八年級數(shù)學(xué)集合與簡易邏輯復(fù)習(xí)題

1、本資料來源于七彩教育網(wǎng)全國初中（初二）數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第十七講* 集合與簡易邏輯§171集合我們考察某些事物的時候，常常要考慮由這些事物組成的群體，我們把這個群體叫作集合組成某個集合的事物，叫作這個集合的元素通常用大寫字母A，B，C等表示集合，小寫字母a，b，c，等表示元素如果m是集合A的元素，就說m屬于A，記作mA如果n(i)你的家庭中所有成員組成一個集合，你和你的家庭中的其他各個成員都是這個集合中的元素(ii)自然數(shù)全體1，2，3，組成一個集合(通常把它叫作自然數(shù)集)(iii)如果A，B是平面上兩個不同的點(diǎn)，那么A，B兩點(diǎn)所確定的直線上的點(diǎn)組成一個集合，這條直線上每個點(diǎn)都是這個集合的

2、元素總之，集合是數(shù)學(xué)中一個最基本、最常用的概念，下面進(jìn)一步給同學(xué)們介紹一些關(guān)于集合的基本知識1集合的描述方法(1)列舉法當(dāng)一個集合所含元素個數(shù)較少時，一個最簡單的描述方法就是把它所含的每個元素都列舉出來，這叫列舉法用列舉法表示集合，通常是將這個集合的每個元素一一填寫在中，每個元素之間用逗點(diǎn)隔開填寫集合的元素時，與元素的排列次序無關(guān)例如：(i)由a，b，c，d，e五個小寫字母組成的集合A，記作A=a，b，c，d，e，也可記作A=b，a，c，d，e)(ii)由小于40的質(zhì)數(shù)組成的集合B，記作B=2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37(iii)平方等于1的有理數(shù)集合C，記作C

3、=1，-1(iv)三條直線l1，l2，l3組成的集合D，記作D=l1，l2，l3(2)特征性質(zhì)描述法當(dāng)一個集合所含元素較多時，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質(zhì)描述法所謂特征性質(zhì)是指集合中元素的特征性質(zhì)，即：(i)這個集合中每個元素都具有這些性質(zhì)；(ii)具有這些性質(zhì)的事物都是這個集合的元素例如，集合=1,-1用特征性質(zhì)描述法表示就是A=xx2=1，或者A=xx=1全體偶數(shù)組成的集合B，用特征性質(zhì)描述法表示就是B=xx是能被2整除的整數(shù)，或者B=2nn是整數(shù)全體奇數(shù)組成的集合C，用特征性質(zhì)描述法表示就是C=xx是不能被2整除的整數(shù)，或者C=2n1n是整數(shù)，C=2n-1n是整數(shù)一般地，用特征

4、性質(zhì)表示集合A的形式是：A=xx具有性質(zhì)2集合之間的關(guān)系和運(yùn)算(1)包含與子集(i)你班上的同學(xué)的集合和你學(xué)校的同學(xué)的集合之間的關(guān)系是：前者是后者的子集，后者包含前者(ii)設(shè)集合例1 設(shè)A=1，2，3，4，試寫出A的所有子集1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，1，2，3，1，2，4，2，3，4，1，3，4，1，2，3，4(2)交集運(yùn)算對于給定的集合A，B，由它們的公共元素所構(gòu)成的集合叫作集合A與B的交集我們用AB表示A，B的交集(圖2-88)例如(i)如圖2-89，設(shè)A=xx是12的正因數(shù)，B=x5x13，x是整數(shù)，則A=1，2，3，4，6，12，B=6，7，8，9，10，11，12所以

5、 AB=6，12(ii)設(shè)l1，l2是平面上兩條不同的直線，則l1l2就是由它們的交點(diǎn)組成的集合如果l1與l2相交于一點(diǎn)P，則l1l2=P(圖2-90)；(3)并集運(yùn)算對于給定的兩個集合A，B，把它們所含的元素合并起來所構(gòu)成的集合，叫作集合A，B的并集，我們用符號AB表示A，B的并集(圖2-92)例如(i)設(shè)M，N分別表示你班上男生、女生的集合，那么MN就是你班上同學(xué)的集合(ii)設(shè)A=1，3，5，7，9，B=2，3，4，5，6，則 AB=1，2，3，4，5，6，7，9注意 在求上述集合A，B的并集時，雖然在A，B中都有3和5，但在AB中，3，5只取一次(iii)設(shè)E=xx是實(shí)數(shù)，且x4，F(xiàn)=

6、xx是實(shí)數(shù)，且x-4，G=xx216則 EF=G一般地說，如果，分別是集合A，B的特征性質(zhì)，即A=xx具有性質(zhì) ，B=xx具有性質(zhì)，則AB就是那些具有性質(zhì)或性質(zhì)的元素組成的集合，也就是AB=xx具有性質(zhì)或，或者AB=xxA或xB例2 設(shè)A=xx是12的正因數(shù)，B=xx是18的正因數(shù)，C=x0x5，且xZ求：(1)ABC；(2)ABC解 根據(jù)已知條件，用填文氏圖各區(qū)域的元素的方法來解決(如圖2-93(a)，(b).(1)ABC=1，2，3；(2)ABC=0，1，2，3，4，5，6，9，12，18例3 設(shè)A=1，a，a2 ，B=1，a，b)，假定A，B中的元素都是整數(shù)，并且AB=1，3，AB=1，

7、a，2a，3a，求a，b的值解 因為A=1，a，a2，B=1，a，b，所以AB1，a已知AB=1，3所以a=3又由于AB=1，a，b，a2=1，a，2a，3a=1，3，6，9，所以b=6§172簡易邏輯邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學(xué)科數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切，在此，對邏輯知識做一些初步介紹1推出關(guān)系如果設(shè)A=xx是4的倍數(shù)，B=xx是2的倍數(shù)，則A中元素具有性質(zhì)4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)2的倍數(shù)我們知道：如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)一般地說，如果具有性質(zhì)的元素也具有性質(zhì)，我們便說由推下面再舉一個例子2命題和證明(1)命題和逆命題人們在

8、思維活動中，經(jīng)常要對客觀事物做出判斷例如：(i)雪是白的；(ii)如果1和2是對頂角，那么1=2；(iii)3+4=6；上述所列都是對客觀事物做出判斷的語句人們對客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯誤的(假)我們把肯定或否定的判斷語句叫作命題上述語句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命題關(guān)于命題的真假性，有些容易判斷，如(i)，(ii)是真命題，(iii)是假命題但對(iv)的真假性就不是顯然可判斷的可通過設(shè)x=1，y=0(xy)，那么因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個命題為真命題，必須通過邏輯推演，但要證明一個命題為假命題只須舉出一個反例即可)數(shù)學(xué)命題具有多種

9、形式，經(jīng)常采用的命題形式是“若，則”，“如果，那么”命題“若，則”或是真命題，或是假命題，二者必居其一“若當(dāng)由不可能推出時，“若，則”便是假命題在命題“若，則”中，叫作這個命題的條件，叫作這個命題的結(jié)論如果將命題“若，則”的條件和結(jié)論互換，就得到一個新命題“若，則”，這兩個命題之間具有互連關(guān)系，其中一個叫作原命題時，則另一個命題就叫作這個原命題的逆命題當(dāng)“如果，則”為真命題時，它的逆命題“如果，則”不一定是真命題例如：(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命題它的逆命題“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命題(ii)“若a=0并且b=0，則ab

10、=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0，則a=0并且b=0”就不是真命題(iii)“如果1，2是對頂角，那么1=2”是真命題，但它的逆命題“1=2，那么1，2是對頂角”就是假命題(2)證明我們要說明“若，則”是真命題時，以什么方式來推證呢？最常用的基本格式就是推出關(guān)系的傳遞性，即：如果那么例如，(i)若1和2是對頂角，對頂角相等，則 1=2(ii) 張三是人，凡人必有死，所以張三必有死上述推理格式叫作三段論式，推理中的，是兩個前提條件，叫小前提，叫大前提，是由，推出的結(jié)論實(shí)際上，三段論式和推出關(guān)系的傳遞性是一致的例如“對頂角相等”的證明過程，可以像下面這樣來理解已知：1是2的對頂角(圖2-9

11、8)，求證：1=2證從上述證明過程可知，要證明“若，則”，我們先設(shè)法找出一應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和已知條件作根據(jù)，經(jīng)過推演，導(dǎo)出某一命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡稱演繹法)演繹法是證明數(shù)學(xué)問題的重要方法 a2b2c2(a+b-c)2=a2+b2+c2.例2 某校數(shù)學(xué)競賽，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H八位同學(xué)獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名A說：“或者F，或者H是第一名”B說：“我是第一名”C說：“G是第一名”D說：“B不是第一名”E說：“A說的不對”F說：“我不是第一名”G說：“C不是第一名”H說：“我同意A的意見”老師說八個人中有三人猜對了，那么試問第一名是誰？分解與解

12、由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假(i)如果A與H猜對了，那么D與G也都猜對了這樣就有四人猜對，不合題意，因此，A與H必定都猜錯了(ii)如果E與F猜對了，即F與H都不是第一名，這時若B猜對了，那么D就猜錯了，C也猜錯了，G猜對了，這樣，就有E，F(xiàn)，B，G四人猜對，也與題意不符因此B猜的不對，D猜對了，這時已有E，F(xiàn)，D三人猜對，所以G，C都必定猜錯了，所以C是第一名練習(xí)十七1已知A=1，2，3，4，5，B=1，3，5，7，C=2，3，5，8 ，寫出集合：(1)ABC； (2)ABC；(3)A(BC)；(4)A(BC)3有某種產(chǎn)品100個，通過兩種檢查，第一種檢查合格品有90個，第二種檢查合格品有78個，兩種檢查都合格的有72個試問這100個產(chǎn)品中，通