高考數(shù)學(xué)壓軸題集錦

1、高考數(shù)學(xué)壓軸題集錦1橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線的方程；（3）設(shè)（），過(guò)點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，證明. (14分)2 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，且當(dāng)時(shí)，。（1） 時(shí)，求的表達(dá)式。（2） 證明是偶函數(shù)。（3） 試問(wèn)方程是否有實(shí)數(shù)根？若有實(shí)數(shù)根，指出實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；若沒有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)說(shuō)明理由。3（本題滿分12分）如圖，已知點(diǎn)F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：。（1） 若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比它到直線L的距離小1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2） 過(guò)點(diǎn)F的直線g交軌跡E

2、于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點(diǎn)，求證：x1x2 為定值；（3） 過(guò)軌跡E上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及S的最小值。4.以橢圓1（a1）短軸一端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，試判斷并推證能作出多少個(gè)符合條件的三角形.5 已知，二次函數(shù)f（x）ax2bxc及一次函數(shù)g（x）bx，其中a、b、cR，abc，abc0.（）求證：f（x）及g（x）兩函數(shù)圖象相交于相異兩點(diǎn)；（）設(shè)f（x）、g（x）兩圖象交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB線段在x軸上射影為A1B1時(shí)，試求|A1B1|的取值范圍.6 已知過(guò)函數(shù)f（x）=的圖象上一點(diǎn)B（1，b）的切

3、線的斜率為3。（1） 求a、b的值；（2） 求A的取值范圍，使不等式f（x）A1987對(duì)于x1，4恒成立；（3） 令。是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得當(dāng)時(shí)，g（x）有最大值1？ 7 已知兩點(diǎn)M（2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影為H，是2和的等比中項(xiàng)。（1） 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；（2） 若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過(guò)直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線C的方程。8已知數(shù)列an滿足 （1）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列bn的前項(xiàng)和為Sn，試比較Sn與的大小，并證明你的結(jié)論.9已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的

4、圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱（）求雙曲線C的方程；（）設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過(guò)M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距b的取值范圍； （）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，為雙曲線C的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，從引的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程10. 對(duì)任意都有（）求和的值（）數(shù)列滿足：=+，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；AOBxPy（）令試比較與的大小11. ：如圖，設(shè)OA、OB是過(guò)拋物線y22px頂點(diǎn)O的兩條弦，且0，求以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡.(13分)12.知函數(shù)f(x)log3(x22mx2m2)的定義域?yàn)镽(1)求實(shí)數(shù)m的

5、取值集合M；(2)求證：對(duì)mM所確定的所有函數(shù)f(x)中，其函數(shù)值最小的一個(gè)是2，并求使函數(shù)值等于2的m的值和x的值.13.設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為函數(shù)f(x)= (1). 求f(的值。 （2）。證明：f(x)在上是增函數(shù)。 （3）。對(duì)任意正數(shù)x1、x2,求證：14已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)的和.對(duì)于任意的，都有.I、求數(shù)列的通項(xiàng)公式.II、若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.15.( 12分)已知點(diǎn)H（3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足=0，=，（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；（2）過(guò)點(diǎn)T（1，0）作直線l與軌跡

6、C交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（x0,0），使得ABE為等邊三角形，求x0的值.16.（14分）設(shè)f1(x)=,定義fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中nN*,試比較9T2n與Qn的大小.17 已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求點(diǎn)（x，y）的軌跡C的方程；（II） 若直線L：y=kx+m(m0)與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，D（0，1），且有 |AD|=|BD|，試求m的取值范圍18已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)p、q都滿足（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）設(shè)求證：（3）設(shè)試比較與

7、6的大小19已知函數(shù)若數(shù)列：，成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)； （2）若的前n項(xiàng)和為Sn，求； （3）若，對(duì)任意,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.20已知OFQ的面積為 （1）設(shè)正切值的取值范圍； （2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（如圖），當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程. （3）設(shè)F1為（2）中所求雙曲線的左焦點(diǎn)，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.21、已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿足 求的通項(xiàng)公式；若的前項(xiàng)和為，求.22、直角梯形ABCD中DAB90，ADBC，AB2，AD，BC橢圓C以

8、A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)E滿足，問(wèn)是否存在不平行AB的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)且，若存在，求出直線l與AB夾角的范圍，若不存在，說(shuō)明理由23、設(shè)函數(shù) （1）求證：對(duì)一切為定值； （2）記求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.24. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).當(dāng)X0時(shí), =.(I) 求當(dāng)X0時(shí), 的解析式;(II) 試確定函數(shù)= (X0)在的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(III) 若且，證明：|0，a1=1，an+1= f()2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，并證明你的結(jié)論.30、已知點(diǎn)集其中點(diǎn)列在中，為與軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1，。（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公

9、式；（2）若求；（3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。21經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn). (12分)（1）若線段的中點(diǎn)為,直線的斜率為,試求點(diǎn)的坐標(biāo),并求點(diǎn)的軌跡方程（2）若直線的斜率,且點(diǎn)到直線的距離為,試確定的取值范圍.1（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為。 由已知得解得所以橢圓的方程為，離心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。設(shè)直線PQ的方程為。由方程組得，依題意，得。設(shè)，則， 。 由直線PQ的方程得。于是。 ，。 由得，從而。所以直線PQ的方程為或（3，理工類考生做）證明：。由已知得方程組注意，解得因，故。而，所以。2 f(x)= (2kx2k

10、+2, kZ) 略 方程在1，4上有4個(gè)實(shí)根3 x2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN=4 .解：因a1，不防設(shè)短軸一端點(diǎn)為B（0，1）設(shè)BCykx1（k0）則AByx1 把BC方程代入橢圓，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210（k1）k2（1a2）k10 k1或k2（1a2）k10當(dāng)k2（1a2）k10時(shí)，（a21）24由0，得1a由0，得a，此時(shí)，k1故，由0，即1a時(shí)有一解由0即a時(shí)有三解 5 解：依題意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0

11、，ac0，0f（x）、g（x）相交于相異兩點(diǎn) （）設(shè)x1、x2為交點(diǎn)A、B之橫坐標(biāo)則|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2 ，而a0， 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 6、解：（1）=依題意得k=3+2a=3， a=3，把B（1，b）代入得b=a=3，b=1（2）令=3x26x=0得x=0或x=2f（0）=1，f（2）=233221=3f（1）=3，f（4）=17x1，4，3f（x）17要使f（x）A1987對(duì)于x1，4恒成立，則f（x）的最大值17A1987A2004。（1） 已知g（x）=0x1，33x20， 當(dāng)t3時(shí)，t3x20，g（x）在上為增函數(shù)，g

12、（x）的最大值g（1）=t1=1,得t=2（不合題意,舍去） 當(dāng)0t3時(shí), 令=0,得x=列表如下:x（0, ）0g（x）極大值g（x）在x=處取最大值t=1t=3x=1當(dāng)t0時(shí)，0，g（x）在上為減函數(shù)，g（x）在上為增函數(shù)，存在一個(gè)a=，使g（x）在上有最大值1。7、解:（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x,y）,則H（0,y）,=（2x,y）=（2x,y）=（2x,y）（2x,y）=由題意得PH2=2即即，所求點(diǎn)P的軌跡為橢圓（2）由已知求得N（2，0）關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)E（1，1），則QE=QN雙曲線的C實(shí)軸長(zhǎng)2a=（當(dāng)且僅當(dāng)Q、E、M共線時(shí)取“=”），此時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)2a最大為所以，雙曲線

13、C的實(shí)半軸長(zhǎng)a=又雙曲線C的方程式為8.（1） （2）9解：（）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0該直線與圓相切，雙曲線C的兩條漸近線方程為y=x2分故設(shè)雙曲線C的方程為又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，雙曲線C的方程為4分（）由得令直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f(x)=0在上有兩個(gè)不等實(shí)根因此 解得又AB中點(diǎn)為，直線l的方程為6分令x=0，得，8分（）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)到T，使，若Q在雙曲線的左支上，則在上取一點(diǎn)T，使根據(jù)雙曲線的定義，所以點(diǎn)T在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是 10分由于點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，即代入并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為12分10

14、解：（）因?yàn)樗?分令，得，即4分（）又5分兩式相加所以，7分又故數(shù)列是等差數(shù)列9分（）10分12分所以14分11設(shè)直線OA的斜率為k，顯然k存在且不等于0則OA的方程為ykx由解得A()4分又由，知OAOB，所以O(shè)B的方程為yx由解得B(2pk2，2pk)4分從而OA的中點(diǎn)為A()，OB的中點(diǎn)為B(pk2，pk)6分所以，以O(shè)A、OB為直徑的圓的方程分別為x2y20 x2y22pk2x2pky0 10分P(x，y)是異于O點(diǎn)的兩圓交點(diǎn)，所以x0，y0由并化簡(jiǎn)得y(k)x 將代入，并化簡(jiǎn)得x(k21)2p 由消去k，有x2y22px0點(diǎn)P的軌跡為以(p，0)為圓心，p為半徑的圓(除去原點(diǎn)).1

15、3分12(1)由題意，有x22mx2m20對(duì)任意的xR恒成立所以4m24(2m2)0即m200由于分子恒大于0，只需m230即可所以m或mMm|m或m4分(2)x22mx2m2(xm)2m2m2當(dāng)且僅當(dāng)xm時(shí)等號(hào)成立.所以，題設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的最小值為m27分又因?yàn)橐?為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)f(x)log3(m2)當(dāng)且僅當(dāng)xm(mM)時(shí)，f(x)有最小值為log3(m2)10分又當(dāng)mM時(shí)，m230m2m233239當(dāng)且僅當(dāng)m23，即m時(shí)，log3(m2)有最小值log3(6)log392當(dāng)xm時(shí)，其函數(shù)有最小值2.13解析：（1）。，由根與系數(shù)的關(guān)系得， 同法得f( (2).證明：f/(x)=

16、而當(dāng)x時(shí)， 2x2-tx-2=2(x-故當(dāng)x時(shí), f/(x)0, 函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)。 （3）。證明： , 同理. 又f(兩式相加得: 即 而由（1），f( 且f(, .14(I)當(dāng)時(shí),又an各項(xiàng)均為正數(shù),.數(shù)列是等差數(shù)列, (II) ,若對(duì)于任意的恒成立,則.令,.當(dāng)時(shí),.又，. 的最大值是. 15.（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0),2分由=0，得（3，）(x,)=0,又得y2=4x,5分由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，得x0,所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn).6分（2）設(shè)直線l:y=k(x+1),其中k0,代入y2=

17、4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,7分設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則x1,x2是方程的兩個(gè)實(shí)根，x1+x2=,x1x2=1,所以，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),8分線段AB的垂直平分線方程為y=(x),9分令y=0,x0=+1,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(+1,0)因?yàn)锳BE為正三角形，所以點(diǎn)E（+1,0）到直線AB的距離等于AB,而AB=,10分所以，=,11分解得k=,得x0=.12分16.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,an+1=an,4分?jǐn)?shù)列an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，an=()n1.6分（2）T2n=a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1

18、+2na2n,T2n=(a1)+()2a2+()3a3+()(2n1)a2n1+()2na2n=a2+2a3+(2n1)a2nna2n,8分兩式相減得T2n=a1+a2+a3+a2n+na2n,所以，T2n=+n()2n1=()2n+()2n1, 10分T2n=()2n+()2n1=(1). 9T2n=1,Qn=1, 12分當(dāng)n=1時(shí)，22n=4,(2n+1)2=9,9T2nQn;當(dāng)n=2時(shí)，22n=16,(2n+1)2=25,9T2nQn; 13分當(dāng)n3時(shí)，22n=（1+1）n2=(C+C+C+C)2(2n+1)2,9T2nQn. 14分17解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y)

19、,=（x, 0）(1,y)= (x, y).(+)(), (+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0, 故P點(diǎn)的軌跡方程為（分）（II）考慮方程組 消去y，得（13k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)顯然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)0.設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）,線段AB的垂直平分線方程為y=（）,將D（0，1）坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得 4m=3k21,故m、k滿足 消去k2得 m24m0, 解得 m4.又4m=3k211, 故m(,0)(4,+)（分

20、）18(1)解由已知得(4分)(2)證明由(1)可知設(shè)則 兩式相減得+ （9分）（3）解由（1）可知?jiǎng)t =故有 =6 （分）19（1） （2） （3）為遞增數(shù)列 中最小項(xiàng)為20（1） （2）設(shè)所求的雙曲線方程為 又由當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)為所求方程為 （3）設(shè) 的方程為的方程為 則有 設(shè)由得 ，代入得 的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.21、解：（1）為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. （2） 22、解析：（1）如圖，以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，A（-1，0），B（1，0）設(shè)橢圓方程為：令橢圓C的方程是：（2），lAB時(shí)不符，設(shè)l：ykxm（k

21、0）由M、N存在D設(shè)M（，），N（，），MN的中點(diǎn)F（，）， 且l與AB的夾角的范圍是，23、（1） 24、（1）當(dāng)X0時(shí), （3分）（2）函數(shù)= (X0)在是增函數(shù)；（證明略） （9分）（3）因?yàn)楹瘮?shù)= (X0)在是增函數(shù)，由x得；又因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，且，即，所以?2f(x1) f(x2) 2即|2. （14分）25、解：由題意易得M(-1,0)設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線方程為代入得（）再設(shè)（，），（，）則x2=，x2=yy2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x2)+2k=的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）那么線段的垂直平分線方程為，令得，即又方程（）中若ABD是正三角形，則需點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)到AB的距離d=據(jù)得：，滿足ABD可以為正，此時(shí)26、解：設(shè)E（x，y），D（x0，y0）ABCD是平行四邊形，（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）（x0+6，y0）=(2x+4，2y)又即：ABCD對(duì)角線交點(diǎn)E的軌跡方程為設(shè)過(guò)A的直線方程為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓的焦距2C=4，則C=2設(shè)