鏡像法與電軸法(靜電場(chǎng))

1、鏡像法與電軸法首先把原來(lái)具有邊界的場(chǎng)域空間首先把原來(lái)具有邊界的場(chǎng)域空間看成是一個(gè)無(wú)限大的均勻空間，然后看成是一個(gè)無(wú)限大的均勻空間，然后用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布面上復(fù)雜電荷分布, ,虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場(chǎng)的解答滿足大小與位置使場(chǎng)的解答滿足唯一性定唯一性定理理。虛設(shè)電荷一般位于鏡像位置，故。虛設(shè)電荷一般位于鏡像位置，故稱鏡像法。稱鏡像法。鏡像法基本思路鏡像法基本思路2000044qqrr點(diǎn)電荷之外區(qū)域點(diǎn)電荷之外區(qū)域?qū)w平面導(dǎo)體平面和無(wú)窮遠(yuǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)電荷的鏡像點(diǎn)電荷的鏡像上半?yún)^(qū)域上半?yún)^(qū)域場(chǎng)邊值問(wèn)題場(chǎng)邊值問(wèn)題接地導(dǎo)體平面上

2、電荷的場(chǎng)接地導(dǎo)體平面上電荷的場(chǎng)200點(diǎn)電荷之外區(qū)域點(diǎn)電荷之外區(qū)域平面導(dǎo)體和無(wú)窮遠(yuǎn)平面導(dǎo)體和無(wú)窮遠(yuǎn)接地導(dǎo)體平面上接地導(dǎo)體平面上電荷的場(chǎng)邊值問(wèn)題電荷的場(chǎng)邊值問(wèn)題注意：注意：1、有效區(qū)域有效區(qū)域：用鏡像求得的解答只對(duì)上半空：用鏡像求得的解答只對(duì)上半空間才是正確的，因?yàn)樗衔ㄒ恍远ɡ淼囊?。間才是正確的，因?yàn)樗衔ㄒ恍远ɡ淼囊蟆?、鏡像法特點(diǎn)鏡像法特點(diǎn)：將計(jì)算場(chǎng)域不均勻空間轉(zhuǎn)化：將計(jì)算場(chǎng)域不均勻空間轉(zhuǎn)化為均勻空間，降低了問(wèn)題求解難度。為均勻空間，降低了問(wèn)題求解難度。（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為EEE222 3/2002cos42()yyqqhEeerhx0

3、22 3/22()pyqhDEhx xxxhqhSSpd2)(2d02/322qxhqh02/122)(1求空氣中點(diǎn)電荷求空氣中點(diǎn)電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況解解: 設(shè)點(diǎn)電荷設(shè)點(diǎn)電荷q離地面高度為離地面高度為h，則則地面引起的感應(yīng)電荷的分布地面引起的感應(yīng)電荷的分布設(shè)有一點(diǎn)電荷設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相互直角的兩個(gè)接地的半無(wú)限大置于相互直角的兩個(gè)接地的半無(wú)限大導(dǎo)電平板附近，試求解這一電場(chǎng)。導(dǎo)電平板附近，試求解這一電場(chǎng)。夾角為夾角為=/3的兩相聯(lián)無(wú)限大導(dǎo)電平面的鏡象的兩相聯(lián)無(wú)限大導(dǎo)電平面的鏡象導(dǎo)體球面鏡像：設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，導(dǎo)體球面鏡像：設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接

4、地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。球外空間（除球外空間（除q點(diǎn)外）點(diǎn)外）0002導(dǎo)球面r設(shè)置設(shè)置-q放置在球內(nèi)（無(wú)效區(qū)），使放置在球內(nèi)（無(wú)效區(qū)），使其等效球殼上的感應(yīng)電荷，對(duì)照兩其等效球殼上的感應(yīng)電荷，對(duì)照兩種情況下的邊值問(wèn)題，種情況下的邊值問(wèn)題，關(guān)鍵問(wèn)題關(guān)鍵問(wèn)題是是確定等效電荷的量值大小和位置。確定等效電荷的量值大小和位置。0442010rqrqpcos2cos2222221RbRbrRdRdr0cos)(2)()(22222222bqdqRRdqRbq00)()(22222222bqdqRdqRbq點(diǎn)電荷對(duì)接地球的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地球的鏡像計(jì)算不接地金

5、屬球附近放置點(diǎn)電荷時(shí)的電場(chǎng)分布計(jì)算不接地金屬球附近放置點(diǎn)電荷時(shí)的電場(chǎng)分布q qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b點(diǎn)電荷對(duì)不接地金屬球的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)不接地金屬球的鏡像除除 q 點(diǎn)外點(diǎn)外球外空間球外空間2000rs 球 面常 數(shù)感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性， 在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等；正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等；正鏡像電荷只能位于球心。正鏡像電荷只能位于球心。任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：)1(4)(41210210drRdrRrqrqrqrq)1(421222120rrrd

6、rRdrRrqeeeEq qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b點(diǎn)電荷位于不接地點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖nnttDDEE2121coscoscos222444121sinsinsin222444qqqrrrqqqrrr012022介質(zhì)分界面的鏡像介質(zhì)分界面的鏡像 1 1中的電場(chǎng)是由中的電場(chǎng)是由q與與q共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，半空間，q是等效替代極化電荷的影響。是等效替代極化電荷的影響。 2 2中的電場(chǎng)是中的電場(chǎng)是q”由決定，其有效區(qū)在下半空間，由決定，其有效區(qū)在下半空間， q”是等效替代自由電荷

7、與極化電荷的作用。是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。qqqqqq12212212 求圖示求圖示 1 1與與 2 2區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度，確定鏡像度，確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置。大小與位置。例例3-1 離河面高度為離河面高度為h處，有一輸電線經(jīng)過(guò)，導(dǎo)處，有一輸電線經(jīng)過(guò)，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電荷量為線單位長(zhǎng)度的電荷量為，且導(dǎo)線半徑遠(yuǎn)小于，且導(dǎo)線半徑遠(yuǎn)小于h。設(shè)河水的介電常數(shù)為設(shè)河水的介電常數(shù)為800，求水中的電場(chǎng)強(qiáng)度。，求水中的電場(chǎng)強(qiáng)度。212216081 解：由于導(dǎo)線半徑遠(yuǎn)小于解：由于導(dǎo)線半徑遠(yuǎn)小于h，所以可將導(dǎo)線表面電荷視，所以可將導(dǎo)線表面電荷視 為集中到幾何軸線上的線電荷，

8、鏡像電荷為：為集中到幾何軸線上的線電荷，鏡像電荷為：2222202220()22160()16280()81()()xyxyyrxxyhEeeerr rrxyheerxyheexyhxyhr電軸法工程背景電軸法工程背景11100d(lnln)22bb 22200d(lnln)22bb 2221222010()lnln22()Px byx by兩根等量異號(hào)線電荷的電場(chǎng)兩根等量異號(hào)線電荷的電場(chǎng)以原點(diǎn)以原點(diǎn)o為參考點(diǎn)，則為參考點(diǎn)，則 2010ln()ln()22pK 常數(shù)22222)()(Kybxybxa、h、b三者之間的關(guān)系滿足三者之間的關(guān)系滿足 等位線方程為：等位線方程為：bKKhh11)0 ,

9、(22圓心坐標(biāo)圓心坐標(biāo)圓半徑圓半徑122KbKa則則若若等位線與電力線分布圖等位線與電力線分布圖負(fù)電位區(qū)域負(fù)電位區(qū)域正電位區(qū)域正電位區(qū)域 0 若在任一等位面上放一無(wú)厚度的金屬圓柱殼，若在任一等位面上放一無(wú)厚度的金屬圓柱殼，是否會(huì)影響電場(chǎng)分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？是否會(huì)影響電場(chǎng)分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？若若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問(wèn)。在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問(wèn)。電軸法基本思路電軸法基本思路置于電軸上的等效線電荷，來(lái)代替圓柱置于電軸上的等效線電荷，來(lái)代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷，從而求得電場(chǎng)的方法，導(dǎo)體面上分布電荷，從而求得電場(chǎng)的方法，稱為稱為電軸法電軸法。兩根平行的帶等值異號(hào)電荷的等

10、半徑輸電線的電場(chǎng)兩根平行的帶等值異號(hào)電荷的等半徑輸電線的電場(chǎng)22ahb120210ln2)11(2pP21eeE解：采用解：采用電軸法電軸法建立坐標(biāo)系，確定電軸位置建立坐標(biāo)系，確定電軸位置圓柱導(dǎo)線間電場(chǎng)和電位圓柱導(dǎo)線間電場(chǎng)和電位兩根平行的帶等值異號(hào)電荷的等半徑輸電線的電場(chǎng)兩根平行的帶等值異號(hào)電荷的等半徑輸電線的電場(chǎng)120()ln2()bhabha 兩根輸電線表面的電位為：兩根輸電線表面的電位為：當(dāng)當(dāng)ha，b h時(shí)：時(shí)：102ln2ha011212,ln22lnlnphhaa 已知兩根不同半徑已知兩根不同半徑, ,相互平行相互平行, ,軸線距離為軸線距離為d 的帶的帶電長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體電長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體

11、, ,試決定電軸位置。試決定電軸位置。試確定圖示偏心電纜的電軸位置試確定圖示偏心電纜的電軸位置已知一對(duì)半徑為已知一對(duì)半徑為a,相距為相距為d的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體傳輸線的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為之間電壓為U0，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。 )()(ln2)()(ln2000ahbahbahbahbU)()(ln2200ahbahbU解出由BAU022222( )22bhadbadha)確定電軸的位置確定電軸的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbUPb) 場(chǎng)中任一點(diǎn)電位為場(chǎng)中任一點(diǎn)電位為c) 場(chǎng)中任一點(diǎn)電位為場(chǎng)中任一點(diǎn)電位為分裂導(dǎo)線分裂導(dǎo)線n 在高壓電力傳輸中，為了降低在高壓電力傳輸中，為了降低電暈電暈損耗損耗，減弱對(duì)通信的干擾，常采用分裂，減弱對(duì)通信的干擾，常采用分裂導(dǎo)線的方法，即將每一根導(dǎo)線分成幾股導(dǎo)線的方法，即將每一根導(dǎo)線分成幾股排列成圓柱形表面，以排列成圓柱形表面，以減弱傳輸線周圍減弱傳輸線周圍的電場(chǎng)的電場(chǎng)。（原理。（原理P50） 鏡像法（電軸法）小結(jié)鏡像法（電軸法）小結(jié) 鏡像法（電軸法）的鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一是靜電場(chǎng)唯一性定理；性定理； 鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使