高中數(shù)學《等比數(shù)列的概念和通項公式》教案

1、人教版高中數(shù)學等比數(shù)列的概念和通項公式教案 教案說明：設計思想：建構主義認為，學習不是知識由教師向?qū)W生的傳遞，而是學生建構自己的知識的過程。學生不是被動的信息吸收者，而是意義的主動建構者，這種建構不可能由其他人代替，而是要把學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。教師應該時刻注意讓學習任務始終處于學生的“最近發(fā)展區(qū)”，并提供一定的“支架”和輔導。學生應該在教師的幫助下，發(fā)展自己控制學習過程的能力。因此，本節(jié)課教師做為學習的引導者，通過同學之間的合作交流激發(fā)學生親身經(jīng)歷數(shù)學建構的過程。教學內(nèi)容分析： 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模

2、型，本章對數(shù)列的定位是做為一種函數(shù)結(jié)合數(shù)列自身的特點來學習的，在通過實際問題引入數(shù)列概念后，使學生體會數(shù)列的函數(shù)背景，感受數(shù)列是研究現(xiàn)實問題情景的數(shù)學模型。等比數(shù)列做為特殊的數(shù)列也是函數(shù)，實際上就是指數(shù)函數(shù)，是反映自然規(guī)律的重要的數(shù)學模型之一，與等差數(shù)列一樣在現(xiàn)實生活中也有廣泛的應用。因此，數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，同時也是高考重點考察的內(nèi)容。等比數(shù)列是在等差數(shù)列學習的基礎上進行的，對應指數(shù)函數(shù)的模型，因此對思維能力有更進一步的要求。一方面考查等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、等比中項及等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用，這一部分主要考查學生的運算能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，其

3、中考查思維能力是支柱，運算能力是主體，應用是歸宿；另一方面常和函數(shù)、不等式、方程、解析幾何、立體幾何等相關內(nèi)容交匯在一起綜合，加以導數(shù)和向量等新增內(nèi)容，使數(shù)列題更有了施展的舞臺；因此,這類題目從已知條件給出的信息,求解目標需求的信息,解題過程所用的方法都相當豐富,并且對于考查邏輯推理, 演繹證明,運算求解,歸納抽象等理性思維能力以及數(shù)學聯(lián)結(jié)能力都是很好的素材.等比數(shù)列的概念和通項公式做為等比數(shù)列學習的基礎，更起到至關重要的作用。本節(jié)課的教法特點：學生對等差數(shù)列的定義和基本性質(zhì)都已經(jīng)有了初步的理解和認識，因此本節(jié)內(nèi)容主要采用觀察，思考，類比，歸納，探究得出結(jié)論的方法進行教學，在教學活動中注重創(chuàng)設

4、問題情景，激發(fā)學生親身經(jīng)歷數(shù)學建構的過程。教學過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應用知識階段。引導學生探索與發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的特點，通項公式推導與等差數(shù)列類比進行數(shù)學建構的過程是教學的重點。教學目標分析：本節(jié)課選擇了學生身邊熟悉的、感興趣的問題，激勵學生對知識的渴望與追求。體現(xiàn)了數(shù)學與生活的聯(lián)系。通過與指數(shù)函數(shù)圖象類比，探索等比數(shù)列的通項公式的圖象特征及與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，借助函數(shù)的背景和研究方法來研究有關數(shù)列的問題，可以進一步讓學生體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生用已知去研究未知的能力。另一方面有利于培養(yǎng)學生的類比推理能力，從不同的角度引導學生去類比兩類數(shù)列，同時也體現(xiàn)了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)

5、，方程等數(shù)學知識的橫向聯(lián)系。等差數(shù)列與等比數(shù)列之間存在很多類似的大方，但也有本質(zhì)的不同，學生容易把二者混淆，因此在教學中始終強調(diào)等比數(shù)列的定義和體現(xiàn)等比數(shù)列本質(zhì)的公比。課題：等比數(shù)列的概念和通項公式一、教學目標1通過與等差數(shù)列定義類比及具體實例了解并掌握等比數(shù)列的定義。2掌握等比中項的特點及應用。3理解等比數(shù)列的通項公式及推導過程及方法；了解通項公式與指數(shù)函數(shù)之間的關系，并能用通項公式解決簡單的等比數(shù)列問題。4通過實例，類比理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，提高數(shù)學建模能力。5 充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，認識到等比數(shù)列是反映自然

6、規(guī)律的重要的數(shù)列模型之一，與等差數(shù)列一樣在現(xiàn)實生活中也有廣泛的應用，體會數(shù)學是來源于現(xiàn)實生活，并應用于現(xiàn)實生活的，提高學生解決簡單實際問題的能力。二、教學重點、難點1重點：理解等比數(shù)列的定義及通項公式的推導及應用。2難點：在教學過程中滲透建構的思想，為學生搭建舊知識與新知識之間的橋梁，引導學生在原有知識的基礎上，思考類比，探究發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系及其通項公式的推導和通項公式靈活運用。三教學方法與手段利用多媒體技術，采用觀察，思考，類比，歸納，探究得出結(jié)論的方法進行教學，發(fā)揮學生的主體作用，做好探究性活動。四、教學流程 創(chuàng)設情景，從具體實例引入新課 得到等比數(shù)列的定義

7、 合作探究等比中項的定義合作探究等比數(shù)列的通項公式自主探究等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系例題訓練小結(jié)類比等差數(shù)列與等比數(shù)列。五教學情景設計（一）復習回顧等差數(shù)列的定義，等差中項，等差數(shù)列的通項公式及推導。設計意圖：本節(jié)課主要通過類比等差數(shù)列的定義，等差中項，等差數(shù)列的通項公式及推導期望得到等比數(shù)列定義，等比中項，等比數(shù)列的通項公式。引導學生回顧舊的熟悉的知識，為新知識的理解掌握奠定基礎。（二）新課引入1. “一尺之棰,日取其半,萬世不竭”用現(xiàn)代漢語敘述這段話的意思，“日取其半”得到一個怎么樣的數(shù)列？設計意圖：由“日取其半”發(fā)現(xiàn)等比關系，引導學生發(fā)現(xiàn)問題所蘊含的等比關系，寫出一個無窮等比數(shù)列。2. 折

8、紙，紙的厚度分別成什么樣的數(shù)列？設計意圖：由紙的厚度發(fā)現(xiàn)等比關系, 引導學生發(fā)現(xiàn)問題所蘊含的等比關系，寫出一個無窮等比數(shù)列。3.再給出兩個數(shù)列，觀察這四個數(shù)列具有怎么樣的特點？設計意圖：類比發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的等比關系，概括給出等比數(shù)列的定義。通過觀察，歸納，猜想認識到等比數(shù)列的特性，引導學生類比等差數(shù)列發(fā)現(xiàn)等比關系和概括出等比數(shù)列的定義。教師引導總結(jié)：總結(jié)學生的結(jié)論，得到等比數(shù)列的定義。一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母。這個時候要引導學生明確兩點：1.對于公比要強調(diào)它是“從第2項起，每一項與它的前一

9、項的比”防止把相鄰兩項的比次序顛倒。2. 是一個常數(shù)，不僅可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)，順勢引導提問可否為0？（二）合作探究問題1. 公比為什么不能等于零？首項能不能為0？等比數(shù)列中能否有0這樣的項呢？設計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的首項和公比都不能等于零，并且任意一項都不能為零。(獨立思考，合作交流，假設存在有零的等比數(shù)列會帶來什么樣的矛盾？后一項與前一項的比，分母為0了。)問題2. 是否存在一個數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列？設計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)一個特殊的數(shù)列-常數(shù)列即公比等于1的數(shù)列同時具有等差等比的性質(zhì)。（引導學生與學過的知識進行比較，等到新的結(jié)論，與舊的知識進行聯(lián)系，進行知識建構。）問題

10、3，如果，這樣的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列呢？設計意圖：鼓勵學生發(fā)現(xiàn)一些特殊的等比數(shù)列，使學生對等比數(shù)列有更深入的認識，教師表揚激勵學生深入探索。問題4. 如果這樣的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列呢？各項的符號是什么樣的，應該怎樣確定，由哪些因素決定？設計意圖：引導拓寬學生對等比數(shù)列的認識，逐步引導學生明白首項和公比是決定一個等比數(shù)列的重要條件。問題5. 如果這樣的等比數(shù)列是什么樣的數(shù)列呢？是否這個數(shù)列的每一項就都大于0？設計意圖：使學生初步感受有的等比數(shù)列具有單調(diào)性，有的數(shù)列不具有單調(diào)性，繼續(xù)拓寬學生對等比數(shù)列的認識。再次確認首項和公比是決定一個等比數(shù)列的重要條件。教師繼續(xù)引導探究，鼓勵學生問題6. 若

11、兩個等比數(shù)列相同需要什么條件？設計意圖：說明首項和公比是決定一個等比數(shù)列的必要條件，為等比數(shù)列通項公式的推導做準備。同學之間相互討論，得到首項和公比是決定一個等比數(shù)列的必要條件。問題7. 等差數(shù)列有等差中項，等比數(shù)列有沒有相類似的東西呢？設計意圖：類比等差中項，引導學生自己給出等比中項的概念。教師總結(jié)：問題8. 任意兩個數(shù)都有等差中項，是否任意兩個數(shù)都有等比中項呢？設計意圖：發(fā)現(xiàn)等差中項存在的條件，引導學生理解不是任意兩個數(shù)都存在等比中項。只有同號的兩個數(shù)才存在等比中項。問題9. 等差數(shù)列有通項公式，那等比數(shù)列呢？設計意圖：通過以上問題的解答，學生對等比數(shù)列有了一定的認識，引導學生回顧等差數(shù)列

12、的推導過程，引導學生合作交流推導等比數(shù)列的通項公式，并強調(diào)首項和公比的限制條件。這樣做可以幫助學生體會歸納推理對于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學結(jié)論的作用。鼓勵學生大膽的猜測，小心的證明。推導結(jié)束后要使學生明確：.不要錯誤的把通項公式寫成問題9. 等差數(shù)列實際上一次函數(shù)，那等比數(shù)列是否也有相對應的函數(shù)呢？設計意圖：探究等比數(shù)列的圖象與相應函數(shù)的關系。讓學生用描點發(fā)畫出上述兩組圖象，交流討論，歸納出兩者之間的關系。（三）例題講解和學生練習設計意圖：通過這個例題引導學生利用等比數(shù)列的定義來描述各項之間的關系，進一步認識等比數(shù)列的本質(zhì)。設計意圖：通過這個例題讓學生進一步體會等比數(shù)列各個項之間的關系，用方程的觀點解決問題的方法，同時明確的認識到首項和公比是確定一個等比數(shù)列的必要條件。設計意圖：等比中項的應用。利用等比中項的概念計算得到,得到