直線的方向向量

1、研究 從今天開始從今天開始, ,我們將進一步來體會向量這一工我們將進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應用具在立體幾何中的應用. .為了用向量來研究空間的線面位置關系，首先我為了用向量來研究空間的線面位置關系，首先我們要用向量來表示直線和平面的們要用向量來表示直線和平面的“方向方向”。那么。那么如何用向量來刻畫直線和平面的如何用向量來刻畫直線和平面的“方向方向”呢？呢？一、直線的方向向量一、直線的方向向量e ABle 直線直線l上的向量上的向量 以及與以及與 共線共線的向量叫做直線的向量叫做直線l的的方向向量方向向量。e e 由于垂直于同一平面的直線是互相平行的由于垂直于同一平面的直線是互相

2、平行的, 所以，可以所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向方向”。二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在直線垂的有向線段所在直線垂直于平面直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面 ,記作記作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n An l 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么過點那么過點A,以向量以向量 為法向量的平面是完全確定的為法向量的平面是完全確定的.n n 幾點注意：幾點注意：1.法向

3、量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 與平面平行或在平面內，則有與平面平行或在平面內，則有0n m n m 由兩個三元一次方程由兩個三元一次方程組成的方程組的解是組成的方程組的解是不惟一的，為方便起不惟一的，為方便起見，取見，取z=1z=1較合理。較合理。其實平面的法向量不其實平面的法向量不是惟一的。是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,n

4、ABnACxyzxyz 則，（ ， ， ）， （ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標兩個不共線的找出（求出）平面內的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根據據法法向向量量的的定定義義建建立立關關于于的的方方程程組組個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟

5、一，合理取值即合理取值即可。可。例例3. 3. 在空間直角坐標系內，設平面在空間直角坐標系內，設平面 經過經過 點點 ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ， 為平面為平面 內任意一點，求內任意一點，求 滿足的關系式。滿足的關系式。),(000zyxP),(CBAe ),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解：由題意可得解：由題意可得 0 PMe000(,) (,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化簡簡得得： 因為方向向量與法向量可以確定直線和因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應該可以利用直線的平面的位置，所以我們應

6、該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的面間的平行、垂直、夾角平行、垂直、夾角等位置關系等位置關系. . 那么如何用直線的方向向量表示空間那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關系以及它們之兩直線平行、垂直的位置關系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關系以及它們間兩平面平行、垂直的位置關系以及它們二面角的大小呢？二面角的大小呢？線線面面平平行行 面面面面平平行行 三、平行關系：三、平行關系：111222(,),(,),lea b cna b c設直線

7、 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;lena abbc cABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例4 4 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，點所在平面互相垂直，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：ABCDEFxyzMN), 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到簡證：因為矩形簡證：因為矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 為正交為正交基底，建立如圖所示空間坐標系，

8、基底，建立如圖所示空間坐標系，設設AB,AD,AF長分別為長分別為3a，3b，3c，AB AD AF ， ，則可得各點坐標，從而有則可得各點坐標，從而有又平面又平面CDECDE的一個法向量是的一個法向量是因為因為MN不在平面不在平面CDE內內所以所以MN/平面平面CDE四、垂直關系：四、垂直關系：111222222,0, /abca b cenabc當時111222(,),(,),ea b cna b c若則121212/,.lenenaa bb ccA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：中點，求證：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方體在正方體中，中，E、F分別是分

9、別是BB1,1,，平面平面ADE 證明：設正方體棱長為證明：設正方體棱長為1， 為單位正交為單位正交 基底，建立如圖所示坐標系基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，則可得：則可得：1,DADCDD 以以， 1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 又又因因為為00n DAn DE 則則由由，得得 所以所以1D FADE 平平面面ADEnxyz 設設平平面面的的一一個個法法向向量量為為 =(=( ， ， ) )000102xxyz 12xyz 則則 =0=0，不不妨妨取取，得得01 -2n 所所以以 =(=( ， ， ) )/1D F n 所所以以鞏固性訓練11.設設 分

10、別是直線分別是直線l1,l2的方向向量的方向向量,根據下根據下 列條件列條件,判斷判斷l(xiāng)1,l2的位置關系的位置關系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行鞏固性訓練21.設設 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據根據 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關系的位置關系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuv

11、u垂直垂直平行平行相交相交1、設平面、設平面 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),若若 ，則，則k= ；若；若 則則 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面，平面的法向量為的法向量為(1,1/2,2),則則m= .3、若、若 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量為的法向量為(1,1/2,2),且且 ，則，則m= .鞏固性訓練3/llll1如圖，正方體如圖，正方體 中，中， E為為 的中點，的中點， 證明：證明： /平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2 2、在正方體在正方體AC 中，中，E、F、G、P、 Q、R分別是所在棱分別是所在棱AB、BC、BB A D 、D C 、DD 的中點，的中點， 求證：求證：平面平面P