山羊吃草數(shù)學(xué)建模

1、題目： 山羊吃草問(wèn)題 【摘 要】山羊吃草問(wèn)題對(duì)于牧區(qū)人民放牧?xí)r，對(duì)放牧羊，牛群的放牧數(shù)量和放牧區(qū)域的選擇提供了參考，有利于合理利用牧場(chǎng)資源，追求利益最大化。針對(duì)本題，以下解決方案：?jiǎn)栴}一分為兩個(gè)子問(wèn)題，即分析池塘有無(wú)圍欄情況下山羊的吃草面積，在無(wú)圍欄的情況下，可直接根據(jù)已知條件利用定積分的相關(guān)知識(shí)求得；在有圍欄的情況下，限定繩長(zhǎng)，利用微元法對(duì)不規(guī)則的區(qū)域進(jìn)行分割，近似，求和求得。問(wèn)題二是對(duì)問(wèn)題一的補(bǔ)充，在第一問(wèn)的前提下求得所需的繩長(zhǎng)。 問(wèn)題三要求對(duì)五只羊可活動(dòng)的范圍進(jìn)行比較，通過(guò)對(duì)繩長(zhǎng)和區(qū)域半徑的比較，利用圓面積計(jì)算公式、旋轉(zhuǎn)曲面積分計(jì)算公式以及環(huán)形面積計(jì)算公式分別求得五只羊可活動(dòng)范圍的面積大

2、小，然后分情況逐個(gè)比較每只羊可活動(dòng)范圍面積大小，最后進(jìn)行排序。問(wèn)題四，仍設(shè)繩長(zhǎng)為ka，限定繩長(zhǎng)，假設(shè)山羊間放牧面積不能重疊，討論繩長(zhǎng)與池塘半徑a的大小關(guān)系，列舉1-4只羊放牧面積的比較，得出一般性結(jié)論，對(duì)于繩長(zhǎng)ka不同取值，得到可最大放牧羊只數(shù)和對(duì)應(yīng)到最大放牧面積。關(guān)鍵詞：積分，旋轉(zhuǎn)曲面積分，微元法目錄一、問(wèn)題重述3二、問(wèn)題分析3三、基本假設(shè)3四、符號(hào)說(shuō)明4五、模型建立與求解45.1一只羊放牧面積模型45.2兩只山羊放牧面積模型75.3比較不同區(qū)域的羊的活動(dòng)范圍大小85.4放牧規(guī)劃問(wèn)題9六、模型評(píng)價(jià)106.1模型的優(yōu)點(diǎn)106.2模型的缺點(diǎn)10七、參考文獻(xiàn)10八、附錄11一、問(wèn)題重述請(qǐng)根據(jù)題意解

3、決下列問(wèn)題：1、一只老山羊被栓在了一個(gè)半徑為的圓形池塘的邊緣上，它的繩長(zhǎng)度為。試計(jì)算山羊可吃草的范圍（ 例如圖1的陰影部分）。假設(shè)池塘周?chē)袊鷻诶@著，繩子不可越過(guò)圍欄（見(jiàn)圖2），試計(jì)算此時(shí)山羊可吃草的范圍。圖1 圖22、如果有一只沒(méi)有栓住的、被圍在半徑是的院子里面的老山羊，另一只山羊被栓在周?chē)袊鷻诶@著的，半徑為的圓形池塘的邊緣上，使得兩只山羊的放牧面積是一樣的，試計(jì)算該只山羊的繩長(zhǎng)。3、假設(shè)五只山羊分別得到幾塊區(qū)域。前四只山羊分別用長(zhǎng)為的繩子栓起來(lái)，第一只在一個(gè)水平面上，第二只在一個(gè)半徑為的圓盤(pán)區(qū)域的外面，第三只在一個(gè)半徑為的圓盤(pán)區(qū)域里面，第四只栓在半徑為的球外。第五只必須在一個(gè)半徑為的環(huán)行

4、的內(nèi)部，這個(gè)環(huán)行在半徑為的圓盤(pán)區(qū)域內(nèi)部。寫(xiě)出計(jì)算區(qū)域面積的計(jì)算公式，并且按大小排序。4、若山羊栓在扎有圍欄的半徑為的圓形池塘的邊緣上，并且栓山羊的繩長(zhǎng)固定，最多能栓幾只山羊？如何栓？并且保證山羊吃草總面積最大。二、問(wèn)題分析根據(jù)題意，把現(xiàn)實(shí)中放牧問(wèn)題，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題既求陰影面積，以拴羊點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)o與池塘中心點(diǎn)o連線的延伸線作為x軸，以點(diǎn)o在池塘的切線作為y軸，建立坐標(biāo)系。對(duì)于不同的問(wèn)題具體分析，選取合適的方法求解之。三、基本假設(shè)1， 羊抽象成一個(gè)點(diǎn)。2， 繩子光滑無(wú)彈性，近似看成一條光滑連續(xù)的線段。3， 池塘抽象成一個(gè)圓。4， 池塘的籬笆假設(shè)建在池塘一周，并忽略因建籬笆增加的半徑長(zhǎng)。5

5、， 假設(shè)放牧區(qū)域平整，無(wú)凸凹部分。四、符號(hào)說(shuō)明O放牧區(qū)栓山羊點(diǎn)O池塘的圓心a繩子與池塘的交點(diǎn)b從a點(diǎn)向oo連線（或oo延長(zhǎng)線）的垂線的交點(diǎn)Si第i只羊的放牧面積S所有羊加起來(lái)的放牧面積n放牧的總羊數(shù)（n取正整數(shù)）五、模型建立與求解5.1一只羊放牧面積模型5.1.1池塘不設(shè)圍欄情況下的放牧面積模型由分析知，根據(jù)k的取值不同，陰影面積的計(jì)算方法不同第一種0<k<2,如圖1-1所示，記線段ob長(zhǎng)為x,應(yīng)用勾股定理可知ba2+ob2=oa2 ba2+bo'2=ao'2即（ka）2-x2+a-x2=a2計(jì)算的x=ak22s=0ak22(ka2-x2-a2-x-a2)dx所以總

6、的放牧面積第二種2<k<2,如圖1-2所示，記線段ob長(zhǎng)為x,應(yīng)用勾股定理可知 ob2+ab2=ao2 ab2+bo'2=ao'2即a2-x2+（a+x）2=ka2計(jì)算得x=(ak2-2a)2s=0a+(ak2-2a)2(ka2-x2-a2-x-a2)dx所以總的放牧面積第三種k>2,如圖1-3所示?？偟姆拍撩娣e為 S3=(ka)2-a25.1.2池塘設(shè)置圍欄情況下的放牧面積模型如圖所示山羊能夠吃到草的范圍由y軸左邊的半圓(面積為)和y軸右邊的小圓之外，漸近線以?xún)?nèi)的部分構(gòu)成。為求山羊能吃草范圍的面積，關(guān)鍵是求y軸右邊，小圓之外，漸近線以?xún)?nèi)部分的面積。記這部分在

7、第一象限的區(qū)域?yàn)閟(也用表示這部分的面積)。為求s，用小圓周的一系列切線分割區(qū)域s。設(shè)對(duì)應(yīng)圓心角=t的切線為PQ，對(duì)應(yīng)圓心角=t+dt的切線為。易知=ka-at，當(dāng)圓心角t該變量dt很小時(shí)，由圍成的小面積可看作圓扇形，于是面積元ds=從而s=因此，山羊能吃到草的草地面積為=2s +=+5.2兩只山羊放牧面積模型兩只山羊保證吃草面積一樣，第一只羊可活動(dòng)的范圍是一定的(),所以根據(jù)5.1.2所求的結(jié)果，令S= 。利用MATLAB求得>> syms k;>> solve('3.1415926*k2/2+k3/3=3.1415926')ans = -4.1705

8、259376688299616643629175798 -1.7984318597419016288923275068658 1.2565688974107315905566904244455k取正值 即k=1.257,繩長(zhǎng)即為1.257a。5.3比較不同區(qū)域的羊的活動(dòng)范圍大小在這里假設(shè)圓盤(pán)區(qū)域是不可穿越的，并且根據(jù)題中所示：a>b。所以可得如下結(jié)論：5.3.1水平面上第一只羊的可活動(dòng)范圍A區(qū)域：繩長(zhǎng)為b，所以。5.3.2圓盤(pán)外第二只羊的可活動(dòng)范圍B區(qū)域：1.假設(shè)羊離圓盤(pán)區(qū)域較遠(yuǎn)，則可活動(dòng)范圍最大為；2.假設(shè)羊被拴在緊挨著圓盤(pán)區(qū)域，這可以引用第一題中的結(jié)論，所以羊可活動(dòng)范圍面積為。綜上所

9、述：5.3.3圓盤(pán)內(nèi)第三只羊的可活動(dòng)范圍C區(qū)域：由題設(shè)(a>b),所以第三只羊的可活動(dòng)范圍為：5.3.4球體外側(cè)的羊D區(qū)域：羊的繩長(zhǎng)為b,則可看作第四只羊是在一個(gè)半徑為a的球面上活動(dòng)，此題可看作求旋轉(zhuǎn)曲面的面積，如圖所示，圓形為該球體的剖面圖圓的方程為，圓心角，解得，。所以，(0.5403<cosab<1)。5.3.5環(huán)形區(qū)域羊的活動(dòng)范圍第五只羊的可活動(dòng)范圍為。綜上所述： 5.4放牧規(guī)劃問(wèn)題假設(shè)山羊間放牧面積不能重疊，繩長(zhǎng)為ka，且（），則總共可放牧只羊。則山羊吃草總面積為，（）對(duì)總面積求導(dǎo)得，當(dāng)（）時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，最大面積Max在此列舉四種的取值比較只羊1234K234S由表格數(shù)據(jù)可知，時(shí)（），總共可放牧n只羊，相鄰兩只羊栓點(diǎn)在池塘圓弧長(zhǎng),總放牧面積六、模型評(píng)價(jià)6.1模型的優(yōu)點(diǎn)模型建立簡(jiǎn)單明了，易于求解。6.2模型的缺點(diǎn)忽略了放牧面積的地形，簡(jiǎn)化為平地，不夠貼近實(shí)際放牧地區(qū)情況。在問(wèn)題一中對(duì)設(shè)有圍欄的池塘邊求解放牧面積時(shí)，無(wú)依據(jù)的限定繩長(zhǎng)，對(duì)于繩長(zhǎng)的情況未考慮，并且在后