第一篇 第2練

1、第2練復(fù)數(shù)與平面向量明晰考情1.命題角度：復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算和幾何意義；以平面圖形為背景 ,考查平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積.2.題目難度：復(fù)數(shù)題目為低檔難度 ,平面向量題目為中低檔難度.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與四那么運(yùn)算要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)：形如abi(a ,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù) ,其中a ,b分別是它的實(shí)部和虛部 ,i為虛數(shù)單位.假設(shè)b0 ,那么abi為實(shí)數(shù)；假設(shè)b0 ,那么abi為虛數(shù)；假設(shè)a0且b0 ,那么abi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a ,b ,c ,dR).(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac ,bd(a ,b ,c ,dR).(4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做

2、復(fù)數(shù)zabi(a ,bR)的模 ,記作|z|或|abi| ,即|z|abi|r(r0 ,rR).(5)復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的四那么運(yùn)算 ,復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù).1.(2019·全國(guó))等于()A.i B.iC.i D.i答案D解析i.應(yīng)選D.2.a ,bR ,i是虛數(shù)單位.假設(shè)ai與2bi互為共軛復(fù)數(shù) ,那么(abi)2等于()A.54i B.54iC.34i D.34i答案D解析由得a2 ,b1 ,即abi2i ,(abi)2(2i)234i.應(yīng)選D.3.i是虛數(shù)單位 ,a ,bR ,那么“ab1是“(abi)22i的()A.充分不必要條件 B.必要不充

3、分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)ab1時(shí) ,(abi)2(1i)22i ,反過(guò)來(lái)(abi)2a2b22abi2i ,那么a2b20,2ab2 ,解得a1 ,b1或a1 ,b1.故“ab1是“(abi)22i的充分不必要條件 ,應(yīng)選A.4.復(fù)數(shù)z(12i)(3i) ,其中i為虛數(shù)單位 ,那么z的實(shí)部是_.答案5解析z(12i)(3i)55i.故z的實(shí)部為5.考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a ,b)(a ,bR).(2)復(fù)數(shù)zabi(a ,bR)平面向量.5.設(shè)aR ,假設(shè)(13i)(1ai)R(i是虛數(shù)單位) ,那么a等于()A.3 B.

4、3 C. D.答案B解析(13i)(1ai)1ai3i3a ,(13i)(1ai)R ,虛部為0 ,那么a30 ,a3.6.(2019·株洲質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1i)zi ,那么|z|等于()A. B.C. D.2答案A解析由(1i)zi ,得zi ,|z|.7.如圖 ,在復(fù)平面內(nèi) ,復(fù)數(shù)z1 ,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是 , ,那么|z1z2|_.答案2解析由題意知 ,z12i ,z2i ,z1z22 ,|z1z2|2.8.復(fù)數(shù)z ,那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限.答案二解析因?yàn)閕4nkik(nZ) ,且ii2i3i40 ,所以ii2i3i2 019ii2i3i1i1 ,所以z

5、(1i)i ,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ,在第二象限.考點(diǎn)三 平面向量的線性運(yùn)算方法技巧(1)向量加法的平行四邊形法那么：共起點(diǎn)；三角形法那么：首尾相連；向量減法的三角形法那么：共起點(diǎn)連終點(diǎn) ,指向被減.(2)O為平面上任意一點(diǎn) ,那么A ,B ,C三點(diǎn)共線的充要條件是存在s ,t ,使得st ,且st1 ,s ,tR.(3)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題 ,可轉(zhuǎn)化為向量共線解決.9.(2019·全國(guó))在ABC中 ,AD為BC邊上的中線 ,E為AD的中點(diǎn) ,那么等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意圖如下圖.×()().應(yīng)選A.10.如圖 ,在ABC中 ,N是AC邊上一點(diǎn) ,且 ,P是BN上的

6、一點(diǎn) ,假設(shè)m ,那么實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C.1 D.3答案B解析 , ,mm.又B ,N ,P三點(diǎn)共線 ,m1 ,m.11.如圖 ,在正方形ABCD中 ,M ,N分別是BC ,CD的中點(diǎn) ,假設(shè) ,那么等于()A.2 B.C. D.答案D解析方法一如圖以AB ,AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系 ,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1 , , ,(1,1). ,解得故.方法二以 ,作為基底 ,M ,N分別為BC ,CD的中點(diǎn) , , , ,又 ,因此解得所以.12.假設(shè)|a|1 ,|b| ,且|a2b| ,那么向量a與向量b夾角的大小是_.答案解析由|a2b| ,得|a|24a·b4|b|27 ,

7、14a·b4×37 ,a·b.cosa ,b ,又0a ,b ,a ,b.考點(diǎn)四平面向量的數(shù)量積方法技巧(1)向量數(shù)量積的求法：定義法 ,幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義) ,坐標(biāo)法.(2)向量運(yùn)算的兩種根本方法：基向量法 ,坐標(biāo)法.13.向量a(1,2) ,b(1,0) ,c(3,4) ,假設(shè)為實(shí)數(shù) ,(ba)c ,那么的值為()A. B.C. D.答案A解析ba(1,0)(1,2)(1 ,2) ,又c(3,4) ,且(ba)c ,所以(ba)·c0 ,即3(1)2×43380 ,解得.14.(2019·全國(guó))ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角

8、形 ,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn) ,那么·()的最小值是()A.2 B.C. D.1答案B解析方法一(解析法)建立坐標(biāo)系如圖所示 ,那么A ,B ,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0 ,) ,B(1 ,0) ,C(1,0).圖設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x ,y) ,那么P(x ,y) ,(1x ,y) ,(1x ,y) ,·()(x ,y)·(2x ,2y)2(x2y2y)22×.當(dāng)且僅當(dāng)x0 ,y時(shí) ,·()取得最小值 ,最小值為.應(yīng)選B.方法二(幾何法)如圖所示 ,2(D為BC的中點(diǎn)) ,那么·()2·.圖要使·最小 ,那么與方向相反

9、,即點(diǎn)P在線段AD上 ,那么(2·)min2| ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|的最大值.又當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí) ,|2× ,|22 ,·()min(2·)min2×.應(yīng)選B.15.(2019·全國(guó))向量 , ,那么ABC等于()A.30° B.45° C.60° D.120°答案A解析|1 ,|1 ,cosABC.又0°ABC180° ,ABC30°.16.在平面內(nèi) ,···6 ,動(dòng)點(diǎn)P ,M滿(mǎn)足|2 , ,那么|2的最大值是_.答案16解析由易得A

10、BC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2.設(shè)O是ABC的中心 ,那么|2.以O(shè)為原點(diǎn) ,直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系 ,如下圖 ,那么A(2,0) ,B(1 ,) ,C(1 ,).設(shè)P(x ,y) ,由|2 ,得(x2)2y24. ,M , ,|2 ,它表示圓(x2)2y24上的點(diǎn)P(x ,y)與點(diǎn)D(1 ,3)的距離的平方的 ,|max228 ,|16.1.(2019·全國(guó))設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足R ,那么zR；p2：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2R ,那么zR；p3：假設(shè)復(fù)數(shù)z1 ,z2滿(mǎn)足z1z2R ,那么z12；p4：假設(shè)復(fù)數(shù)zR ,那么R.其中的真命題為()A.p1 ,p3 B.

11、p1 ,p4 C.p2 ,p3 D.p2 ,p4答案B解析設(shè)zabi(a ,bR) ,z1a1b1i(a1 ,b1R) ,z2a2b2i(a2 ,b2R).對(duì)于p1 ,假設(shè)R ,即R ,那么b0 ,即zabiaR ,所以p1為真命題；對(duì)于p2 ,假設(shè)z2R ,即(abi)2a22abib2R ,那么ab0.當(dāng)a0 ,b0時(shí) ,zabibiR ,所以p2為假命題；對(duì)于p3 ,假設(shè)z1z2R ,即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR ,那么a1b2a2b10.而z12 ,即a1b1ia2b2ia1a2 ,b1b2.因?yàn)閍1b2a2b10D/a1a2 ,b1b2

12、,所以p3為假命題；對(duì)于p4 ,假設(shè)zR ,即abiR ,那么b0abiaR ,所以p4為真命題.應(yīng)選B.2.在ABC中 ,有如下命題 ,其中正確的選項(xiàng)是_.(填序號(hào))；0；假設(shè)()·()0 ,那么ABC為等腰三角形；假設(shè)·>0 ,那么ABC為銳角三角形.答案解析在ABC中 , ,錯(cuò)誤；假設(shè)·>0 ,那么B是鈍角 ,ABC是鈍角三角形 ,錯(cuò)誤.3.向量a(1,2) ,b(1,1) ,且a與ab的夾角為銳角 ,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_.答案解析ab(1 ,2) ,由a·(ab)>0 ,可得>.又a與ab不共線 ,0.故>且0.解

13、題秘籍(1)復(fù)數(shù)的概念是考查的重點(diǎn) ,虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準(zhǔn)確.(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算中除法運(yùn)算是高考的熱點(diǎn) ,運(yùn)算時(shí)要分母實(shí)數(shù)化(分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)) ,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件在復(fù)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到.(3)注意向量夾角的定義和范圍.在ABC中 ,和的夾角為B；向量a ,b的夾角為銳角要和a·b>0區(qū)別開(kāi)來(lái)(不要無(wú)視向量共線情況 ,兩向量夾角為鈍角類(lèi)似處理).1.設(shè)i是虛數(shù)單位 ,那么復(fù)數(shù)i3等于()A.i B.3iC.i D.3i答案C解析i3ii2ii.應(yīng)選C.2.bi(a ,bR) ,那么ab等于()A.1 B.1C.2 D.2答案B解析方法一由可得a2i(bi)i ,

14、即a2ibi1.由復(fù)數(shù)相等可得所以ab1.方法二2aibi ,由復(fù)數(shù)相等可得解得所以ab1.3.設(shè)i是虛數(shù)單位 ,那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析1i ,由復(fù)數(shù)的幾何意義知 ,1i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,1) ,該點(diǎn)位于第二象限 ,應(yīng)選B.4.(2019·安慶模擬)在ABC中 ,點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn) , M是線段AD的中點(diǎn) ,假設(shè)存在實(shí)數(shù)和 ,使得 ,那么等于()A. B.C.2 D.2答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上 ,所以存在tR ,使得tt.因?yàn)镸是線段AD的中點(diǎn) ,所以()(t1)t.又 ,所以(t1) ,t

15、,所以.5.“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限是“a0的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案D解析由題意得za3i ,假設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 ,那么a<0 ,應(yīng)選D.6.(2019·通州期末)ABC的外接圓的圓心為O ,半徑為1 ,假設(shè)0 ,且| ,那么·等于()A. B.C.3 D.2答案C解析0 , ,故點(diǎn)O是BC的中點(diǎn) ,且ABC為直角三角形 ,又ABC的外接圓的半徑為1 ,| ,BC2 ,AB1 ,CA ,BCA30° ,·|·cos 30°×2&#

16、215;3.7.a>0 ,2 ,那么a等于()A.2 B. C. D.1答案B解析2 ,即a23.又a>0 ,a.8.(2019·梧州模擬)在ABC中 ,AB2 ,AC3 ,BC ,假設(shè)向量m滿(mǎn)足|m2|3 ,那么|m|的最大值與最小值的和為()A.7 B.8C.9 D.10答案D解析由AB2 ,AC3 ,BC ,得BC2AB2AC2 ,即A為直角.以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,AB所在直線為x軸 ,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略) ,那么A(0,0) ,B(2,0) ,C(0,3) ,設(shè)m的終點(diǎn)坐標(biāo)為(x ,y) ,|m2|3 ,(x4)2(y3)29 ,故|m|的最大值與最小值分別為圓(x4)2(y3)29上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值和最小值 ,故最大值為538 ,最小值為532 ,即最大值與最小值之和為10 ,應(yīng)選D.9.z134i ,z2ti ,且z1·2是實(shí)數(shù) ,那么實(shí)數(shù)t_.答案解析z2ti ,2ti ,z1·2(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i.又z1·2是實(shí)數(shù) ,4t30 ,即t.10.假設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn) ,且滿(mǎn)足53 ,那么ABM與ABC的面積之比為_(kāi).答案解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D ,由53 ,得3322 ,即32.故C ,M ,D三點(diǎn)共線 ,如下圖 , ,也就是AB