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1、3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的不等式及綜合問題2了解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理貝努利不等式定理閱讀教材P38P39“練習(xí)”以上部分，完成下列問題定理對(duì)任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有(1x)n1nx.在貝努利不等式中當(dāng)x0時(shí)，n為大于1的自然數(shù)，不等式形式將有何變化？【解】當(dāng)x0時(shí)，不等式將變成等式，即(1x)n1nx. 質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型貝努利不等式的簡單應(yīng)用設(shè)ba0，nN，證明：(ba)1.【精彩點(diǎn)撥】由

2、ba0，令1x(x0)，利用貝努利不等式證明【自主解答】由ba0，知1，令1x(x0)，則x1，由貝努利不等式(1x)n1nx，(1x)n1nx1n，故(ba)1.利用1x代換，為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.再練一題1試證明1與(nN)【證明】由nN，n12.由貝努利不等式，得(1)11.(2)由(1)得1，故.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式試證明：2n2n2(nN)【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，左邊右邊；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí)，不

3、等式成立當(dāng)nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，則k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)(1)(2)知，原不等式對(duì)于任何nN都成立通過本例可知，在證明nk1時(shí)命題成立的過程中，針對(duì)目標(biāo)k22k1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1，2，3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo).再練一題2已知Sn1(n1，nN)，求證：S2n1(n2，nN). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：9491003

4、9】【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，S2211，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即S2k11.當(dāng)nk1時(shí)，S2k11111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)(2)知，對(duì)nN，n2，S2n1都成立.探究性問題設(shè)f(n)1，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，.(1)你能得到怎樣的結(jié)論？并證明；(2)是否存在一個(gè)正數(shù)T，使對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有f(n).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f(211)f(1)1，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)不等式成立，即f(2k1)，則f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)知，對(duì)任何nN原不等式均成立(2)

5、對(duì)任意給定的正數(shù)T，設(shè)它的整數(shù)部分為T，記mT1，則mT.由(1)知，f(22m1)m，f(22m1)T，這說明，對(duì)任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n(如可取假設(shè)中n為2m)，使得f(n)T，不存在正數(shù)T，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，總有f(n)對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論【解】當(dāng)n1時(shí)，則，a.(1)n1時(shí)，已證(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，.，0，也成立由(1)，(2)可知，對(duì)一切nN，都有，a的最大值為25.構(gòu)建體系1用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2(n5，nN)成立時(shí)第二步歸納假設(shè)的正確寫法是()A假設(shè)nk時(shí)命題成立B假設(shè)nk(kN)時(shí)命題成立C假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立D假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立【解析】由題意知n5，nN，應(yīng)假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1f(n)(n2，nN)的過程，由nk到nk1時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng)Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng)D2k項(xiàng)【解析】1.共增加2k項(xiàng)【答案】D3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，.n7，n取8，選B.【答案】B4用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí)，第一步即證明不等式_成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910040】【解析】因?yàn)閚1，所以第一步n2，即證明12成立【答案】125證明：12(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，不等式成立(2)