和控制變量的某種泛函形式。理論上，更希望寫成積分形式，所以，最好寫成形式 。 （6.6）具體到我們的問題，可以用理論曲線和逼近曲線下的面積，正好能寫成積分形式的泛函，這里也先省略（需要的話以后再補，各位評委不妨試試）。于是，本題的最優(yōu)控制問

37、題是尋找最優(yōu)控制向量，使得動態(tài)系統(tǒng)（6.3）的狀態(tài)變量從初始值開始運動，一直演化到終止值為止的過程中，目標性能泛函取最小值。這是一個理想的數(shù)學模型。但是要真正要求解它并不容易，可行的求解途徑是數(shù)值方法。七問題3，4的修整策略其實，假若問題1，2已經(jīng)解決，那么問題3，4并不復雜。實際上只需要對砂輪的磨削點在砂輪切削面上合理移動就可以，即改變每段計算中的點坐標。以問題3為例。設(shè)圓柱形砂輪的厚度為，加工問題1的曲線時，可按時間先后，讓切削點在砂輪表面從左到右均勻地移過來。問題4稍麻煩些，但原則是一樣的。只要輪式砂輪的幾何尺寸確定后，不難選擇點沿砂輪的移動策略。八各問題的加工方案（簡述） 如果完全按照

38、最優(yōu)控制問題進行求解的話，可以求出每段的下臺和中臺的脈沖分布（分別由確定），以及上臺的脈沖分布（由決定）。這是一條高層次的求解之道。但是，我們已經(jīng)看到，這是一個非線性問題，一般只能采用數(shù)值方法。從目前能看到的考生論文情況，恐怕很少會有人想到這條路。所以筆者這里不展開討論。幸好本題有工作臺平穩(wěn)運動的要求，有希望使我們避免求解最優(yōu)控制問題。先解釋一下為什么要有平穩(wěn)性要求？在最后上網(wǎng)的正式題定稿前，筆者的提法只提平穩(wěn)性而沒有提加工光潔度。這是因為除了工件表面光潔度要求外，要求機床運動平穩(wěn)的一個更要緊的因素是機床控制系統(tǒng)的要求。由于機床很大很重，雖然有專門的潤滑子系統(tǒng)使工作臺滑動比較自由，但若三個工作

39、臺一會兒快一會兒慢，這將使機床的電機-伺服放大系統(tǒng)的負擔增加，會改變機床的動態(tài)運動特性。可能朱老師怕學生不理解，最后上網(wǎng)稿僅把這個要求歸為加工光潔度，當然就做題而言并無大礙，便于廣大非機械專業(yè)考生的理解。好，既然有了平穩(wěn)性要求，我們可以結(jié)合第三節(jié)分析的結(jié)果（即算出每段需要的脈沖數(shù)），用啟發(fā)式方法來求解，避免走最優(yōu)控制的道路。所以，對很多沒有學過最優(yōu)控制的考生，也不會原則上影響他們求解本題。這里先解釋一下題目中若干數(shù)據(jù)的含義。 步進電機理論上是間斷工作的，但若輸入脈沖的頻率達到一定值，加上機床伺服系統(tǒng)的平滑作用和工作臺本身的慣性，可以認為整個控制作用是連續(xù)的。其次，對步進電機的輸入脈沖頻率不能太

40、高，這影響到電機的輸出功率，若高過某一值，電機將出現(xiàn)“失速”乃至不能工作。所以題目中規(guī)定了輸入脈沖的最高頻率值。第三，脈沖頻率也不能太低，否則就能不能保證工作臺的運動的連貫，加上實際加工中還要考慮工作效率，所以，題目要求加工時間盡可能短（總不能半個月加工一個零件吧?。９P者在題中沒有提“使加工時間最短”之類最優(yōu)化語言，怕誤導學生。但是，還是有不少考生誤認為這是要求作時間最優(yōu)化模型的提示，故有些論文就以這個線索為主線進行建模。第二，工件工作箱的工程作用主要有3個。其一是固定工件，這由夾具本身完成，與本題無關(guān)；其二是對工件定位，確定加工的起點，這實際上也不用考慮，因為題中說明了夾具基準面就是工件母

41、線的起點。前2個作用屬于工程內(nèi)容，題目已將它淡化。第3個作用是提供旋轉(zhuǎn)，這是與本題直接有關(guān)。工件旋轉(zhuǎn)軸與工作箱主軸重合，工作箱主軸旋轉(zhuǎn)帶動工件旋轉(zhuǎn)。這是加工旋轉(zhuǎn)體工件必須的，否則工件不轉(zhuǎn)，砂輪加工出的只是一條線！有些考生把磨削速度與此相聯(lián)。本題不要求討論這些工程的細節(jié)（避免專業(yè)的局限），特地假定磨削的條件都滿足。其實磨削速度主要由砂輪本身的旋轉(zhuǎn)決定的，砂輪機箱可使砂輪高速旋轉(zhuǎn)，所以砂輪外層的線速度很高（不高就無法磨削），磨削速度與工件工作箱的轉(zhuǎn)速無關(guān)，但卻與機床的“走刀量”密切相關(guān)。題目提供：工件工作箱主軸的轉(zhuǎn)動速度設(shè)定在250-300/分鐘。這個條件不是可有可無，它與另一個提供的條件放在一起

42、（要求工件每轉(zhuǎn)動100轉(zhuǎn)，工作箱軸線方向上的“走刀量”不大于4mm），就可以估計出加工時間，有了這個總的時間，就可以知道如何分段，等等。在“走刀量”條件下，可以斷定，工件工作箱主軸的轉(zhuǎn)動速度越高，單位時間里加工長度（即沿工件的軸向的長度）越大，因而加工過程越短。所以，加工方案應選擇工作箱主軸轉(zhuǎn)速的上限：300/分鐘。因此，1分鐘可以加工的工作箱軸向長度最高達12mm。于是，600mm長的工件，最多需要時間為50分鐘。這是理想情況下的答案。實際上，加工時沿著曲線的切向進行的，所以，實際時間要大一些。所謂“在盡可能短時間內(nèi)完成磨削”，就可以用上述簡單的估計給出答案。筆者想，這些用簡單的物理知識不難

43、意義分析，不存在專業(yè)上的局限。如果一個非機械專業(yè)的研究生，這樣的分析都困難，那么他們還能從事什么樣的科研呢？科研工作中，其實只有大的學科分類，要什么都由別人告訴你，那要你干嗎？好，現(xiàn)在我們對各題的加工方案的介紹，已經(jīng)水到榘成了。限于時間，筆者用較簡略的方式敘述。問題1的加工方案：1加工基準：上面已經(jīng)說明了。2加工次序：從夾具基準面開始為的起點。注意，時要求圓柱形砂輪與工件母線相切，上臺要預先順時針方向轉(zhuǎn)一個角度（見第4節(jié)對曲線方程的數(shù)學分析），下臺和中臺的到位運動要滿足工件在處的（在工件坐標系內(nèi)）。這些運動量都可以在機床控制面板上自動顯示（題目在第2段表述過）。3砂輪幾何尺寸：理論上任一圓柱型砂輪即可，厚度和直徑不限。若要考慮到問題3的修整策略，需要對砂輪厚度提出要求，因為厚度太小，不便于修整。因為大多數(shù)考生缺乏磨削工藝知識，對砂輪難以提出具體要求。所以對此不必嚴格。4分段。這是很重要的一環(huán)。逼近論常采用等分原則，看到很多考生也這么做。對于問題1和2，等分不是好方法，因為要考慮上臺的轉(zhuǎn)向，也就是在不同的曲線段，上臺的轉(zhuǎn)向不一致（或順時針向或逆時針向）。另一個考慮的因素是工作臺的平穩(wěn)性，應盡量使工作臺在相鄰兩段中的脈沖頻率接近，或者使兩段的