第二十章向量自回歸和誤差修正模型

1、第二十章 向量自回歸和誤差修正模型聯(lián)立方程組的結(jié)構(gòu)性方法是用經(jīng)濟(jì)理論來(lái)建立變量之間關(guān)系的模型。但是，經(jīng)濟(jì)理論通常并不足以對(duì)變量之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系提供一個(gè)嚴(yán)密的說(shuō)明。并且，內(nèi)生變量既可以出現(xiàn)在等式的左端又可以出現(xiàn)在等式的右端使得估計(jì)和推斷更加復(fù)雜。為解決這些問(wèn)題產(chǎn)生了一種用非結(jié)構(gòu)性方法來(lái)建立各個(gè)變量之間關(guān)系的模型。就是這一章講述的向量自回歸模型（Vector Auto regression, VAR）以及向量誤差修正模型（Vector Error Correction, VEC）的估計(jì)與分析。同時(shí)給出一些檢驗(yàn)幾個(gè)非穩(wěn)定變量之間協(xié)整關(guān)系的工具。§ 向量自回歸理論向量自回歸（VAR）常用于預(yù)測(cè)

2、相互聯(lián)系的時(shí)間序列系統(tǒng)以及分析隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)變量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響。VAR方法通過(guò)把系統(tǒng)中每一個(gè)內(nèi)生變量作為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來(lái)構(gòu)造模型，從而回避了結(jié)構(gòu)化模型的需要。一個(gè)VAR(p 模型的數(shù)學(xué)形式是：這里是一個(gè)維的內(nèi)生變量，是一個(gè)維的外生變量。和是要被估計(jì)的系數(shù)矩陣。是擾動(dòng)向量，它們相互之間可以同期相關(guān)，但不與自己的滯后值相關(guān)及不與等式右邊的變量相關(guān)。作為VAR的一個(gè)例子，假設(shè)工業(yè)產(chǎn)量（IP）和貨幣供應(yīng)量（M1）聯(lián)合地由一個(gè)雙變量的VAR模型決定，并且讓常數(shù)為唯一的外生變量。內(nèi)生變量滯后二階的VAR(2模型是：其中，是要被估計(jì)的參數(shù)。也可表示成：§ 估計(jì)VAR模型及估計(jì)輸出選擇

3、Quick/Estimate VAR或者在命令窗口中鍵入var，并在出現(xiàn)對(duì)話框內(nèi)添入適當(dāng)?shù)男畔ⅲ?選擇說(shuō)明類型：Unrestricted VAR（無(wú)約束向量自回歸）或者Vector Error Correction（向量誤差修正）2設(shè)置樣本區(qū)間。3在適當(dāng)編輯框中輸入滯后信息。這一信息應(yīng)被成對(duì)輸入：每一對(duì)數(shù)字描述一個(gè)滯后區(qū)間。4在相應(yīng)的編輯欄中輸入適當(dāng)?shù)膬?nèi)生及外生變量。 VAR視圖和過(guò)程在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜單下將提供一系列的診斷視圖。（一）Lag Structure(滯后結(jié)構(gòu)1AR Roots Table/Graph(AR

4、根的圖表2Pairwise Granger Causality Tests(Granger 因果檢驗(yàn)Granger 因果檢驗(yàn)主要是用來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)內(nèi)生變量是否可以作為外生變量對(duì)待。3Lag Exclusion Tests(滯后排除檢驗(yàn)4Lag Length Criteria(滯后長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)（二）Residual Tests(殘差檢驗(yàn)1相關(guān)圖顯示VAR在指定的滯后數(shù)的條件下的被估計(jì)的殘差交叉相關(guān)圖（樣本自相關(guān)）。交叉相關(guān)圖能以三種形式顯示：（1）Tabulate by Variable；（2）Tabulate by Lag；（3）Graph。2自相關(guān)檢驗(yàn)計(jì)算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量Q統(tǒng)計(jì)

5、量，同時(shí)計(jì)算出Q統(tǒng)計(jì)量和調(diào)整后的Q統(tǒng)計(jì)量。在原假設(shè)是滯后期沒(méi)有序列相關(guān)的條件下，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都近似的服從自由度為的統(tǒng)計(jì)量，其中p為滯后階數(shù)。3自相關(guān)LM檢驗(yàn)：計(jì)算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量LM檢驗(yàn)4正態(tài)檢驗(yàn)：計(jì)算J-B殘差正態(tài)檢驗(yàn)的多變量范圍。5 White 異方差檢驗(yàn)這些檢驗(yàn)是針對(duì)系統(tǒng)方程的Whites檢驗(yàn)范圍，這個(gè)回歸檢驗(yàn)是通過(guò)殘差序列每一個(gè)回歸量交叉項(xiàng)乘積的回歸來(lái)實(shí)現(xiàn)的，并檢驗(yàn)回歸的顯著性。No Cross Terms選項(xiàng)僅僅用于原始回歸量的水平和平方檢驗(yàn)。With Cross Terms選項(xiàng)包括被檢驗(yàn)方程中原始回歸變量所有的非多余的交叉乘積。§20.4 脈沖響應(yīng)函數(shù)

6、（一）脈沖響應(yīng)函數(shù)方法對(duì)第個(gè)變量的沖擊不僅直接影響第個(gè)變量，并且通過(guò)VAR模型的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)傳導(dǎo)給所有的其它內(nèi)生變量。脈沖響應(yīng)函數(shù)刻畫的是在一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)上加上一次性的一個(gè)沖擊，對(duì)內(nèi)生變量的當(dāng)前值和未來(lái)值所帶來(lái)的影響。設(shè)VAR(p模型為 這里是一個(gè)k維內(nèi)生變量向量，是方差為的擾動(dòng)向量。的VMA(的表達(dá)式 假如VAR(p可逆，的VMA的系數(shù)可以由VAR的系數(shù)得到。設(shè)，q =1 , 2 , 3 ,. ，則y的第i個(gè)變量可以寫成： 其中k是變量個(gè)數(shù)。下面僅考慮兩個(gè)變量(k=2的情形：現(xiàn)在假定在基期給一個(gè)單位的脈沖，即： 1 2 0 1 2 3 4 5 t由的脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)：因此，一般地，由對(duì)的脈沖引起

7、的的響應(yīng)函數(shù)可以求出如下： （二）由VAR產(chǎn)生脈沖響應(yīng)函數(shù)從VAR工具欄中選擇Impulse Response，得到的對(duì)話框，有兩個(gè)菜單：1Display菜單提供下列選項(xiàng)：Display Format :選擇以圖或表來(lái)顯示結(jié)果。Display Information :輸入希望產(chǎn)生擾動(dòng)的變量和希望觀察其脈沖響應(yīng)的變量。為了顯示累計(jì)的響應(yīng)，需要選中Accumulate Response框。Response Standard Error：提供計(jì)算脈沖響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)誤差的選項(xiàng)。2Impulse Definition菜單提供了轉(zhuǎn)換脈沖的選項(xiàng)：（1）Residual-One Unit 設(shè)置一單位殘差的沖擊。（

8、2）Residual-One Std.Dev. 設(shè)置殘差的一單位標(biāo)準(zhǔn)偏差的沖擊。（3）Cholesky 用正交于脈沖的Cholesky 因子的殘差協(xié)方差矩陣的逆。：在估計(jì)的殘差協(xié)方差矩陣除以Cholesky 因子時(shí)進(jìn)行小樣本的自由度修正。：在估計(jì)的殘差協(xié)方差矩陣除以Cholesky 因子時(shí)不進(jìn)行小樣本的自由度修正。（4）Generalized Impluses:描述Pesaran和Shin(1998構(gòu)建的不依賴于VAR中等式的次序的正交的殘差矩陣。（5）Structural Decomposition:用結(jié)構(gòu)因子分解矩陣估計(jì)的正交轉(zhuǎn)換矩陣。6User Specified:在這個(gè)選項(xiàng)中允許自己定

9、義沖擊。 方差分解脈沖響應(yīng)函數(shù)描述的是VAR中的一個(gè)內(nèi)生變量的沖擊給其他內(nèi)生變量所帶來(lái)的影響。而方差分解是把內(nèi)生變量中的變化分解為對(duì)VAR的分量沖擊。因此，方差分解給出對(duì)VAR中的變量產(chǎn)生影響的每個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)的相對(duì)重要性的信息。一、 方差分解的基本思路(20.12式中各括號(hào)（）中的內(nèi)容是第j個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)從無(wú)限過(guò)去到現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)對(duì)第i個(gè)變量影響的總和。求其方差，因?yàn)闊o(wú)序列相關(guān)，故 j = 1 ,2 ,.,k （20.17）這是把第j個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)第i個(gè)變量的從無(wú)限過(guò)去到現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)的影響，用方差加以評(píng)價(jià)的結(jié)果。此處還假定擾動(dòng)項(xiàng)向量的協(xié)方差矩陣是對(duì)角矩陣。于是的方差是上述方差的k項(xiàng)簡(jiǎn)單和 （20.19）的方差可以分

10、解成k種不相關(guān)的影響，因此為了測(cè)定各個(gè)擾動(dòng)相對(duì)的方差有多大程度的貢獻(xiàn)，定義了RVC（Relative Variance Contribution）（相對(duì)方差貢獻(xiàn)率）,根據(jù)第j個(gè)變量基于沖擊的方差對(duì)的方差的相對(duì)貢獻(xiàn)度來(lái)作為觀測(cè)第j個(gè)變量對(duì)第i個(gè)變量影響的尺度。實(shí)際上，不可能用直到s=的來(lái)評(píng)價(jià)，只需有限的s項(xiàng)。 i ,j = 1 , 2,k （20.22）如果大時(shí)，意味著第j個(gè)變量對(duì)第i個(gè)變量的影響大，相反地，小時(shí)，可以認(rèn)為第j個(gè)變量對(duì)第i個(gè)變量的影響小。二、如何由VAR計(jì)算方差分解從VAR的工具欄中選View/Variance decomposition項(xiàng)。應(yīng)當(dāng)提供和上面的脈沖響應(yīng)函數(shù)一樣的信息

11、。§20.6 VAR過(guò)程在這里僅就對(duì)VAR是唯一的過(guò)程進(jìn)行討論。Make Systerm：產(chǎn)生一個(gè)包括等同于VAR詳細(xì)定義的對(duì)象。By Variable選項(xiàng)產(chǎn)生一個(gè)系統(tǒng)，其詳細(xì)的說(shuō)明和系數(shù)的顯示是以變量的次序來(lái)顯示。By Lag 產(chǎn)生一個(gè)以滯后數(shù)的次序來(lái)顯示其詳細(xì)的說(shuō)明和系數(shù)的系統(tǒng)。§ 向量誤差修正及協(xié)整理論Engle和Granger（1987a）指出兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的線性組合可能是平穩(wěn)的。假如這樣一種平穩(wěn)的或的線性組合存在，這些非平穩(wěn)（有單位根）時(shí)間序列之間被認(rèn)為是具有協(xié)整關(guān)系的。這種平穩(wěn)的線性組合被稱為協(xié)整方程且可被解釋為變量之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系。向量誤差修正模型

12、（VEC）是一個(gè)有約束的VAR模型，并在解釋變量中含有協(xié)整約束，因此它適用于已知有協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)序列。當(dāng)有一個(gè)大范圍的短期動(dòng)態(tài)波動(dòng)時(shí)，VEC表達(dá)式會(huì)限制內(nèi)生變量的長(zhǎng)期行為收斂于它們的協(xié)整關(guān)系。因?yàn)橐幌盗械牟糠侄唐谡{(diào)整可以修正長(zhǎng)期均衡的偏離，所以協(xié)整項(xiàng)被稱為是誤差修正項(xiàng)。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：考慮一個(gè)兩變量的協(xié)整方程并且沒(méi)有滯后的差分項(xiàng)。協(xié)整方程是：且VEC是：在這個(gè)簡(jiǎn)單的模型中，等式右端唯一的變量是誤差修正項(xiàng)。在長(zhǎng)期均衡中，這一項(xiàng)為0。然而，如果在上一期偏離了長(zhǎng)期均衡，則誤差修正項(xiàng)非零并且每個(gè)變量會(huì)進(jìn)行調(diào)整以部分恢復(fù)這種均衡關(guān)系。系數(shù)代表調(diào)整速度。如果兩個(gè)內(nèi)生變量和不含趨勢(shì)項(xiàng)并且協(xié)整方程有截距，則

13、VEC有如下形式：另一個(gè)VEC表達(dá)式假設(shè)在序列中有線性趨勢(shì)并且在協(xié)整方程中有常數(shù)，因此它的形式如下：相似地，協(xié)整方程中可能有趨勢(shì)項(xiàng)，但在兩個(gè)VEC方程中沒(méi)有趨勢(shì)項(xiàng)。最后，如果在每個(gè)VEC等式的括號(hào)外存在線性趨勢(shì)項(xiàng)，那么序列中便存在著隱含的二次趨勢(shì)項(xiàng)。§20.8 協(xié)整檢驗(yàn)協(xié)整檢驗(yàn)從檢驗(yàn)的對(duì)象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗(yàn)，如下面將要介紹的Johansen協(xié)整檢驗(yàn)。另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗(yàn)，如ADF檢驗(yàn)。（一）ADF檢驗(yàn)考慮k個(gè)變量的時(shí)間序列，我們可以建立三種回歸方程： （20.28） （20.29） （20.30）其中為擾動(dòng)項(xiàng)。在EViews中執(zhí)行ADF協(xié)整檢驗(yàn)，須

14、先計(jì)算殘差，對(duì)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，從而確定之間是否有協(xié)整關(guān)系。（二）Johansen協(xié)整檢驗(yàn)協(xié)整檢驗(yàn)的目的是決定一組非穩(wěn)定序列是否是協(xié)整的。考慮階數(shù)為p的VAR模型： （20.31）其中，是一個(gè)含有非平穩(wěn)的I (1變量的維向量；是一個(gè)確定的維的向量，是擾動(dòng)向量。我們可把VAR重寫為以下形式：其中： ， Granger定理指出：如果系數(shù)矩陣的秩，那么存在階矩陣和，它們的秩都是，使得，并且是穩(wěn)定的。其中是協(xié)整關(guān)系的數(shù)量（協(xié)整秩）并且的每列是協(xié)整向量。正如下面解釋，中的元素是向量誤差修正模型VEC中的調(diào)整參數(shù)。Johansen方法是在無(wú)約束VAR的形式下估計(jì)矩陣，然后求出，從而檢驗(yàn)出協(xié)整秩，（秩（），得

15、出協(xié)整向量。為了完成協(xié)整檢驗(yàn)，從VAR或組的工具欄中選擇View/Cointegration Test即可。EViews對(duì)Johansen考慮的下面五種可能的決定趨勢(shì)形式提供了檢驗(yàn)（1）序列y沒(méi)有確定趨勢(shì)，協(xié)整方程沒(méi)有截距：（2）序列y沒(méi)有確定趨勢(shì)，協(xié)整方程有截距：（3）序列y有線性趨勢(shì)，協(xié)整方程僅有截距：（4）序列y和協(xié)整方程都有線性趨勢(shì)：（5）序列y有二次趨勢(shì)且協(xié)整方程有線性趨勢(shì)：Johansen協(xié)整檢驗(yàn)結(jié)果的解釋：表中第一部分的報(bào)告結(jié)果檢驗(yàn)了協(xié)整關(guān)系的數(shù)量，并以兩種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的形式顯示：第一種檢驗(yàn)結(jié)果是所謂的跡統(tǒng)計(jì)量，列在第一個(gè)表格中：第二種檢驗(yàn)結(jié)果是最大特征值統(tǒng)計(jì)量；列在第二個(gè)表格中。

16、對(duì)于每一個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果，第一列顯示了在原假設(shè)成立條件下的協(xié)整關(guān)系數(shù)；第二列是（20.32）式中矩陣按由大到小排序的特征值；第三列是跡檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量或最大特征值統(tǒng)計(jì)量；最后兩列分別是在5%和1%水平下的臨界值。在跡統(tǒng)計(jì)量的輸出中檢驗(yàn)原假設(shè)是有r個(gè)協(xié)整關(guān)系，而不是k個(gè)協(xié)整關(guān)系，其中k是內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，r=0 , 1 , , k-1。對(duì)原假設(shè)是有r個(gè)協(xié)整關(guān)系的跡統(tǒng)計(jì)量是按如下的方法計(jì)算的： 其中是（20.32）式中矩陣的第i個(gè)最大特征值，在輸出表的第二列顯示。最大特征值統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)結(jié)果表，它所檢驗(yàn)的原假設(shè)是有r個(gè)協(xié)整關(guān)系，反之，有r+1個(gè)協(xié)整關(guān)系。統(tǒng)計(jì)量是按下面的方法計(jì)算的： §20.10 向量誤差修正模型(VEC的估計(jì)VEC模型是一種受約束的VAR模型，是用已知協(xié)整的非穩(wěn)定序列來(lái)定義的。（一） 如何估計(jì)VEC模型為建立一個(gè)VEC，擊VAR工具欄中的Estimate，然后從VAR/VEC Specification中選擇Vector Error Correction項(xiàng)。在VAR/VEC Specification欄中，應(yīng)該提供與無(wú)約束的VAR相同的信息。VEC