點共線、線共點的一般證明方法及梅涅勞斯定理、塞瓦定理的應(yīng)用答案

1、平面幾何培訓(xùn)專題-點共線，線共點問題1. 點共線的證明點共線的通常證明方法是：通過鄰補角關(guān)系證明三點共線；證明兩點的連線必過第三點；證明三點組成的三角形面積為零等。n(n4)點共線可轉(zhuǎn)化為三點共線。例1 如圖，設(shè)線段AB的中點為C，以AC和CB為對角線作平行四邊形AECD，BFCG。又作平行四邊形CFHD，CGKE。求證：H，C，K三點共線。例2 如圖所示，菱形ABCD中，A=120°，O為ABC外接圓，M為其上一點，連接MC交AB于E，AM交CB延長線于F。求證：D，E，F(xiàn)三點共線。例3 四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其邊AB與DC的延長線交于點P，AD與BC的延長線交于點Q。由Q作該圓

2、的兩條切線QE和QF，切點分別為E，F(xiàn)。求證：P，E，F(xiàn)三點共線。例4 以圓O外一點P，引圓的兩條切線PA，PB，A，B為切點。割線PCD交圓O于C，D。又由B作CD的平行線交圓O于E。若F為CD中點，求證：A，F(xiàn)，E三點共線。2. 線共點的證明證明線共點可用有關(guān)定理(如三角形的3條高線交于一點)，或證明第3條直線通過另外兩條直線的交點，也可轉(zhuǎn)化成點共線的問題給予證明。例5 以ABC的兩邊AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。ABC的高為AH。求證：AH，BF，CD交于一點。例6 設(shè)P為ABC內(nèi)一點，APBACB=APCABC。又設(shè)D，E分別是APB及APC的內(nèi)心。證明：AP，BD，CE交

3、于一點。例7 O1與O2外切于P點，QR為兩圓的公切線，其中Q，R分別為O1，O2上的切點，過Q且垂直于QO2的直線與過R且垂直于RO1的直線交于點I，IN垂直于O1O2，垂足為N，IN與QR交于點M。證明：PM，RO1，QO2三條直線交于一點。 3. 塞瓦定理、梅涅勞斯定理及其應(yīng)用定理1 (塞瓦(Ceva)定理):設(shè)P，Q，R分別是ABC的BC，CA，AB邊上的點。若AP，BQ，CR相交于一點M，則。證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有, , .以上三式相乘，得.定理2 (定理1的逆定理): 設(shè)P，Q，R分別是ABC的BC，CA，AB上的點。若，則AP，BQ，CR交于一點。證 如圖，設(shè)AP與BQ

4、交于M，連CM，交AB于R。由定理1有. 而，所以.于是R與R重合，故AP，BQ，CR交于一點。定理3 (梅涅勞斯(Menelaus)定理): 一條不經(jīng)過ABC任一頂點的直線和三角形三邊BC，CA，AB(或它們的延長線)分別交于P，Q，R，則證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有, , .將以上三式相乘，得.定理4 (定理3的逆定理): 設(shè)P，Q，R分別是ABC的三邊BC，CA，AB或它們延長線上的3點。若，則P，Q，R三點共線。定理4與定理2的證明方法類似。例8 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GAC=EAC。證 如圖

5、，連接BD交AC于H，過點C作AB的平行線交AG的延長線于I，過點C作AD的平行線交AE的延長線于J。對BCD用塞瓦定理，可得 因為AH是BAD的角平分線，由角平分線定理知。代入式得 因為CIAB，CJAD，則，。代入式得 .從而CI=CJ。又由于 ACI=180°BAC=180°DAC=ACJ，所以ACIACJ，故IAC=JAC，即GAC=EAC.例9 ABCD是一個平行四邊形，E是AB上的一點，F(xiàn)為CD上的一點。AF交ED于G，EC交FB于H。連接線段GH并延長交AD于L，交BC于M。求證：DL=BM.例10 在直線l的一側(cè)畫一個半圓T，C，D是T上的兩點，T上過C和D

6、的切線分別交l于B和A，半圓的圓心在線段BA上，E是線段AC和BD的交點，F(xiàn)是l上的點，EF垂直l。求證：EF平分CFD。例11 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB，DC延長線交于E，AD、BC延長線交于F，P為圓上任意一點，PE，PF分別交圓于R，S. 若對角線AC與BD相交于T. 求證：R，T，S三點共線。 先證兩個引理。引理1:A1B1C1D1E1F1為圓內(nèi)接六邊形，若A1D1，B1E1，C1F1交于一點，則有.如圖，設(shè)A1D1，B1E1，C1F1交于點O，根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)易知 OA1B1OE1D1，OB1C1OF1E1，OC1D1OA1F1，從而有， ， .將上面三式相乘即得，引

7、理2：圓內(nèi)接六邊形A1B1C1D1E1F1，若滿足則其三條對角線A1D1，B1E1，C1F1交于一點。該引理與定理2的證明方法類似，留給讀者。例11之證明如圖，連接PD，AS，RC，BR，AP，SD.由EBREPA，F(xiàn)DSFPA，知,.兩式相乘，得. 又由ECREPD，F(xiàn)PDFAS，知，. 兩式相乘，得 由，得. 故. 對EAD應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 由，得.由引理2知BD，RS，AC交于一點，所以R，T，S三點共線。練 習(xí)A組1. 由矩形ABCD的外接圓上任意一點M向它的兩對邊引垂線MQ和MP，向另兩邊延長線引垂線MR，MT。證明：PR與QT垂直，且它們的交點在矩形的一條對角線上。2. 在AB

8、C的BC邊上任取一點P，作PDAC，PEAB，PD，PE和以AB，AC為直徑而在三角形外側(cè)所作的半圓的交點分別為D，E。求證：D，A，E三點共線。3. 一個圓和等腰三角形ABC的兩腰相切，切點是D，E，又和ABC的外接圓相切于F。求證：ABC的內(nèi)心G和D，E在一條直線上。4. 設(shè)四邊形ABCD為等腰梯形，把ABC繞點C旋轉(zhuǎn)某一角度變成ABC。證明：線段AD, BC和BC的中點在一條直線上。5. 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD相交于P。設(shè)三角形ABP，BCP，CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1，O2，O3，O4。求證：OP，O1O3，O2O4三直線交于一點。6. 求證：過圓內(nèi)接四邊

9、形各邊的中點向?qū)吽鞯?條垂線交于一點。7. ABC為銳角三角形，AH為BC邊上的高，以AH為直徑的圓分別交AB，AC于M，N；M，N與A不同。過A作直線lA垂直于MN。類似地作出直線lB與lC。證明：直線lA，lB，lC共點。8. 以ABC的邊BC，CA，AB向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的邊BC，CA，AB的對邊的中點。求證：直線AA1，BB1，CC1相交于一點。9. 過ABC的三邊中點D，E，F(xiàn)向內(nèi)切圓引切線，設(shè)所引的切線分別與EF，F(xiàn)D，DE交于I，L，M。求證：I，L，M在一條直線上。B組10. 設(shè)A1，B1，C1是直線l1上的任意三點，A2，B2，C2是另一條直線l2上的任意三點，A1B2和B1A2交于L，A1C2和A2C1交于M，B1C2和B2C1交于N。求證：L，M，N三點共線。