八年級(jí)數(shù)學(xué)集合與簡(jiǎn)易邏輯復(fù)習(xí)題

1、本資料來源于七彩教育網(wǎng)全國(guó)初中（初二）數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第十七講* 集合與簡(jiǎn)易邏輯§171集合我們考察某些事物的時(shí)候，常常要考慮由這些事物組成的群體，我們把這個(gè)群體叫作集合組成某個(gè)集合的事物，叫作這個(gè)集合的元素通常用大寫字母A，B，C等表示集合，小寫字母a，b，c，等表示元素如果m是集合A的元素，就說m屬于A，記作mA如果n(i)你的家庭中所有成員組成一個(gè)集合，你和你的家庭中的其他各個(gè)成員都是這個(gè)集合中的元素(ii)自然數(shù)全體1，2，3，組成一個(gè)集合(通常把它叫作自然數(shù)集)(iii)如果A，B是平面上兩個(gè)不同的點(diǎn)，那么A，B兩點(diǎn)所確定的直線上的點(diǎn)組成一個(gè)集合，這條直線上每個(gè)點(diǎn)都是這個(gè)集合的

2、元素總之，集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本、最常用的概念，下面進(jìn)一步給同學(xué)們介紹一些關(guān)于集合的基本知識(shí)1集合的描述方法(1)列舉法當(dāng)一個(gè)集合所含元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，一個(gè)最簡(jiǎn)單的描述方法就是把它所含的每個(gè)元素都列舉出來，這叫列舉法用列舉法表示集合，通常是將這個(gè)集合的每個(gè)元素一一填寫在中，每個(gè)元素之間用逗點(diǎn)隔開填寫集合的元素時(shí)，與元素的排列次序無關(guān)例如：(i)由a，b，c，d，e五個(gè)小寫字母組成的集合A，記作A=a，b，c，d，e，也可記作A=b，a，c，d，e)(ii)由小于40的質(zhì)數(shù)組成的集合B，記作B=2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37(iii)平方等于1的有理數(shù)集合C，記作C

3、=1，-1(iv)三條直線l1，l2，l3組成的集合D，記作D=l1，l2，l3(2)特征性質(zhì)描述法當(dāng)一個(gè)集合所含元素較多時(shí)，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質(zhì)描述法所謂特征性質(zhì)是指集合中元素的特征性質(zhì)，即：(i)這個(gè)集合中每個(gè)元素都具有這些性質(zhì)；(ii)具有這些性質(zhì)的事物都是這個(gè)集合的元素例如，集合=1,-1用特征性質(zhì)描述法表示就是A=xx2=1，或者A=xx=1全體偶數(shù)組成的集合B，用特征性質(zhì)描述法表示就是B=xx是能被2整除的整數(shù)，或者B=2nn是整數(shù)全體奇數(shù)組成的集合C，用特征性質(zhì)描述法表示就是C=xx是不能被2整除的整數(shù)，或者C=2n1n是整數(shù)，C=2n-1n是整數(shù)一般地，用特征

4、性質(zhì)表示集合A的形式是：A=xx具有性質(zhì)2集合之間的關(guān)系和運(yùn)算(1)包含與子集(i)你班上的同學(xué)的集合和你學(xué)校的同學(xué)的集合之間的關(guān)系是：前者是后者的子集，后者包含前者(ii)設(shè)集合例1 設(shè)A=1，2，3，4，試寫出A的所有子集1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，1，2，3，1，2，4，2，3，4，1，3，4，1，2，3，4(2)交集運(yùn)算對(duì)于給定的集合A，B，由它們的公共元素所構(gòu)成的集合叫作集合A與B的交集我們用AB表示A，B的交集(圖2-88)例如(i)如圖2-89，設(shè)A=xx是12的正因數(shù)，B=x5x13，x是整數(shù)，則A=1，2，3，4，6，12，B=6，7，8，9，10，11，12所以

5、 AB=6，12(ii)設(shè)l1，l2是平面上兩條不同的直線，則l1l2就是由它們的交點(diǎn)組成的集合如果l1與l2相交于一點(diǎn)P，則l1l2=P(圖2-90)；(3)并集運(yùn)算對(duì)于給定的兩個(gè)集合A，B，把它們所含的元素合并起來所構(gòu)成的集合，叫作集合A，B的并集，我們用符號(hào)AB表示A，B的并集(圖2-92)例如(i)設(shè)M，N分別表示你班上男生、女生的集合，那么MN就是你班上同學(xué)的集合(ii)設(shè)A=1，3，5，7，9，B=2，3，4，5，6，則 AB=1，2，3，4，5，6，7，9注意 在求上述集合A，B的并集時(shí)，雖然在A，B中都有3和5，但在AB中，3，5只取一次(iii)設(shè)E=xx是實(shí)數(shù)，且x4，F(xiàn)=

6、xx是實(shí)數(shù)，且x-4，G=xx216則 EF=G一般地說，如果，分別是集合A，B的特征性質(zhì)，即A=xx具有性質(zhì) ，B=xx具有性質(zhì)，則AB就是那些具有性質(zhì)或性質(zhì)的元素組成的集合，也就是AB=xx具有性質(zhì)或，或者AB=xxA或xB例2 設(shè)A=xx是12的正因數(shù)，B=xx是18的正因數(shù)，C=x0x5，且xZ求：(1)ABC；(2)ABC解 根據(jù)已知條件，用填文氏圖各區(qū)域的元素的方法來解決(如圖2-93(a)，(b).(1)ABC=1，2，3；(2)ABC=0，1，2，3，4，5，6，9，12，18例3 設(shè)A=1，a，a2 ，B=1，a，b)，假定A，B中的元素都是整數(shù)，并且AB=1，3，AB=1，

7、a，2a，3a，求a，b的值解 因?yàn)锳=1，a，a2，B=1，a，b，所以AB1，a已知AB=1，3所以a=3又由于AB=1，a，b，a2=1，a，2a，3a=1，3，6，9，所以b=6§172簡(jiǎn)易邏輯邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學(xué)科數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切，在此，對(duì)邏輯知識(shí)做一些初步介紹1推出關(guān)系如果設(shè)A=xx是4的倍數(shù)，B=xx是2的倍數(shù)，則A中元素具有性質(zhì)4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)2的倍數(shù)我們知道：如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)一般地說，如果具有性質(zhì)的元素也具有性質(zhì)，我們便說由推下面再舉一個(gè)例子2命題和證明(1)命題和逆命題人們?cè)?/p>

8、思維活動(dòng)中，經(jīng)常要對(duì)客觀事物做出判斷例如：(i)雪是白的；(ii)如果1和2是對(duì)頂角，那么1=2；(iii)3+4=6；上述所列都是對(duì)客觀事物做出判斷的語句人們對(duì)客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯(cuò)誤的(假)我們把肯定或否定的判斷語句叫作命題上述語句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命題關(guān)于命題的真假性，有些容易判斷，如(i)，(ii)是真命題，(iii)是假命題但對(duì)(iv)的真假性就不是顯然可判斷的可通過設(shè)x=1，y=0(xy)，那么因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個(gè)命題為真命題，必須通過邏輯推演，但要證明一個(gè)命題為假命題只須舉出一個(gè)反例即可)數(shù)學(xué)命題具有多種

9、形式，經(jīng)常采用的命題形式是“若，則”，“如果，那么”命題“若，則”或是真命題，或是假命題，二者必居其一“若當(dāng)由不可能推出時(shí)，“若，則”便是假命題在命題“若，則”中，叫作這個(gè)命題的條件，叫作這個(gè)命題的結(jié)論如果將命題“若，則”的條件和結(jié)論互換，就得到一個(gè)新命題“若，則”，這兩個(gè)命題之間具有互連關(guān)系，其中一個(gè)叫作原命題時(shí)，則另一個(gè)命題就叫作這個(gè)原命題的逆命題當(dāng)“如果，則”為真命題時(shí)，它的逆命題“如果，則”不一定是真命題例如：(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命題它的逆命題“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命題(ii)“若a=0并且b=0，則ab

10、=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0，則a=0并且b=0”就不是真命題(iii)“如果1，2是對(duì)頂角，那么1=2”是真命題，但它的逆命題“1=2，那么1，2是對(duì)頂角”就是假命題(2)證明我們要說明“若，則”是真命題時(shí)，以什么方式來推證呢？最常用的基本格式就是推出關(guān)系的傳遞性，即：如果那么例如，(i)若1和2是對(duì)頂角，對(duì)頂角相等，則 1=2(ii) 張三是人，凡人必有死，所以張三必有死上述推理格式叫作三段論式，推理中的，是兩個(gè)前提條件，叫小前提，叫大前提，是由，推出的結(jié)論實(shí)際上，三段論式和推出關(guān)系的傳遞性是一致的例如“對(duì)頂角相等”的證明過程，可以像下面這樣來理解已知：1是2的對(duì)頂角(圖2-9

11、8)，求證：1=2證從上述證明過程可知，要證明“若，則”，我們先設(shè)法找出一應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和已知條件作根據(jù)，經(jīng)過推演，導(dǎo)出某一命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡(jiǎn)稱演繹法)演繹法是證明數(shù)學(xué)問題的重要方法 a2b2c2(a+b-c)2=a2+b2+c2.例2 某校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H八位同學(xué)獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名A說：“或者F，或者H是第一名”B說：“我是第一名”C說：“G是第一名”D說：“B不是第一名”E說：“A說的不對(duì)”F說：“我不是第一名”G說：“C不是第一名”H說：“我同意A的意見”老師說八個(gè)人中有三人猜對(duì)了，那么試問第一名是誰？分解與解

12、由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假(i)如果A與H猜對(duì)了，那么D與G也都猜對(duì)了這樣就有四人猜對(duì)，不合題意，因此，A與H必定都猜錯(cuò)了(ii)如果E與F猜對(duì)了，即F與H都不是第一名，這時(shí)若B猜對(duì)了，那么D就猜錯(cuò)了，C也猜錯(cuò)了，G猜對(duì)了，這樣，就有E，F(xiàn)，B，G四人猜對(duì)，也與題意不符因此B猜的不對(duì)，D猜對(duì)了，這時(shí)已有E，F(xiàn)，D三人猜對(duì)，所以G，C都必定猜錯(cuò)了，所以C是第一名練習(xí)十七1已知A=1，2，3，4，5，B=1，3，5，7，C=2，3，5，8 ，寫出集合：(1)ABC； (2)ABC；(3)A(BC)；(4)A(BC)3有某種產(chǎn)品100個(gè)，通過兩種檢查，第一種檢查合格品有90個(gè)，第二種檢查合格品有78個(gè)，兩種檢查都合格的有72個(gè)試問這100個(gè)產(chǎn)品中，通