物理學(xué)第三版(劉克哲 張承琚)課后習(xí)題答案第十章

1、物理學(xué)10章習(xí)題解答10-3 兩個相同的小球質(zhì)量都是m，并帶有等量同號電荷q，各用長為l的絲線懸掛于同一點。由于電荷的斥力作用，使小球處于圖10-9所示的位置。如果q角很小，試證明兩個小球的間距x可近似地表示為圖10-9.解 小球在三個力的共同作用下達(dá)到平衡，這三個力分別是重力mg、繩子的張力t和庫侖力f。于是可以列出下面的方程式,(1),(2)(3)因為q角很小，所以, .利用這個近似關(guān)系可以得到,(4).(5)將式(5)代入式(4)，得,由上式可以解得.得證。10-4 在上題中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，問每個小球所帶的電量q為多大？解 在

2、上題的結(jié)果中，將q解出，再將已知數(shù)據(jù)代入，可得.10-5 氫原子由一個質(zhì)子和一個電子組成。根據(jù)經(jīng)典模型，在正常狀態(tài)下，電子繞核作圓周運動，軌道半徑是r0 = 5.2910-11m。質(zhì)子的質(zhì)量m = 1.6710-27kg，電子的質(zhì)量m = 9.1110-31kg，它們的電量為 e =1.6010-19c。(1)求電子所受的庫侖力；(2)電子所受庫侖力是質(zhì)子對它的萬有引力的多少倍？(3)求電子繞核運動的速率。解 (1)電子與質(zhì)子之間的庫侖力為.(2)電子與質(zhì)子之間的萬有引力為.所以.(3)質(zhì)子對電子的高斯引力提供了電子作圓周運動的向心力，所以,從上式解出電子繞核運動的速率，為.10-6 邊長為a

3、的立方體，每一個頂角上放一個電荷q。圖10-10(1)證明任一頂角上的電荷所受合力的大小為. (2) f的方向如何？解 立方體每個頂角上放一個電荷q，由于對稱性，每個電荷的受力情況均相同。對于任一頂角上的電荷，例如b角上的qb，它所受到的力 、 和 大小也是相等的，即.首先讓我們來計算 的大小。由圖10-10可見， 、 和 對 的作用力不產(chǎn)生x方向的分量；對 的作用力f1的大小為,f1的方向與x軸的夾角為45。對 的作用力f2的大小為,f2的方向與x軸的夾角為0。對 的作用力f3的大小為,f3的方向與x軸的夾角為45。對 的作用力f4的大小為,f4的方向與x軸的夾角為a， 。于是.所受合力的大

4、小為.(2) f的方向：f與x軸、y軸和z軸的夾角分別為a、b和g，并且,.10-7 計算一個直徑為1.56 cm的銅球所包含的正電荷電量。解 根據(jù)銅的密度可以算的銅球的質(zhì)量.銅球的摩爾數(shù)為.該銅球所包含的原子個數(shù)為.每個銅原子中包含了29個質(zhì)子，而每個質(zhì)子的電量為1.60210-19 c，所以銅球所帶的正電荷為.10-8 一個帶正電的小球用長絲線懸掛著。如果要測量與該電荷處于同一水平面內(nèi)某點的電場強度e，我們就把一個帶正電的試探電荷q0 引入該點，測定f/q0。問f/q0是小于、等于還是大于該點的電場強度e？解 這樣測得的f / q0是小于該點的電場強度e的。因為正試探電荷使帶正電的小球向遠(yuǎn)

5、離試探電荷的方向移動， q0受力f減小了。10-9 根據(jù)點電荷的電場強度公式,當(dāng)所考查的點到該點電荷的距離r接近零時，則電場強度趨于無限大，這顯然是沒有意義的。對此應(yīng)作何解釋？解 當(dāng)r 0時，帶電體q就不能再視為點電荷了，只適用于場源為點電荷的場強公式不再適用。這時只能如實地將該電荷視為具有一定電荷體密度的帶電體。10-10 離點電荷50 cm處的電場強度的大小為2.0 nc-1 。求此點電荷的電量。解 由于,所以有.10-11 有兩個點電荷，電量分別為5.010-7c和2.810-8c，相距15 cm。求：(1)一個電荷在另一個電荷處產(chǎn)生的電場強度；(2)作用在每個電荷上的力。圖10-11解

6、 已知 = 5.010-7c、 = 2.810-8c，它們相距r = 15 cm ，如圖10-11所示。(1) 在點b產(chǎn)生的電場強度的大小為,方向沿從a到b的延長線方向。在點a產(chǎn)生的電場強度的大小為,方向沿從b到a的延長線方向。(2) 對 的作用力的大小為,方向沿從b到a的延長線方向。對 的作用力的大小為.方向沿從a到b的延長線方向。10-12 求由相距l(xiāng)的 q電荷所組成的電偶極子，在下面的兩個特殊空間內(nèi)產(chǎn)生的電場強度：(1)軸的延長線上距軸心為r處，并且r l；圖10-12(2)軸的中垂面上距軸心為r處，并且r l。解 (1)在軸的延長線上任取一點p，如圖10-12所示，該點距軸心的距離為r

7、。p點的電場強度為.在r l的條件下，上式可以簡化為圖10-13 .(1)令,(2)這就是電偶極子的電矩。這樣，點p的電場強度可以表示為.(3)(2)在軸的中垂面上任取一點q，如圖10-13所示，該點距軸心的距離為r。q點的電場強度為也引入電偶極子電矩，將點q的電場強度的大小和方向同時表示出來：.10-13 有一均勻帶電的細(xì)棒，長度為l，所帶總電量為q。求：(1)細(xì)棒延長線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且al；(2)細(xì)棒中垂線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且al。解 圖10-14(1)以棒中心為坐標(biāo)原點建立如圖10-14所示的坐標(biāo)系。在x軸上到o點距離為a處取一點p，在x處取棒元d

8、x，它所帶電荷元為ldx ，該棒元到點p的距離為a- x，它在p點產(chǎn)生的電場強度為.整個帶電細(xì)棒在p點產(chǎn)生的電場強度為圖10-15,方向沿x軸方向。(2)坐標(biāo)系如圖10-15所示。在細(xì)棒中垂線(即y軸)上到o點距離為a處取一點p，由于對稱性，整個細(xì)棒在p點產(chǎn)生的電場強度只具有y分量ey。所以只需計算ey就夠了。仍然在x處取棒元dx，它所帶電荷元為ldx，它在p點產(chǎn)生電場強度的y分量為.整個帶電細(xì)棒在p點產(chǎn)生的電場強度為,方向沿x軸方向。圖10-1610-14 一個半徑為r的圓環(huán)均勻帶電，線電荷密度為l。求過環(huán)心并垂直于環(huán)面的軸線上與環(huán)心相距a的一點的電場強度。解以環(huán)心為坐標(biāo)原點，建立如圖10-

9、16所示的坐標(biāo)系。在x軸上取一點p，p點到盤心的距離為a。在環(huán)上取元段dl，元段所帶電量為dq = l dl，在p點產(chǎn)生的電場強度的大小為.由于對稱性，整個環(huán)在p點產(chǎn)生的電場強度只具有x分量ex。所以只需計算ex就夠了。所以.10-15 一個半徑為r的圓盤均勻帶電，面電荷密度為s。求過盤心并垂直于盤面的軸線上與盤心相距a的一點的電場強度。圖10-17解 取盤心為坐標(biāo)原點建立如圖10-17所示的坐標(biāo)系。在x軸上取一點p，p點到盤心的距離為a。為計算整個圓盤在p點產(chǎn)生的電場強度，可先在圓盤上取一寬度為dr的圓環(huán)，該圓環(huán)在p點產(chǎn)生的電場強度，可以套用上題的結(jié)果，即,的方向沿x軸方向。整個圓盤在p點產(chǎn)

10、生的電場強度，可對上式積分求得.圖10-1810-16 一個半徑為R的半球面均勻帶電，面電荷密度為s。求球心的電場強度。解 以球心o為坐標(biāo)原點，建立如圖10-18所示的坐標(biāo)系。在球面上取寬度為dl的圓環(huán)，圓環(huán)的半徑為r。顯然,圓環(huán)所帶的電量為.根據(jù)題10-14的結(jié)果，該圓環(huán)在球心產(chǎn)生的電場強度為,方向沿x軸的反方向。由圖中可見， , 將這些關(guān)系代入上式，得.所以,e的方向沿x軸的反方向。10-19 如果把電場中的所有電荷分為兩類，一類是處于高斯面s內(nèi)的電荷，其量用q表示，它們共同在高斯面上產(chǎn)生的電場強度為e，另一類是處于高斯面s外的電荷，它們共同在高斯面上產(chǎn)生的電場強度為e ，顯然高斯面上任一

11、點的電場強度e = e + e。試證明：(1) ；(2) 。解 高斯面的電通量可以表示為.顯然，上式中的第一項是高斯面內(nèi)部電荷對高斯面電通量的貢獻(xiàn)，第二項是高斯面外部電荷對高斯面電通量的貢獻(xiàn)。高斯定理表述為“通過任意閉合曲面s的電通量，等于該閉合曲面所包圍的電量除以e0，而與s以外的電荷無關(guān)。”可見，高斯面s以外的電荷對高斯面的電通量無貢獻(xiàn)。這句話在數(shù)學(xué)上應(yīng)表示為. (1)所以，關(guān)系式 的成立是高斯定理的直接結(jié)果。因為,于是可以把高斯定理寫為.將式(1)代入上式，即得. (2)圖10-1910-20 一個半徑為r的球面均勻帶電，面電荷密度為s。求球面內(nèi)、外任意一點的電場強度。解 由題意可知，電

12、場分布也具有球?qū)ΨQ性，可以用高斯定理求解。在球內(nèi)任取一點，到球心的距離為r1，以r1為半徑作帶電球面的同心球面s1，如圖10-19所示，并在該球面上運用高斯定理，得,由此解得球面內(nèi)部的電場強度為.在球外任取一點，到球心的距離為r2，以r2為半徑作帶電球面的同心球面s2，如圖10-19所示，并在該球面上運用高斯定理，得,即.由此解得,e2的方向沿徑向向外。10-21 一個半徑為R的無限長圓柱體均勻帶電，體電荷密度為r。求圓柱體內(nèi)、外任意一點的電場強度。圖10-20解 顯然，電場的分布具有軸對稱性，圓柱體內(nèi)、外的電場強度呈輻射狀、沿徑向向外，可以用高斯定理求解。在圓柱體內(nèi)部取半徑為r1、長度為l的

13、同軸柱面s1(見圖10-20)作為高斯面并運用高斯定理.上式左邊的積分實際上包含了三項，即對左底面、右底面和側(cè)面的積分，前兩項積分由于電場強度與面元相垂直而等于零，只剩下對側(cè)面的積分，所以上式可化為,于是得,方向沿徑向向外。用同樣的方法，在圓柱體外部作半徑為r2、長度為l的同軸柱面s2，如圖10-20所示。在s2上運用高斯定理，得.根據(jù)相同的情況，上面的積分可以化為,由上式求得,方向沿徑向向外。10-22 兩個帶有等量異號電荷的平行平板，面電荷密度為 s，兩板相距d。當(dāng)d比平板自身線度小得多時，可以認(rèn)為兩平行板之間的電場是勻強電場，并且電荷是均勻分布在兩板相對的平面上。(1)求兩板之間的電場強

14、度；(2)當(dāng)一個電子處于負(fù)電板面上從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，經(jīng)過1.510-8 s的時間撞擊在對面的正電板上，若d = 2.0 cm，求電子撞擊正電板的速率。解 圖10-21(1)在題目所說情況下，帶等量異號電荷的兩平行板構(gòu)成了一個電容器，并且電場都集中在兩板之間的間隙中。作底面積為ds的柱狀高斯面，使下底面處于兩板間隙之中，而上底面處于兩板間隙之外，并且與板面相平行，如圖10-21所示。在此高斯面上運用高斯定理，得,由此解得兩板間隙中的電場強度為.(2)根據(jù)題意可以列出電子的運動學(xué)方程,.兩式聯(lián)立可以解得.10-24 一個半徑為r的球體均勻帶電，電量為q，求空間各點的電勢。解 先由高斯定理求出電場強度

15、的分布，再由電勢的定義式求電勢的分布。在球內(nèi)： ，根據(jù)高斯定理，可列出下式,解得,方向沿徑向向外。在球外： ，根據(jù)高斯定理，可得,解得,方向沿徑向向外。球內(nèi)任意一點的電勢：, ().球外任意一點的電勢：, ().10-25 點電荷+q和-3q相距d = 1.0 m，求在它們的連線上電勢為零和電場強度為零的位置。圖10-22解 (1)電勢為零的點：這點可能處于+q的右側(cè)，也可能處于+q的左側(cè)，先假設(shè)在+q 的右側(cè)x1處的p1點，如圖10-22所表示的那樣可列出下面的方程式.從中解得.在+q左側(cè)x2處的p2點若也符合電勢為零的要求，則有.解得.(2)電場強度為零的點：由于電場強度是矢量，電場強度為

16、零的點只能在 +q的左側(cè)，并設(shè)它距離+q為x，于是有.解得.圖10-2310-26 兩個點電荷q1 = +4010-9c和q2 = -7010-9c，相距10 cm。設(shè)點a是它們連線的中點，點b的位置離q1 為8.0 cm，離q2 為6.0 cm。求：(1)點a的電勢；(2)點b的電勢；(3)將電量為2510-9c的點電荷由點b移到點a所需要作的功。解 根據(jù)題意，畫出圖10-23。(1)點a的電勢：.(2)點b的電勢：.(3)將電荷q從點b移到點a，電場力所作的功為,電場力所作的功為負(fù)值，表示外力克服電場力而作功。圖10-2410-27 一個半徑為r的圓盤均勻帶電，面電荷密度為s。求過盤心并垂

17、直于盤面的軸線上與盤心相距a的一點的電勢，再由電勢求該點的電場強度。解 以盤心為坐標(biāo)原點、以過盤心并垂直于盤面的軸線為x軸，建立如圖10-24所示的坐標(biāo)系。在x軸上任取一點p，點p的坐標(biāo)為x。在盤上取半徑為r、寬為dr的同心圓環(huán)，該圓環(huán)所帶電荷在點p所產(chǎn)生的電勢可以表示為.整個圓盤在點p產(chǎn)生的電勢為.由電勢求電場強度.圖10-2510-28 一個半徑為r的球面均勻帶電，球面所帶總電量為q。求空間任意一點的電勢，并由電勢求電場強度。解 在空間任取一點p，與球心相距r。在球面上取薄圓環(huán)，如圖10-25中陰影所示，該圓環(huán)所帶電量為.該圓環(huán)在點p產(chǎn)生的電勢為. (1)式中有兩個變量，a和q，它們之間有

18、下面的關(guān)系：,微分得. (2) 將上式代入式(1)，得.如果點p處于球外， ，點p的電勢為. (3)其中q = 4pr2s .如果點p處于球內(nèi)， ，點p的電勢為. (4)由電勢求電場強度：在球外，, ,方向沿徑向向外。在球內(nèi)， ：.圖10-2610-30 如圖10-26所示，金屬球a和金屬球殼b同心放置，它們原先都不帶電。設(shè)球a的半徑為r0 ，球殼b的內(nèi)、外半徑分別為r1 和r2。求在下列情況下a、b的電勢差：(1)使b帶+q；(2)使a帶+q；(3)使a帶+q，使b帶-q；(4)使a帶-q，將b的外表面接地。解 (1)使b帶+q：這時a和b等電勢，所以.(2)使a帶+q：這時b的內(nèi)表面帶上了

19、-q，外表面帶上了+q，a、b之間的空間的電場為,方向沿徑向由內(nèi)向外。所以.(3)使a帶+q，使b帶-q：這時b的內(nèi)表面帶-q，外表面不再帶電，a、b之間的空間的電場不變，所以電勢差也不變，即與(3)的結(jié)果相同。(4)使a帶-q，將b的外表面接地：這時b的內(nèi)表面感應(yīng)了+q，外表面不帶電，a、b之間的空間的電場為,方向沿徑向由外向內(nèi)。所以.10-31 兩平行的金屬平板a和b，相距d = 5.0 mm，兩板面積都是s =150 cm2 ，帶有等量異號電荷q = 2.6610-8 c，正極板a接地，如圖10-27所示。忽略邊緣效應(yīng)，問：圖10-27(1) b板的電勢為多大？(2)在a、b之間且距a板

20、1.0 mm處的電勢為多大？解 (1)可以證明兩板之間的電場強度為.于是可以求得b板的電勢，為.(2)根據(jù)題意，a板接地，電勢為零，兩板之間的任何一點的電勢都為負(fù)值。所求之點處于a、b之間、且到a板的離距為 處，所以該點的電勢為.圖10-2810-32 三塊相互平行的金屬平板a、b和c，面積都是200 cm2 ，a、b相距4.0 mm，a、c相距2.0 mm，b、c兩板都接地，如圖10-28所示。若使a板帶正電，電量為3.010-7c，略去邊緣效應(yīng)，求：(1) b、c兩板上感應(yīng)電荷的電量；(2) a板的電勢。解 (1) a板帶電后，電荷將分布在兩個板面上，其面電荷密度分別為s1和s2。由于靜電

21、感應(yīng)，b板與a板相對的面上面電荷密度為 -s1，c板與a 板相對的面上面電荷密度為-s2。c板和b板都接地，電勢為零。所以,即. (1)式中e1和d1是a、b之間的電場強度和板面間距，e2和d2是a、c之間的電場強度和板面間距。另外. (2)式(1)、(2)兩式聯(lián)立，可以解得,.b板上的電量為,c板上的電量為.(2) a板的電勢.10-33 如圖10-29所示，空氣平板電容器是由兩塊相距0.5 mm的薄金屬片a、b所構(gòu)成。若將此電容器放在一個金屬盒k內(nèi)，金屬盒上、下兩壁分別與a、b都相距0.25 mm，電容器的電容變?yōu)樵瓉淼膸妆叮繄D10-29解 設(shè)原先電容器的電容為c0，放入金屬盒中后，形成了

22、如圖10-30所示的電容器的組合。根據(jù)題意，有.圖10-30ca與cb串聯(lián)的等效電容為.cab與c0并聯(lián)的等效電容c就是放入金屬盒中后的電容：.可見，放入金屬盒中后，電容增大到原來的2倍。10-34 一塊長為l、半徑為r的圓柱形電介質(zhì)，沿軸線方向均勻極化，極化強度為p，求軸線上任意一點由極化電荷產(chǎn)生的電勢。圖10-31解 以圓柱體軸線的中點為坐標(biāo)原點建立如圖10-31所示的坐標(biāo)系，x軸沿軸線向右。根據(jù)公式,圓柱體的右端面(a端面)的極化電荷密度為+s，b端面的極化電荷密度為-s。它們在軸線上任意一點(坐標(biāo)為x)產(chǎn)生的電勢可以套用題10-27的結(jié)果。a面上的極化電荷在該點產(chǎn)生的電勢為.b面上的極

23、化電荷在該點產(chǎn)生的電勢為.該點的電勢應(yīng)為以上兩式的疊加，即.10-35 厚度為2.00 mm的云母片，用作平行板電容器的絕緣介質(zhì)，其相對電容率為2。求當(dāng)電容器充電至電壓為400 v時，云母片表面的極化電荷密度。解 云母片作為平行板電容器的電介質(zhì)，厚度等于電容器極板間距。根據(jù)極板間電壓，可以求得云母片內(nèi)的電場強度：.云母片表面的極化電荷密度為.10-36 平行板電容器兩極板的面積都是s = 3.010-2 m2 ，相距d = 3.0 mm。用電源對電容器充電至電壓u0 = 100 v， 然后將電源斷開?，F(xiàn)將一塊厚度為b = 1.0 mm、相對電容率為er = 2.0的電介質(zhì)，平行地插入電容器中，

24、求：(1)未插入電介質(zhì)時電容器的電容c0 ；(2)電容器極板上所帶的自由電荷q；(3)電容器極板與電介質(zhì)之間的空隙中的電場強度e1 ；(4)電介質(zhì)內(nèi)的電場強度e2 ；(5)兩極板之間的電勢差u；(6)插入電介質(zhì)后電容器的電容c。解 (1)未插入電介質(zhì)時電容器的電容為.(2)電容器極板上所帶的自由電荷為.(3)電容器極板與電介質(zhì)之間的空隙中的電場強度為.(4)電介質(zhì)內(nèi)的電場強度為.(5)兩極板之間的電勢差為.(6)插入電介質(zhì)后電容器的電容為.10-37 半徑為r的均勻電介質(zhì)球，電容率為e，均勻帶電，總電量為q。求：(1)電介質(zhì)球內(nèi)、外電位移的分布；(2)電介質(zhì)球內(nèi)、外電場強度和電勢的分布；(3)

25、電介質(zhì)球內(nèi)極化強度的分布；(4)球體表面和球體內(nèi)部極化電荷的電量。解 電介質(zhì)球體均勻帶電，電荷體密度為.(1)電介質(zhì)球內(nèi)、外電位移的分布球內(nèi)，即 ：,方向沿徑向向外。球外，即 ：,方向沿徑向向外。(2)電介質(zhì)球內(nèi)、外電場強度和電勢的分布電場強度的分布球內(nèi)，即 ：,方向沿徑向向外。球外，即 ：,方向沿徑向向外。電勢的分布球內(nèi)，即 ：.球外，即 ：.(3)電介質(zhì)球內(nèi)極化強度的分布球內(nèi)，即 ：,方向沿徑向向外。在球外p = 0。(4)球體表面和球體內(nèi)部極化電荷的電量球體表面的極化電荷密度為,極化電荷的總量為.因為整個球體的極化電荷的代數(shù)和為零，所以球體內(nèi)部的極化電荷總量為-q。10-38 一個半徑為r、電容