第4章立體圖形的投影

1、第第4章章 立體的投影及表面交線立體的投影及表面交線4.1 基本體的投影基本體的投影4.2 平面與立體相交平面與立體相交4.3 立體與立體相交立體與立體相交本章教學目標要求本章教學目標要求: :掌握常見平面體和回轉(zhuǎn)體的投影特征及其作圖要領。掌握常見平面體和回轉(zhuǎn)體的投影特征及其作圖要領。掌握在平面體和回轉(zhuǎn)體表面取點的作圖方法。掌握在平面體和回轉(zhuǎn)體表面取點的作圖方法。熟悉特殊點的幾何意義及其作圖要領。熟悉特殊點的幾何意義及其作圖要領。掌握平面與立體相交的分析方法和作圖方法。掌握平面與立體相交的分析方法和作圖方法。掌握立體與立體相交的分析方法和作圖方法。掌握立體與立體相交的分析方法和作圖方法。本章重

2、點難點：本章重點難點：截交線的形狀特征分析和投影作圖。截交線的形狀特征分析和投影作圖。輔助平面法作圖的原理及方法。輔助平面法作圖的原理及方法。相貫線的形狀特征分析和投影作圖。相貫線的形狀特征分析和投影作圖?；啬夸?按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基本體分為本體分為平面立體平面立體和和曲面立體曲面立體兩類。兩類。4.1.1 三面投影與三視圖三面投影與三視圖4.1.3 曲面立體曲面立體4.1.2 平面立體平面立體繪制平面立體的投影，即是繪制平面立體上所有平繪制平面立體的投影，即是繪制平面立體上所有平面的投影，也就是繪制平面立體上各平面間的交線面的投影，

3、也就是繪制平面立體上各平面間的交線( (棱線棱線) )和各頂點和各頂點( (棱線的交點棱線的交點) )的投影。的投影。平面體的投影特征：平面體的投影特征：4.1.1 三面投影與三視圖三面投影與三視圖主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖XYWYHZO三視圖的位置關系和投影規(guī)律三視圖的位置關系和投影規(guī)律長長高高寬寬寬寬上上上上下下下下左左左左右右右右前前前前后后后后主、俯視圖主、俯視圖 長對正長對正主、左視圖主、左視圖 高平齊高平齊俯、左視圖俯、左視圖 寬相等寬相等4-1 立體及其表面上的點與線1、棱柱及其投影特性2、棱錐及其投影特性 二、曲面立體一、平面立體由平面圍成的立體稱為平面立體。由曲面或

4、曲面和平面共同圍成的立體稱為曲面立體。 任何機械零件，從幾何學角度來分析，它們總可以看作是由一些簡單的幾何體組合而成的。所以，我們把這些簡單的幾何體稱為基本形體基本形體。4-1 4-1 平面立體平面立體 平面立體平面立體由若干個平面圍成的實體。由若干個平面圍成的實體。 平面立體側(cè)表面的交線稱為平面立體側(cè)表面的交線稱為棱線棱線。若平面立體所有棱線互相平行，稱為若平面立體所有棱線互相平行，稱為棱柱棱柱。若平面立體所有棱線交于一點，稱為若平面立體所有棱線交于一點，稱為棱錐棱錐。棱臺棱臺棱柱棱柱棱錐棱錐圖圖3-1 平面立體平面立體3.1.2 平面立體平面立體 表面均為平面構成的立體稱為平面立體，平面表

5、面均為平面構成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺等。體有棱柱、棱錐和棱臺等。棱柱棱柱棱錐棱錐1. 棱棱 柱柱 a a(a )(b )bb 直棱柱直棱柱頂面和底面是兩個全等且相互平行的多邊頂面和底面是兩個全等且相互平行的多邊形（特征面），各側(cè)面為矩形。形（特征面），各側(cè)面為矩形。正棱柱正棱柱頂面和底面為正多邊形的直棱柱。頂面和底面為正多邊形的直棱柱。1. 1. 棱柱的投影棱柱的投影作圖作圖: :1. 1. 棱柱的投影棱柱的投影分析分析: :正六棱柱正六棱柱由頂面、底面和六個側(cè)棱面組成。由頂面、底面和

6、六個側(cè)棱面組成。正六棱正六棱柱柱的頂面、底面為的頂面、底面為水平面水平面，在俯視圖中反映實形。，在俯視圖中反映實形。(a) 直觀圖(b) 投影圖圖圖3-2 正六棱柱的投影正六棱柱的投影 由于棱柱的由于棱柱的表面都是平面表面都是平面，所以在棱柱的表面上取，所以在棱柱的表面上取點與在點與在平面上取點平面上取點的方法相同。的方法相同。 2. 2. 棱柱表面上點的投影棱柱表面上點的投影(a) 直觀圖MABDC點的可見性判別：點的可見性判別： 若點所在平面的若點所在平面的投影可見，點的投影投影可見，點的投影可見；若平面的投影可見；若平面的投影積聚成直線，點的投積聚成直線，點的投影也可見。影也可見。 已知

7、六棱柱已知六棱柱ABCD側(cè)表面上點側(cè)表面上點M的的V面投影面投影m，求該點的求該點的H面投影面投影m和和W面投影面投影m。(b) 投影圖m (a) 直觀圖a(d)b(c)adbcMABDCm m 1)1)在平面立體的每一投影中，其在平面立體的每一投影中，其外形輪廓線都是外形輪廓線都是可見的。可見的。 2)2)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)的直在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)的直線的可見性，相交時可利用交叉兩直線的線的可見性，相交時可利用交叉兩直線的重影點重影點來來判別。判別。 3)3)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)，若在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)，若多條棱線交于一點，且

8、多條棱線交于一點，且交點可見交點可見，則這些，則這些棱線均可棱線均可見見，否則均不可見。，否則均不可見。 4)4)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)，在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)，兩兩可見表面相交，其交線為可見可見表面相交，其交線為可見。兩不可見表面的交。兩不可見表面的交線為不可見。線為不可見。 1. 1. 棱錐的投影棱錐的投影棱錐棱錐底面是多邊形，各側(cè)面為若干具有公共頂點底面是多邊形，各側(cè)面為若干具有公共頂點的三角形。的三角形。正棱錐正棱錐底面為正多邊形底面為正多邊形, ,各側(cè)面是全等的等腰三角各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐。形的棱錐。ASBC1. 1. 棱錐的投影棱錐的投影分析分

9、析: :正三棱錐正三棱錐由底面和三個側(cè)棱面組成。由底面和三個側(cè)棱面組成。正三棱錐正三棱錐的底面為的底面為水平面水平面，在俯視圖中反映實形。后側(cè)棱面為在俯視圖中反映實形。后側(cè)棱面為側(cè)垂面?zhèn)却姑?，在左視圖中積聚為一斜線。，在左視圖中積聚為一斜線。左、右側(cè)棱面是左、右側(cè)棱面是一般位置平面一般位置平面，在三個投影面上的投影為，在三個投影面上的投影為類似形類似形。作圖作圖: :YXZsSsbcACBbabcsaaO(c)(a) 直觀圖(b) 投影ababcca(c)b圖圖3-3 正正三棱錐三棱錐的投影的投影sssASCBascbabcsa(c)bsbas csabc(c)absOZX 已知棱面已知棱面S

10、AB上點上點M的正面投影的正面投影m和棱面和棱面SAC上點上點N的水平投影的水平投影n，求作，求作M、N兩點的其余投影。兩點的其余投影。2. 2. 棱錐表面上點的投影棱錐表面上點的投影采用采用平面上取點法平面上取點法(a) 直觀圖(b) 投影m m m Mn(n )n m作圖方法作圖方法1 1mm 已知棱面已知棱面SAB上點上點M的正面投影的正面投影m和棱面和棱面SAC上點上點N的水平投影的水平投影n。求作。求作M M、N N兩點的其余投影。兩點的其余投影。2. 2. 棱錐表面上點的投影棱錐表面上點的投影m m(a) 直觀圖(b) 投影作圖方法作圖方法2 2注意：注意： 分清直線所在表面，求分

11、清直線所在表面，求出與所有棱線的交點。出與所有棱線的交點。ASCBascbabcsa(c)bsbascsabc(c)absOZXm m Mmm 2. 棱棱 錐錐s Basacbcs bCASb”(c”)a”s(c )s a ac b b cs ba 1 11 r r2 2 23(3 )3 3. 3. 棱錐臺棱錐臺 棱錐臺棱錐臺由平行于棱底的平面截去錐頂一部分由平行于棱底的平面截去錐頂一部分形成的立體形成的立體, ,頂面與底面是相互平行的相似多邊形頂面與底面是相互平行的相似多邊形, ,各各側(cè)面為等腰梯形。側(cè)面為等腰梯形。 正棱錐臺正棱錐臺由正棱錐截得的棱臺。由正棱錐截得的棱臺。四棱錐臺的投影四棱

12、錐臺的投影(a) 直觀圖(b) 投影圖圖3-4 四棱錐臺的投影四棱錐臺的投影小 結 1. 1.平面立體投影的作圖可歸結為繪制平面平面立體投影的作圖可歸結為繪制平面（立體表面）和（棱）線投影的作圖。（立體表面）和（棱）線投影的作圖。如果點或直線在特殊位置平面內(nèi)如果點或直線在特殊位置平面內(nèi)，則作圖，則作圖時，可充分利用平面投影有時，可充分利用平面投影有積聚性積聚性的特點，由的特點，由一個投影求出其另外兩個投影；一個投影求出其另外兩個投影； 2.2.在立體表面上取點、取線的方法與在平在立體表面上取點、取線的方法與在平面上取點、取線的方法相同。面上取點、取線的方法相同。如果點或直線在一般位置平面內(nèi)如果

13、點或直線在一般位置平面內(nèi)，則需過，則需過已知點的一個投影已知點的一個投影作輔助線作輔助線，求出其它投影。，求出其它投影。 3.1.3 曲面立體曲面立體 表面由曲面或曲面和平面構成的立體稱為曲面立表面由曲面或曲面和平面構成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。 曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運動所形成，曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運動所形成，運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。圓柱圓柱圓錐圓錐圓球圓

14、球3-2 3-2 回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體-由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面和平面圍成的立體由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面和平面圍成的立體一動線繞一定線回轉(zhuǎn)一周后形成的曲面一動線繞一定線回轉(zhuǎn)一周后形成的曲面稱為稱為回轉(zhuǎn)面回轉(zhuǎn)面。形成回轉(zhuǎn)面的定線稱為形成回轉(zhuǎn)面的定線稱為軸線軸線, ,動線稱為動線稱為母線母線, ,母線在母線在回轉(zhuǎn)面上任意位置稱為回轉(zhuǎn)面上任意位置稱為素線素線。(a)軸線軸線母線母線圖圖3-5 回轉(zhuǎn)體和回轉(zhuǎn)面的形成回轉(zhuǎn)體和回轉(zhuǎn)面的形成(b)工程上常見的回轉(zhuǎn)體有工程上常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、球、圓環(huán)圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等。等。繪制回轉(zhuǎn)體的投影，即是繪制回轉(zhuǎn)體的回轉(zhuǎn)面和繪制回轉(zhuǎn)體的投影，即是繪制回轉(zhuǎn)體的回轉(zhuǎn)面和平面

15、的投影，也就是繪制回轉(zhuǎn)體的輪廓線、尖頂平面的投影，也就是繪制回轉(zhuǎn)體的輪廓線、尖頂?shù)耐队耙约稗D(zhuǎn)向輪廓線。的投影以及轉(zhuǎn)向輪廓線。(a) 圓柱圓柱 (b) 圓錐圓錐 (c) 圓球圓球 (d) 圓環(huán)圓環(huán)圖圖3-6 常見的常見的回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體1. 圓圓 柱柱 圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 圓柱面圓柱面-一直線繞與它平行一直線繞與它平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。的軸線回轉(zhuǎn)而成。圓柱立體分析圓柱立體分析: :當圓柱的軸線當圓柱的軸線是鉛垂線時是鉛垂線時, ,圓柱面上的圓柱面上的所有素線都是鉛垂線所有素線都是鉛垂線, ,頂頂面和底面為水平面。面和底面為水平面。圖圖3-7 圓

16、柱的形成圓柱的形成1.1.圓柱的投影圓柱的投影圓柱的投影分析圓柱的投影分析:轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向輪廓素線廓素線圖圖3-8 圓柱的投影圓柱的投影圓柱的投影特性圓柱的投影特性:回轉(zhuǎn)軸線用點劃線表示；回轉(zhuǎn)軸線用點劃線表示；水平投影積聚為一圓；水平投影積聚為一圓；正面投影和側(cè)面投影均正面投影和側(cè)面投影均為矩形。為矩形。圖圖3-8 圓柱的投影圓柱的投影2.2.圓柱面上取點圓柱面上取點 mmm分析分析：點在圓柱面上，利：點在圓柱面上，利用水平投影積聚性，可以用水平投影積聚性，可以求出點求出點M和點和點N的水平投的水平投影。影。作圖作圖：( )nn(n)圖圖3-9 圓柱面上取點圓柱面上取點( )A(D)CBc”2.

17、圓圓 錐錐 圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。圓錐面圓錐面-一直線繞與它相一直線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。交的軸線回轉(zhuǎn)而成。圓錐立體分析圓錐立體分析: :當圓錐的軸當圓錐的軸線是鉛垂線時線是鉛垂線時, ,底面為底面為水平面，圓錐面上的所水平面，圓錐面上的所有素線都是通過錐頂?shù)挠兴鼐€都是通過錐頂?shù)闹本€。直線。圖圖3-10 圓錐的形成圓錐的形成1.1.圓錐的投影圓錐的投影轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向輪廓素線廓素線圓錐的投影分析圓錐的投影分析:圖圖3-11 圓錐的投影圓錐的投影作圓錐投影圖作圓錐投影圖圓錐的投影特性圓

18、錐的投影特性:回轉(zhuǎn)軸線用點劃線表示；回轉(zhuǎn)軸線用點劃線表示；水平投影為一圓（底面輪廓水平投影為一圓（底面輪廓線），無積聚性；線），無積聚性；正面投影和側(cè)面投影為相同的正面投影和側(cè)面投影為相同的等腰三角形。等腰三角形。圖圖3-11 圓錐的投影圓錐的投影2.2.圓錐面上取點圓錐面上取點 作圖方法一：作圖方法一：輔助緯圓法輔助緯圓法aaaA輔助緯圓輔助緯圓圖圖3-12 圓錐面上取點圓錐面上取點(a)(b)a輔助素線法輔助素線法as輔助素線輔助素線Aba(c)圖圖3-12 圓錐面上取點圓錐面上取點(d)bb輔助素線法輔助素線法輔助圓法輔助圓法3. 圓圓 球球 球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線

19、旋轉(zhuǎn)而成。 球面球面-半圓繞其直徑為軸半圓繞其直徑為軸線回轉(zhuǎn)一周而成。線回轉(zhuǎn)一周而成。圖圖3-13 圓球的形成圓球的形成1.1.球的投影球的投影圖圖3-14 圓球的投影圓球的投影圖圖3-14 圓球的投影圓球的投影(a)(b)(c)(d)作球的投影圖作球的投影圖球的投影特性球的投影特性圖圖3-14 圓球的投影圓球的投影a2.2.球面上取點球面上取點 用用輔助緯圓法輔助緯圓法作圖作圖aAa輔助緯圓圖圖3-15 球面上取點球面上取點(a)(b)a用用輔助正平圓輔助正平圓作圖作圖輔助緯圓Aaa圖圖3-15 球面上取點球面上取點(c)(d)圖圖3-16 不完整曲面立體的投影不完整曲面立體的投影 圖3-1

20、0 開槽半圓球(a) 開槽半圓球；(b) 畫槽的底面投影；(c) 畫槽的側(cè)面投影 圖3-10 開槽半圓球(a) 開槽半圓球；(b) 畫槽的底面投影；(c) 畫槽的側(cè)面投影4.3.1 平面與平面立體相交平面與平面立體相交4.3.2 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交 平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點，線上的點是截平面與立體表面上的共有點，它既在截平面上它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體

21、都有一定的空間范圍，所以又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截平面截交線截交線截交線的概念截交線的概念4.3 4.3 切割體的投影切割體的投影一、切割體及截交線的概念一、切割體及截交線的概念切割體切割體基本體被平面截切后的部分基本體被平面截切后的部分截平面截平面截切立體的平面截切立體的平面截斷面截斷面立體被截切后的斷面立體被截切后的斷面截交線截交線截平面與立體表面的交線截平面與立體表面的交線截交線性質(zhì)：截交

22、線性質(zhì)： 1.1.截交線是截平面與立體表面的截交線是截平面與立體表面的共有線共有線。 2.2.截交線是封閉的截交線是封閉的線條線條。 3.3.截交線的形狀取決于截交線的形狀取決于: : 立體表面的幾何形狀立體表面的幾何形狀 截平面與立體的相對位置截平面與立體的相對位置截平面截平面截交線截交線截斷面截斷面圖圖3-19 截交的基本概念截交的基本概念截切截切： 用平面與立體相交，截去立體的一部分。用平面與立體相交，截去立體的一部分。 截平面截平面 : :用以截切物體的平面。用以截切物體的平面。 截交線截交線 : :截平面與物體表面的交線。截平面與物體表面的交線。 截斷面截斷面 : :因截平面的截切，

23、在物體上形成的平面。因截平面的截切，在物體上形成的平面。 討論的問題：討論的問題：截交線的分析和作圖截交線的分析和作圖 。4.1 4.1 平面立體的截切平面立體的截切一、平面立體截切的基本形式一、平面立體截切的基本形式 平面立體的截交線是一個由直線組成的平面立體的截交線是一個由直線組成的平面封閉多平面封閉多邊形邊形，其形狀取決于平面立體的形狀及截平面在平面，其形狀取決于平面立體的形狀及截平面在平面立體上的截切位置。立體上的截切位置。 截交線的每條邊都是截交線的每條邊都是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線( (共有性共有性) )。求求截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線截交

24、線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：3.2.1 平面與平面立體相交平面與平面立體相交 由于平面立體是由平面圍成的由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進而簡化為求直線問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進而簡化為求直線與平面交點的問題。與平面交點的問題。二、平面立體截交線的畫圖二、平面立體截交線的畫圖 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法：棱線法棱線法:求各棱線與截平面的交點求各棱線與截平面的交點棱面法棱面法: :求各棱面與

25、截平面的交線求各棱面與截平面的交線 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與立體的相對位置截平面與立體的相對位置 截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置 ）空間及投影分析空間及投影分析 ）畫出截交線的投影）畫出截交線的投影123456 3. 截交線的形狀截交線的形狀（1 1）分析截平面與立體的相對位置以確）分析截平面與立體的相對位置以確定截交線形狀。定截交線形狀。 （2 2）分析截平面與投影面的相對位置以確）分析截平面與投影面的相對位置以確 定截交線的投影形狀。定截交線的投影形狀。截交線的形截交線的形 狀是怎樣的？狀是怎樣的？截交線多邊形的邊數(shù)截交線多邊形的邊數(shù)= =截平面截到的棱

26、面數(shù)截平面截到的棱面數(shù)sabcasbcs a (c )b BA1 2 3 1yy23 1 2 3例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4交線的形狀？交線的形狀？3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 類似性類似性截平面與立體的幾個棱面相交截平面與立體的幾個棱面相交? ?截交線與投影面的位置關系截交線與投影面的位置關系? ? 二、平面切割體的投影二、平面切割體的投影圖圖3-21 3-21 正四棱錐被一正垂面截切正四棱錐被一

27、正垂面截切(a)(a) 題圖題圖分析：分析：形體分析與投影分析；形體分析與投影分析；123132(4)44123(b)(b) 求正垂面與立體的交線求正垂面與立體的交線圖圖3-21 3-21 正四棱錐被一正垂面截切正四棱錐被一正垂面截切作圖作圖: :圖圖3-21 3-21 正四棱錐被一正垂面截切正四棱錐被一正垂面截切(c) (c) 整理、加深整理、加深123132(4)441 23作圖作圖: :(d)(d) 檢查、完成檢查、完成圖圖3-21 3-21 正四棱錐被一正垂面截切正四棱錐被一正垂面截切作圖作圖: : sssbccbaabca1yyy題步驟解題步驟1 1 分析分

28、析 截交線的正截交線的正面投影已知，水平投面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；影和側(cè)面投影未知；2 2 求出截交線上的折求出截交線上的折點點、 、 ；3 3 順次地連接各點，順次地連接各點，作出截交線，并且判作出截交線，并且判別可見性；別可見性；4 4 整理輪廓線。整理輪廓線。例例4 4：求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。625 13 4 123456123456 例例5 5 試求正四棱錐被兩平面截切后的投影試求正四棱錐被兩平面截切后的投影QP(a)(a) 題圖題圖圖圖3-22 3-22 正四棱錐被兩平面截切正四棱錐被兩平面截切分析：分析：形體分析與投影分析

29、；形體分析與投影分析；(b)(b) 形體分析與投影分析形體分析與投影分析圖圖3-22 3-22 正四棱錐被兩平面截切正四棱錐被兩平面截切16(5) (4)(8)123672341325578678(c)(c) 求水平面、正垂面與立體的交線求水平面、正垂面與立體的交線圖圖3-22 3-22 正四棱錐被兩平面截切正四棱錐被兩平面截切作圖作圖: :4(d) (d) 整理、加深整理、加深圖圖3-22 3-22 正四棱錐被兩平面截切正四棱錐被兩平面截切作圖作圖: :16(5) (4)(8)1236723413255786784(e)(e) 檢查、完成檢查、完成圖圖3-22 3-22 正四棱錐被兩平面截切

30、正四棱錐被兩平面截切作圖作圖: : 235411166543264（5）2（3） 例例7:7:求九棱柱被正垂面截切后的俯視圖。求九棱柱被正垂面截切后的俯視圖。1 2345678919 28534 6 7123456789用截交線的用截交線的類似性檢查檢查3.2.2 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交 曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。直線所圍成的平面圖形或多邊形。 4.2 4.2 回轉(zhuǎn)體的截切回轉(zhuǎn)體的截切一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線性質(zhì)截交線性質(zhì)共有性共有性截交線形狀截交線形

31、狀封閉的平面圖形封閉的平面圖形二、求截交線的一般步驟二、求截交線的一般步驟 空間及投影分析空間及投影分析 確定截交線的形狀確定截交線的形狀 明確明確截交線的投影特性截交線的投影特性 畫截交線的投影畫截交線的投影 先取特殊點，后取中間點。先取特殊點，后取中間點。 1234 截平面平行于軸線，截平面平行于軸線，交線為平行于軸線的交線為平行于軸線的 兩條平行直線兩條平行直線截平面傾斜于軸線，截平面傾斜于軸線，交線為交線為 橢圓橢圓截平面垂直于軸線，截平面垂直于軸線，交線為交線為 圓圓兩條平行直線兩條平行直線垂直于軸線的圓垂直于軸線的圓橢橢 圓圓 三、回轉(zhuǎn)切割體的投影三、回轉(zhuǎn)切割體的投影表表3-1 3

32、-1 平面與圓柱相交的三種方式平面與圓柱相交的三種方式 圓柱體的截切圓柱體的截切截交線的形狀取決于截平面與圓柱截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線軸線的相對位置的相對位置 圓圓橢圓橢圓 兩平行直線兩平行直線 分析：分析：空間分析與投影分析；空間分析與投影分析；作圖步驟作圖步驟： 作圓柱體的三視圖作圓柱體的三視圖 12(4)312341234(6)55665圖圖3-23 3-23 斜切圓柱體的投影斜切圓柱體的投影（b)找特殊點找特殊點、的投影的投影 作一般點作一般點、的投影的投影7(8)7878(a)(a) 題圖題圖光滑連線光滑連線1114322265433(4)5656877878作圖步驟：作圖

33、步驟： （1 1）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別截交線的形狀和性質(zhì)。截交線的形狀和性質(zhì)。 （2 2）求出截交線上的特殊點。）求出截交線上的特殊點。 （3 3）根據(jù)需要求出若干個一般點。）根據(jù)需要求出若干個一般點。 （4 4）光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判）光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性。別可見性。 （5 5）最后，補全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向）最后，補全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。 特殊點：特殊點：是指繪制曲線時

34、有影響的各種點。是指繪制曲線時有影響的各種點。曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點。曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點。 曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，它們是區(qū)曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，它們是區(qū)分曲線可見與不可見部分的分界點。分曲線可見與不可見部分的分界點。 曲線本身具有特征的點，如橢圓長短軸上四個端點。曲線本身具有特征的點，如橢圓長短軸上四個端點。 截交線由幾部分不同線段組成時結合處的點。截交線由幾部分不同線段組成時結合處的點。例例1010：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析利用利用積聚性積聚性求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素

35、線的投影截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置解題步驟：解題步驟： 同一立體被多同一立體被多個平面截切，要逐個平面截切，要逐個截平面進行截交個截平面進行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例例1111：求左視圖：求左視圖解題步驟解題步驟1 分析分析 截交線的水平投影為橢截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；圓，側(cè)面投影為圓；2 求出截交線上的特殊點求出截交線上的特殊點、 、 ；3 求出若干個一般點求出若干個一般點、 、；4 光滑且順次地連接各點，作光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；出截交線，并且判別可見性；5 整理輪廓線。整理輪

36、廓線。解題步驟解題步驟1 分析分析 截交線的水平投影截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；為矩形；2 求出截交線上的特殊點求出截交線上的特殊點、；3順次地連接各點，作出截順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；交線并判別可見性；4 整理輪廓線。整理輪廓線。12(3)(4)1231(2)3(4)圖圖3-24 3-24 圓柱體開出一方槽的投影圓柱體開出一方槽的投影（b）56564 分析：分析：形體分析與投影分析；形體分析與投影分析；作圖步驟：作圖步驟： 作圓柱的水平投影作圓柱的水平投影找點找點、的投影的投影5(a)(a) 題圖題圖判斷可見性，連線、加深判斷可見性，連線

37、、加深圖圖3-24 3-24 圓柱體開出一方槽的投影圓柱體開出一方槽的投影(c)(c)12(3)(4)1231(2)3(4)565645檢查、完成檢查、完成圖圖3-24 3-24 圓柱體開出一方槽的投影圓柱體開出一方槽的投影(d)(d)圖圖3-20 3-20 零件示例零件示例 分析：分析：形體分析與投影分析；形體分析與投影分析；圖圖3-25 3-25 圓柱體切割后的投影圓柱體切割后的投影(a)(a) 題圖題圖(b)(b) 形體分析形體分析作圖步驟：作圖步驟： 圖圖3-25 3-25 圓柱體切割后的投影圓柱體切割后的投影作圓柱體的三視圖作圓柱體的三視圖(c) (c) 作圖步驟：作圖步驟： 畫出切

38、去畫出切去、部分的投影部分的投影圖圖3-25 3-25 圓柱體切割后的投影圓柱體切割后的投影(d) (d) 圖圖3-25 3-25 圓柱體切割后的投影圓柱體切割后的投影作圖步驟作圖步驟：畫出切去畫出切去部分的投影部分的投影(e) (e) 作圖步驟：作圖步驟： 畫出切去畫出切去部分的投影部分的投影, ,并檢查、完成全圖并檢查、完成全圖圖圖3-25 3-25 圓柱體切割后的投影圓柱體切割后的投影(f) (f) 例例16:16:補畫出立體的左視圖補畫出立體的左視圖2.2.作左切面上的投影作左切面上的投影 1.1.作圓柱的左視圖作圓柱的左視圖3.3.作下部通槽的投影作下部通槽的投影4.4.判別可見性判

39、別可見性5.5.整理并擦除多余的線整理并擦除多余的線, , 完成作圖完成作圖. .例例1717：求俯視圖：求俯視圖截交線的已知投影呢？截交線的已知投影呢？例例1818：求左視圖：求左視圖截交線的側(cè)面投影截交線的側(cè)面投影是什么形狀？是什么形狀？截交線的空間形狀是怎樣的截交線的空間形狀是怎樣的? ?橢圓的長、短軸隨橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線截平面與圓柱軸線夾角的變而改變。夾角的變而改變。4545什么情況下投什么情況下投影為圓呢影為圓呢? ?截平面與軸線截平面與軸線成成4545夾角時夾角時找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影例例191

40、9：求左視圖：求左視圖331122445532514圓圓橢圓橢圓兩條相交直線兩條相交直線雙曲線雙曲線拋物線拋物線 圓錐體的截切圓錐體的截切兩相交直線兩相交直線P PV V圓圓P PV VP PV V橢圓橢圓拋物線拋物線P PV V雙曲線雙曲線表表3-2 平面與圓錐體相交的五種形式平面與圓錐體相交的五種形式2.2.平面與圓錐相交平面與圓錐相交圖圖3-26 3-26 圓錐體切割后的投影圓錐體切割后的投影找一般點找一般點 、的側(cè)面投影和正面投影的側(cè)面投影和正面投影 分析：分析：空間分析與投影分析；空間分析與投影分析；作圖步驟：作圖步驟： 找特殊點找特殊點、的側(cè)面投影和正面投影的側(cè)面投影和正面投影13

41、12443525(a)(a) 題圖題圖(b)(b) 作圖作圖光滑連線光滑連線解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投影截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；為雙曲線并反映實形；2 2 求出截交線上的特殊點求出截交線上的特殊點、；3 3 求出一般點求出一般點 ；4 4 光滑且順次地連接各點，光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見作出截交線，并且判別可見性；性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。111”2”(3”)4”(5”)45232453解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投影和截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；側(cè)面投影均

42、為橢圓；2 2 求出截交線上的特殊點求出截交線上的特殊點、 、 ；3 3 求出一般點求出一般點；4 4 光滑且順次地連接各點，作光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；出截交線，并且判別可見性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。例例22-1: 22-1: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖截交線，并完成三視圖 找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓線的投影分析輪廓線的投影111”2(3)2”3”234(5)4”5”54666” 球體的截切球體的截切3.3.圓球切割體圓球切割體 圖圖3-27 3-27 平面與球面交線的基本作圖平面

43、與球面交線的基本作圖 解：分析解：分析: :形體與投影分析形體與投影分析; ; QP作圖作圖: :完成平面完成平面P P 的投影的投影完成平面完成平面Q Q的投影的投影圖圖3-28 3-28 球體切割后的投影球體切割后的投影（a）（b）例例25-125-1：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積部分圓弧，在俯視圖上積

44、聚為直線。聚為直線。判斷可見性判斷可見性例例27:27:求圓球被截切后的水平投影和側(cè)面投影求圓球被截切后的水平投影和側(cè)面投影分析分析: :球面被側(cè)平面球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切；球面被水平面截切，水平面投影為圓。，水平面投影為圓。輪廓線要不輪廓線要不要要? ?輪廓線怎樣處理輪廓線怎樣處理? ?分析分析: :球面被側(cè)平面球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切；球面被水平面截切，水平面投影為圓。，水平面投影為圓。圖圖3-21 3-21 零件示例零件示例( (四四) ) 復合回轉(zhuǎn)體的截切復合回轉(zhuǎn)體的截切 1. 1. 分析復合回轉(zhuǎn)體由

45、哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關系分析復合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關系. .例例2929：求作頂尖的俯視圖：求作頂尖的俯視圖2. 2. 分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。 求截交線的投影小結求截交線的投影小結一般步驟：一般步驟： 特殊點：特殊點： 轉(zhuǎn)向輪廓線上的共有點；極限點；對稱軸上的頂點。轉(zhuǎn)向輪廓線上的共有點；極限點；對稱軸上的頂點。 作圖步驟：作圖步驟：求特殊點求特殊點 作中間點作中間點 判斷可見性判斷可見性 光滑連線光滑連線 4.3.1 概概 述述4.3.2 求作兩曲面立體的相貫線求作兩曲面立體的相貫線4.

46、3.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況4.1.1 組合相貫線組合相貫線4.3.1 4.3.1 概概 述述 立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為。 相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的共有點。面立體表面的共有點。 不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線, , 特殊情況下為平特殊情況下為平面曲線或直線。面曲線或直線。3 3 相貫體的投影相

47、貫體的投影一、相貫體及相貫線的概念一、相貫體及相貫線的概念 兩相交的立體兩相交的立體 相交立體表面的交線相交立體表面的交線 立體相貫三種情況：立體相貫三種情況：1.1.平面體與平面體相貫平面體與平面體相貫2.2.平面體與曲面體相貫平面體與曲面體相貫3.3.曲面體與曲面體相貫曲面體與曲面體相貫相貫體相貫體相貫線相貫線圖圖3-30 3-30 相貫的基本概念相貫的基本概念圖圖3-31 3-31 兩曲面體兩曲面體相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì)(a)(a)相貫線為封閉相貫線為封閉 的空間曲線的空間曲線(b)(b) 相貫線為不封閉相貫線為不封閉 的空間曲線的空間曲線(d)(d) 相貫線為直線相貫線為直線(c)(

48、c) 相貫線為平面曲線相貫線為平面曲線兩回轉(zhuǎn)體相貫兩回轉(zhuǎn)體相貫相貫線性質(zhì)：相貫線性質(zhì)： 求畫相貫線求畫相貫線 相貫線上的點為兩相交立體體表面上的共相貫線上的點為兩相交立體體表面上的共有點，求畫相貫線的實質(zhì)就是要求出兩立體表面有點，求畫相貫線的實質(zhì)就是要求出兩立體表面一系列的共有點。一系列的共有點。作圖方法作圖方法：在立體表面上找點的方法；在立體表面上找點的方法； 利用輔助平面法作圖。利用輔助平面法作圖。作圖步驟：作圖步驟：求特殊點求特殊點 作中間點作中間點 判斷可見性判斷可見性 光滑連線光滑連線 4.3.2 求兩曲面立體的相貫線求兩曲面立體的相貫線 當相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時，相

49、當相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時，相貫線的一個投影必積聚在這個投影上，相貫線的其余投貫線的一個投影必積聚在這個投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體表面取點的方法求出影可按著曲面立體表面取點的方法求出, ,這種求作相貫這種求作相貫線的方法稱為表面取點法。線的方法稱為表面取點法。例例30已知兩圓柱的三面投影已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。求作其相貫線的投影。yyyydedeacbabcdebac分分 析析求特殊點求特殊點求一般點求一般點判別可見性判別可見性完成相貫線完成相貫線 首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進一步分析相

50、貫線是空間曲線，還是處相對位置，進一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。于特殊情況（平面曲線或直線）。 分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。 根據(jù)兩立體的相對位置分析相貫線的對稱情況根據(jù)兩立體的相對位置分析相貫線的對稱情況 分析相貫線哪個分析相貫線哪個 投影是已知的，哪個投影是投影是已知的，哪個投影是要求作的。要求作的。分分 析析求特殊點求特殊點 確定相貫線投影范圍和變化趨勢的點稱為確定相貫線投影范圍和變化趨勢的點稱為特殊點特殊點 包括：包括：

51、 相貫線極限位置點相貫線極限位置點 最左、最右、最前、最后、最左、最右、最前、最后、 最高、最低各點；最高、最低各點； 曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點 兩曲面立體上下、兩曲面立體上下、左右、前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的各個點。左右、前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的各個點。 表面取點法求作相貫線的一般步驟表面取點法求作相貫線的一般步驟（1）分析）分析 首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況相對位置，進一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，（平面曲線或

52、直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。分析相兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。分析相貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。（2）求特殊點）求特殊點。相貫線上的特殊點包括極限位置點、輪廓相貫線上的特殊點包括極限位置點、輪廓轉(zhuǎn)向點、曲線特征點和結合點四種。轉(zhuǎn)向點、曲線特征點和結合點四種。（）（） 根據(jù)需要求出若干個一般點。根據(jù)需要求出若干個一般點。（）（）判別可見性，順次光滑連接各點，作出相貫線。判別可見性，順次光滑連接各點，作出相貫線。 （）（）補全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線

53、，并補全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。 例30： 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接舉例:例30 圖3-11 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接 圖3-11 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接 圖3-11 利用積聚性求作相貫線(a) 分析；(b) 作特殊點；(c) 作一般點；(d) 光滑連接例例30-1、利用表面上取點法作圖、利用表面上取點法作圖132121234

54、作圖：作圖：先找特殊點：先找特殊點：、的投影的投影; ;4(4)(a) (a) 題圖題圖圖圖3-32 3-32 兩圓柱垂直相交兩圓柱垂直相交時的相貫線時的相貫線(b) (b) 形體分析，找特殊點形體分析，找特殊點形體分析與投影分析；形體分析與投影分析；6再求一般點再求一般點 、 的投影；的投影；6555(c) (c) 求一般點求一般點(d) (d) 光滑連線光滑連線圖圖3-32 3-32 兩圓柱垂直相交兩圓柱垂直相交時的相貫線時的相貫線判斷可見性，光滑連線判斷可見性，光滑連線, ,完成作圖。完成作圖。相貫線的簡化畫法相貫線的簡化畫法 圖圖3-33 3-33 相貫線的簡化畫法相貫線的簡化畫法 兩外表面相交兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交圖圖3-35 3-35 兩圓柱相貫的三種形式兩圓柱相貫的三種形式圖圖3-34 3-34 兩圓柱的直徑大小不同兩圓柱的直徑大小不同, ,相貫線不同相貫線不同兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢變化趨勢2. 輔助平面法輔助平面法 假想用一個平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的假想用一個平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點就是兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點就是兩立體表面與輔助平面三者的兩立體表面與輔助平面三者的共有點共有點，即相貫