數(shù)學(xué)建模插值方法

1、插值與擬合插值與擬合前言前言 函數(shù)是多種多樣的，在科研與工程實(shí)際中有的函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜而不便于計(jì)算，但又需要計(jì)算多點(diǎn)的函數(shù)值；有的函數(shù)甚至給不出數(shù)學(xué)式子，只能通過實(shí)驗(yàn)和測量得到一些離散數(shù)據(jù)（如某些點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值）。面對(duì)這種情況，很自然的一個(gè)想法就是構(gòu)造某個(gè)簡單的函數(shù)作為要考察的函數(shù)的近似 。 如果要求近似函數(shù)滿足給定的離散數(shù)據(jù)，則稱之為插值函數(shù)。實(shí)用上，我們常取結(jié)構(gòu)相對(duì)比較簡單的代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù),這就是所謂的代數(shù)插值。 設(shè)設(shè) 為給定的節(jié)點(diǎn)，為給定的節(jié)點(diǎn)， ，為相應(yīng)的函數(shù)值，求一個(gè)次數(shù)不超過為相應(yīng)的函數(shù)值，求一個(gè)次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 ，使其滿足使其滿足 ， .這類問題稱為這類

2、問題稱為插值問題插值問題。 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)， 稱稱為為插值函數(shù)插值函數(shù)， 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)01,nx xx)(iixfy ni, 1 , 0n)(xPnni, 1 , 0( )niiP xy一、問題提出一、問題提出01,nx xx( )f x( )nP x插值部分插值部分 定理定理1 設(shè)設(shè) 為給定的彼此互異的為給定的彼此互異的 個(gè)插值個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，則存在唯一的次數(shù)不超過節(jié)點(diǎn)，則存在唯一的次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 ，滿足，滿足條件條件 , .nxxx10,1nn)(xPn( )niiP xyni, 1 , 0二、存在性與唯一性二、存在性與唯一性證明證明: 設(shè)設(shè) , 其中其

3、中 為待定系數(shù)為待定系數(shù).利用插值條件利用插值條件 , ,我們得到一個(gè)線性代數(shù)方程我們得到一個(gè)線性代數(shù)方程組組 , ,其中其中 觀察發(fā)現(xiàn)矩陣觀察發(fā)現(xiàn)矩陣A A是范德蒙矩陣是范德蒙矩陣, ,那么那么, ,由幾代知識(shí)知道矩陣由幾代知識(shí)知道矩陣A A 的行列式的行列式 為為 , ,由定理中條件由定理中條件, ,插值結(jié)點(diǎn)為彼此互異的插值結(jié)點(diǎn)為彼此互異的, , 那么行那么行列式不為零列式不為零. .故由故由CramerCramer法則知線性代數(shù)方程組法則知線性代數(shù)方程組 存在唯一解存在唯一解. . 2012nnnPaa xa xa x012,na a aa( )niiP xyAab0011111nnnn

4、nxxxxAxx0011,nnayayabay0( )()ijj i nDet Axx Aab三、三、Lagrange插值法插值法 011011()()()()( ),0,1,()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xinxxxxxxxx0( )( )nni iiPxy lx（1）Lagrange插值插值多項(xiàng)式可以表示為多項(xiàng)式可以表示為 引入記號(hào)引入記號(hào) , , 易證易證 , , 從而從而LagrangeLagrange插值多項(xiàng)式可表示為插值多項(xiàng)式可表示為 )()()()(1101niiiiiiinxxxxxxxxx)()()(101ninxxxxxxxniinininxxx

5、xyxP011)()()()(（2）插值誤差估計(jì)）插值誤差估計(jì) 定理定理2 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 在在 內(nèi)存在內(nèi)存在,節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) ， 是拉格朗日插值多項(xiàng)是拉格朗日插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意式，則對(duì)任意 , 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) 其中其中 且依賴于且依賴于 .)()(xfn,ba)()1(xfn),(babxxxan10)(xPn,bax)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn),(bax例2.求過點(diǎn)(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項(xiàng)式。解：用4次插值多項(xiàng)式對(duì)5個(gè)點(diǎn)插值 00112233442 04 36 58 410 1,xyx yxyx

6、 yxy0(4)(6)(8)(10)1( )(4)(6)(8)(10)(2 4)(2 6)(2 8)(2 10)384xxxxl xxxxx 1(2)(6)(8)(10)1( )(2)(6)(8)(10)(4 2)(4 6)(4 8)(4 10)96xxxxl xxxxx2(2)(4)(8)(10)1( )(2)(4)(8)(10)(6 2)(6 4)(6 8)(6 10)64xxxxl xxxxx3(2)(4)(6)(10)1( )(2)(4)(6)(10)(8 2)(8 4)(8 6)(8 10)96xxxxl xxxxx4(2)(4)(6)(8)1( )(2)(4)(6)(8)(10 2

7、)(10 4)(10 6)(10 8)384xxxxl xxxxx40 01 12 23 34 4( )( )( )( )( )( )P xy l xy l xy l xy l xy l x13(4)(6)(8)(10)(2)(6)(8)(10)3849654(2)(4)(8)(10)(2)(4)(6)(10)64961(2)(4)(6)(8)384xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是有于是有function yi=lagrcz(x,y,xi)n=length(x);m=length(xi);for s=1:m yi(s)=0; for i=1:n w(i)=1; dw(i)=1; f

8、or j=1:n if (j=i) w(i)=(xi(s)-x(j)*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j)*dw(i); end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); endend23456789100123456缺點(diǎn)缺點(diǎn): 當(dāng)增加或減少插值節(jié)點(diǎn)時(shí)當(dāng)增加或減少插值節(jié)點(diǎn)時(shí),基函數(shù)需要重新基函數(shù)需要重新 構(gòu)造構(gòu)造,不便于實(shí)際的計(jì)算使用不便于實(shí)際的計(jì)算使用 定義定義稱稱 為為 在在 兩點(diǎn)處的兩點(diǎn)處的一階差商一階差商. （1）差商定義差商定義011201202, ,f x xf x xf x x xxx( )() ,ijijijf xf xf x xijxx( )f

9、 x四、四、 Newton插值法插值法,ijx x01112010, ,nnnnf x xxf x xxf x xxxx二階差商二階差商n 階差商階差商(2) Newton插值公式插值公式 由差商定義由差商定義把以上各式由后向前代入把以上各式由后向前代入,可得可得 , xa b 000( )() ,()f xf xf x xxx001011 , ,()f x xf x xf x x xxx010101 , , , , , , ,()nnnnf x xxf x xxf x x xxx x00100101( )( ) , () , ,()()nnnN xf xf x x x xf x xxx xx

10、 x010( )( )( ) , , ,()()nnnnR xf xN xf x x xxx xx x差商表差商表 一階一階差商差商二階差商二階差商三階差商三階差商四階差商四階差商kx0 x1x2x3x4x()kf x0()f x2()f x1()f x3()f x4()f x01,f xx12,f x x23,f xx34,f x x012,f xx x123,f x xx234,f xx x0123,f xx xx1234,f x xx x01234,f x x xx x例2:已知求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項(xiàng)式。解: 1 2 3 4 0 -5 -6 3一階差商二階差商三階差商 1 2

11、 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 1xy( )if xix由上述差商表對(duì)角線上取得的值則牛頓三次插值多項(xiàng)式為 00101201230, ,5, , ,2, , , 1,f xf x xf x x xf x x x x)2)(1(2) 1(50)(xxxxNn) 3)(2)(1(xxx3423xxfunction yi=newtcz(x,y,xi)n=length(x); m=length(xi); nt=zeros(n,n);nt(:,1)=y;for i=2:n for j=i:n nt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1)/(x(j)-x(j-(i-1

12、); endEndfor i=1:n nt(i,i)Endfor i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1 t=t*(xi(i)-x(s); end yi(i)=yi(i)+t*nt(j,j); endend五、五、 Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式給定的是節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值給定的是節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值問題問題：已知：已知iiyxf)(iiyxf)(1 , 0i求求3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ，使得，使得)(3xHiiyxH)(iiyxH)(1 , 0i120101010210101032121)(yxxxxxxxxyxxxxxxxxxH1

13、20101021010)()(yxxxxxxyxxxxxx *多項(xiàng)式插值的問題 前面介紹了構(gòu)造插值公式的方法，并分析了它前面介紹了構(gòu)造插值公式的方法，并分析了它們的余項(xiàng)。在實(shí)際應(yīng)用插值函數(shù)作近似計(jì)算時(shí)，總們的余項(xiàng)。在實(shí)際應(yīng)用插值函數(shù)作近似計(jì)算時(shí)，總希望插值公式余項(xiàng)希望插值公式余項(xiàng) 的絕對(duì)值小一些，即使得的絕對(duì)值小一些，即使得 逼近的精度好。從表達(dá)式看，似乎提高插值多項(xiàng)式逼近的精度好。從表達(dá)式看，似乎提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)便可達(dá)到目的，但實(shí)際上并非如此。的次數(shù)便可達(dá)到目的，但實(shí)際上并非如此。)(xR例如 給定函數(shù) 取其等距節(jié)點(diǎn) ， 構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式為 當(dāng) 時(shí)， 只能在 內(nèi)收斂，而在

14、這個(gè)區(qū)間以外是發(fā)散的。這種畸形現(xiàn)象 通常叫做Runge現(xiàn)象。如下圖所示。3.63x 21,55,1f xxx 201( )1nnijjpxlxxn( )npx), 1 , 0( ,/105ninixi六、六、 分段插值分段插值 所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式化。在每所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式化。在每個(gè)個(gè) 子段上構(gòu)造插值多項(xiàng)式，然后把它們裝配在一，子段上構(gòu)造插值多項(xiàng)式，然后把它們裝配在一，作為整個(gè)區(qū)間作為整個(gè)區(qū)間 上的插值函數(shù)，即稱為分段多項(xiàng)式。如果上的插值函數(shù)，即稱為分段多項(xiàng)式。如果函數(shù)函數(shù) 在每個(gè)子段上都是在每個(gè)子段上都是 次式，則稱為次式，則稱為 次式。次式。1,i

15、ix x, a b kSxkk一般（低次：一般（低次：k=1,2,3）（1）分段線性插值的構(gòu)造（）分段線性插值的構(gòu)造（k=1) 易知易知 在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間 上是一上是一次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式分段線性插值的余項(xiàng)分段線性插值的余項(xiàng)其中其中1 , (0,1,)iix xin2( )( )( )8Mhf xxR x( )xmax( )a x bMfx 11111 iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyx,)(（2） 分段拋物線插值（分段拋物線插值（K=2）（3） 分段三次分段三次 Hermite 插值插值(K=3)（4） 三次樣條插值三次樣條插值 在分段插值中，分段線性插值在節(jié)點(diǎn)上僅

16、連續(xù)而不可在分段插值中，分段線性插值在節(jié)點(diǎn)上僅連續(xù)而不可導(dǎo)，分段三次埃爾米特插值有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，如此光滑導(dǎo)，分段三次埃爾米特插值有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，如此光滑程度常不能滿足物理問題的需要，而引入的樣條函數(shù)則可程度常不能滿足物理問題的需要，而引入的樣條函數(shù)則可以同時(shí)解決這兩個(gè)問題以同時(shí)解決這兩個(gè)問題,使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù)使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù),又又是光滑的函數(shù)。是光滑的函數(shù)。 三次樣條函數(shù)定義三次樣條函數(shù)定義 給定區(qū)間給定區(qū)間 的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分 ，如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足：滿足： ba,bxxxxann110)(xS（1）在每一小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式；）在每一小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式；（2）

17、在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；）在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（3）iiyxS)( 則稱則稱 是是 在該區(qū)間上關(guān)于該劃分的一個(gè)三次在該區(qū)間上關(guān)于該劃分的一個(gè)三次樣條函數(shù)。樣條函數(shù)。)(xs)(xf其中四個(gè)待定系數(shù)為其中四個(gè)待定系數(shù)為 , ,子區(qū)間共有子區(qū)間共有n n個(gè)所以要個(gè)所以要確定確定S(x)S(x)需要需要4n4n個(gè)待定系數(shù)。個(gè)待定系數(shù)。 另一方面另一方面, ,要求分段三次多項(xiàng)式要求分段三次多項(xiàng)式S(x)S(x)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 和和 在整個(gè)插值區(qū)間在整個(gè)插值區(qū)間 a,ba,b 上連續(xù)上連續(xù), ,則要求它們在各個(gè)子區(qū)間的連接則要求它們在各個(gè)子區(qū)間的連接點(diǎn)點(diǎn) 上連續(xù)上連續(xù)，即滿足條件即

18、滿足條件 由樣條函數(shù)的定義可知由樣條函數(shù)的定義可知, ,三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)S(S(x x) )是一個(gè)是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式分段三次多項(xiàng)式, ,要求出要求出S(S(x x),),在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 x xi i, ,x xi+1i+1 上要確定上要確定4 4個(gè)待定參數(shù)個(gè)待定參數(shù), ,若用若用S Si i( (x x) )表示它在第表示它在第i i個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間 x xi i, ,x xi+1i+1 上的表上的表達(dá)式，則達(dá)式，則332210)(xaxaxaaxSiiiii1, 1 , 0ni3210,iiiiaaaa)(xS)(xS 110,nxxx（1 1）插值條件）插值條件

19、 （2 2）連接條件）連接條件 式共給出了式共給出了4n-24n-2個(gè)條件個(gè)條件, ,而待定系數(shù)有而待定系數(shù)有4n4n個(gè)個(gè), ,因此還需要因此還需要2 2個(gè)條個(gè)條件才能確定件才能確定S(x),S(x),通常在區(qū)間端點(diǎn)上通常在區(qū)間端點(diǎn)上 各加一個(gè)各加一個(gè)條件條件, ,稱為邊界條件稱為邊界條件, , 常用邊界條件有三種類型。常用邊界條件有三種類型。)()(iixfxSni, 1 , 0 ) 0() 0(1, 2 , 1) 0() 0() 0() 0( iiiiiixSxSnixSxSxSxSnxbxa,0第一種類型：給定兩端點(diǎn)第一種類型：給定兩端點(diǎn) 的一階導(dǎo)數(shù)值：的一階導(dǎo)數(shù)值： 第二種類型：給定兩

20、端點(diǎn)第二種類型：給定兩端點(diǎn)f(x)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)值：的二階導(dǎo)數(shù)值：作為特例作為特例, , 稱為自然邊界條件。滿足自然邊界稱為自然邊界條件。滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。第三種類型：當(dāng)?shù)谌N類型：當(dāng) 是以為是以為 周期的函數(shù)時(shí)，則要求周期的函數(shù)時(shí)，則要求S(x)S(x)也是周期函數(shù)也是周期函數(shù), ,這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， )()(),()(00nnxfxSxfxS)()(),()(00nnxfxSxfxS 0)()(0 nxSxS0 xxn)()(0nxfxf)()(),()(00nnxSxSx

21、SxS )(xf)(xf這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出件，就能得出4n4n個(gè)方程，可以惟一確定個(gè)方程，可以惟一確定4n4n個(gè)系數(shù)。從而得個(gè)系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)到三次樣條插值函數(shù)S(x)S(x)在各個(gè)子區(qū)間在各個(gè)子區(qū)間 x xi i , x, xi+1i+1 上的表達(dá)上的表達(dá)式式S(S(x xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，這種做法當(dāng)。但是，這種做法當(dāng)n n較大時(shí)，計(jì)算較大時(shí)，計(jì)算工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)造方法

22、。的構(gòu)造方法。 三次樣條插值函數(shù)的求法三次樣條插值函數(shù)的求法設(shè)設(shè)S(x)S(x)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)x xi i處的二階導(dǎo)數(shù)為處的二階導(dǎo)數(shù)為因?yàn)樵谧訁^(qū)間因?yàn)樵谧訁^(qū)間 x xi-1i-1,x,xi i 上上 是三次多項(xiàng)是三次多項(xiàng)式式, ,所以所以 在此小區(qū)間上是在此小區(qū)間上是x x的線性函數(shù)的線性函數(shù), ,且因?yàn)橛镁€性且因?yàn)橛镁€性插值插值, ,可知其表達(dá)式為可知其表達(dá)式為), 1 , 0()(niMxSii )()(xSxSi)(xS iiiiMxSMxS )(,)(11iixxx,11iiixxh1111)( iiiiiiiiixxxxMxxxxMxS記記 ，則有，則有iiiiiiihxxMhxxMx

23、S11)( 其中其中,A,Ai i,B,Bi i為積分常數(shù)為積分常數(shù), ,可利用插值條件可利用插值條件 確定確定, ,即要求即要求A Ai i,B,Bi i滿足滿足并記并記 ，則得，則得)()(6)(6)()(13131iiiiiiiiiiixxBxxAhxxMhxxMxS)()(),()(11iiiixfxSxfxS)(61)(),(61)(21211iiiiiiiiiiiixfhBhMxSxfhAhMxSiiiiyxfyxf)(,)(112211611,611iiiiiiiiiihMyhBhMyhA連續(xù)兩次積分得連續(xù)兩次積分得iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131iii

24、iiiiiiihxxhMyhxxhMy)(6)(612211),2, 1,(1nixxxii由上討論可知由上討論可知, ,只要確定只要確定 這這n+1n+1個(gè)值個(gè)值, , 就可定出就可定出三樣條插值函數(shù)三樣條插值函數(shù)S(xS(x) )。為了求出。為了求出 , ,利用一利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件 ，求導(dǎo)一次求導(dǎo)一次, ,得在區(qū)間得在區(qū)間 x xi-1i-1,x,xi i 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 nMMM,10), 1 ,0(niMi)0()0(iixSxS)(62)(2)()(112121iiiiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS也就

25、是在右端點(diǎn)也就是在右端點(diǎn)x xi i上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS11)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1136在左端點(diǎn)在左端點(diǎn)x xi-1i-1上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS1111)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1163將上式中的將上式中的i-1i-1改為改為i,i,即得在子區(qū)間即得在子區(qū)間 x xi i,x,xi+1i+1 上的表上的表達(dá)式達(dá)式 , ,并由此得并由此得 )(1xSi) 0(1iixS1111163iiiiiiihyyMhMh利用利用 在內(nèi)接點(diǎn)的連續(xù)性在內(nèi)接點(diǎn)的連續(xù)性, ,即即就可得到關(guān)于參數(shù)就可得到關(guān)于參數(shù) 的

26、一個(gè)方程的一個(gè)方程)(xS) 0() 0(1iiiixSxS11,iiiMMMiiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111 11636) 1, 2 , 1(ni上式兩邊同乘以上式兩邊同乘以 , ,即得方程即得方程 16iihhiiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh111 11 111 162iiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfhhghhhhhh,61111111若記若記 則所得方程可簡寫成則所得方程可簡寫成 iiiiiigMMM112)1,2, 1(ni11121232212121101222nnnnnngMMMgMMMgMMM即即 這是

27、一個(gè)含有這是一個(gè)含有n+1n+1個(gè)未知數(shù)、個(gè)未知數(shù)、n-1n-1個(gè)方程的線性方程組個(gè)方程的線性方程組. .要完要完全確定全確定 的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件, ,這兩這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間 a,ba,b 的兩個(gè)的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。邊界條件的種類很多，常見的有端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。邊界條件的種類很多，常見的有以下以下3 3種：種： ), 1 ,0(niMi第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值：第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值： 則可得到包含則可得到包含M Mi i的兩個(gè)線性方程的

28、兩個(gè)線性方程,S(x),S(x)在子區(qū)間在子區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為上的導(dǎo)數(shù)為)()(),()(00nnxfxSxfxS10, xx)(62)(2)()(011101120112101MMhhyyhxxMhxxMxS由條件由條件 得得 000)()(yxfxS)(62011101100MMhhyyhMy)(620101110yhyyhMM即即 同理同理, ,由條件由條件 得得 nnnyxfxS)()()(6211nnnnnnnhyyyhMM即得確定即得確定 的線性方程組的線性方程組 nMMM,10nnnnnnggggMMMM1101101111212212),(6),(6101010nnnnnxxfy

29、hgyxxfhg其中其中第二種邊界條件第二種邊界條件: :即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值: : , ,由于在區(qū)間端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)由于在區(qū)間端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù) ，所以方程中實(shí)際上只包含有，所以方程中實(shí)際上只包含有n-1n-1個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù) ，從而得方程組從而得方程組 nnyxSyxS )(,)(00nnyMyM ,00121,nMMM nnnnnnnnnygggygMMMM112201112211222212222第三種邊界條件第三種邊界條件: :由由 與與 ，可得，可得 和和 )0()0(0 nxSxS) 0() 0(0nxSxSnMM0nnnnngMMM211),(

30、61110111nnnnnnnnnnnxxfxxfhhghhhhhh其中其中得關(guān)于得關(guān)于 的線性方程組。的線性方程組。 nMMM,21nnnnnnnnggggMMMM1211211122112222 利用線性代數(shù)知識(shí)利用線性代數(shù)知識(shí), ,可以證明方程組的系數(shù)矩陣都是非奇可以證明方程組的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有惟一解。異的，因此有惟一解。 用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)，相應(yīng)的

31、導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣條在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。象。因此三次樣條在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。用用MATLABMATLAB作插值計(jì)算作插值計(jì)算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點(diǎn)被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xixi處的插處的插值結(jié)果值結(jié)果nearest ：最鄰近插值：最鄰近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時(shí)：缺省時(shí)： 分段線性插值。分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法

32、都要求x x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不不能夠超過能夠超過x的范圍。的范圍。 例：在例：在1-121-12的的1111小時(shí)內(nèi)，每隔小時(shí)內(nèi)，每隔1 1小時(shí)測量一次小時(shí)測量一次溫度，測得的溫度依次為：溫度，測得的溫度依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。試估計(jì)每隔。試估計(jì)每隔1/101/10小時(shí)的小時(shí)的溫度值。溫度值。x=1:12;y=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;xi=1:0.1:12;yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(x,y,+,xi,yi

33、,r)0246810125101520253035 三次樣條插值的三次樣條插值的Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法，就是如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法，就是采用非扭結(jié)（采用非扭結(jié)（not-a-knot）條件。這個(gè)條件強(qiáng)迫第）條件。這個(gè)條件強(qiáng)迫第1個(gè)和第個(gè)和第2個(gè)三次多項(xiàng)式的三階導(dǎo)數(shù)相等。對(duì)最后一個(gè)和倒數(shù)第個(gè)三次多項(xiàng)式的三階導(dǎo)數(shù)相等。對(duì)最后一個(gè)和倒數(shù)第2個(gè)個(gè)三次多項(xiàng)式也做同樣地處理。三次多項(xiàng)式也做同樣地處理。Matlab中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：y=interp1(x0,y0,x,spline)；y=spline(x0,

34、y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。其中其中x0,y0是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，x是插值點(diǎn)，是插值點(diǎn)，y是插值點(diǎn)的函數(shù)值是插值點(diǎn)的函數(shù)值。對(duì)于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)對(duì)于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)csape，csape的返的返回值是回值是pp形式，要求插值點(diǎn)的函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)形式，要求插值點(diǎn)的函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppval。pp=csape(x0,y0)：使用默認(rèn)的邊界條件，即：使用默認(rèn)的邊界條件，即Lagrange邊邊界條件。界條件。pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的中的conds

35、指定插值的指定插值的邊界條件，其值可為：邊界條件，其值可為：complete 邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在valconds參參數(shù)中給出，若忽略數(shù)中給出，若忽略valconds參數(shù)，則按缺省情況處理。參數(shù)，則按缺省情況處理。not-a-knot 非扭結(jié)條件非扭結(jié)條件periodic 周期條件周期條件second 邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在valconds參數(shù)參數(shù)中給出，若忽略中給出，若忽略valconds參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的缺省值為參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的缺省值為0, 0。variational 設(shè)置邊界的二階導(dǎo)數(shù)值為設(shè)置邊界的二階導(dǎo)數(shù)值為0

36、,0。對(duì)于一些特殊的邊界條件，可以通過對(duì)于一些特殊的邊界條件，可以通過conds的一個(gè)的一個(gè)12矩矩陣來表示，陣來表示，conds元素的取值為元素的取值為0，1，2。conds(i)=j的含義是給定端點(diǎn)的含義是給定端點(diǎn)i的的j 階導(dǎo)數(shù)，即階導(dǎo)數(shù)，即conds的第一的第一個(gè)元素表示左邊界的條件，第二個(gè)元素表示右邊界的條件個(gè)元素表示左邊界的條件，第二個(gè)元素表示右邊界的條件conds=2,1表示左邊界是二階導(dǎo)數(shù)，右邊界是一階導(dǎo)數(shù)，表示左邊界是二階導(dǎo)數(shù)，右邊界是一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的值由對(duì)應(yīng)的值由valconds給出。給出。最小二乘法擬合最小二乘法擬合 已知一批離散數(shù)據(jù)已知一批離散數(shù)據(jù) ( (x xi i,

37、 , y yi i), ), i i=0,1,.,=0,1,.,n n，且，且 x x0 0 x x1 1 x xn n, , 尋找一個(gè)函數(shù)尋找一個(gè)函數(shù) f(x)，使使達(dá)到最小達(dá)到最小. . 這個(gè)過程稱為最小二乘擬合這個(gè)過程稱為最小二乘擬合, , f(x) 稱為擬合函數(shù)稱為擬合函數(shù). . niiiyxf02)(擬合部分?jǐn)M合部分一、線性擬合一、線性擬合 若設(shè)擬合函數(shù)f(x)=b+ax，則有令niiiyaxbba02)(),(, 0)(2, 0)(200niiiiniiixyaxbayaxbb即即.,) 1(002000niiiniiniiniiniiyxaxbxyaxbn這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于

38、a a, , b b的的2 2元線性方程組元線性方程組. . 求解即可得到求解即可得到f f( (x x) )的表達(dá)式的表達(dá)式. .二、多項(xiàng)式擬合二、多項(xiàng)式擬合 有時(shí)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線有時(shí)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線, ,這時(shí)這時(shí)仍用直線擬合顯然是不合適的仍用直線擬合顯然是不合適的, ,可用多項(xiàng)式擬合。對(duì)于給定可用多項(xiàng)式擬合。對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)的一組數(shù)據(jù) 尋求次數(shù)不超過尋求次數(shù)不超過m m (mN ) (mN ) 的多項(xiàng)式，的多項(xiàng)式， Niyxii,2,1,mnxaxaxaay2210來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類

39、似，使偏差的平方和平方和201)(jimjjNiixay為最小為最小由于由于 可以看作是關(guān)于可以看作是關(guān)于 ( j=0,1,2, m)( j=0,1,2, m)的多元函數(shù)的多元函數(shù), , 故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令題。令201)(jimjjNiixaymkak,2, 1 ,0,0得得 mkxxaykijimjjNii, 1 , 0, 0)(01即有即有 jaimimimmimiiimimiiimimiyxxaxaxayxxaxaxayxaxaNa2110121010這是關(guān)于系數(shù)這是關(guān)于系數(shù) 的線性方程組，通常稱為正

40、規(guī)方的線性方程組，通常稱為正規(guī)方程組?？梢宰C明，正規(guī)方程組有惟一解。程組?？梢宰C明，正規(guī)方程組有惟一解。 ja三、可化為線性擬合的非線性擬合三、可化為線性擬合的非線性擬合 有些非線性擬合曲線可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為有些非線性擬合曲線可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進(jìn)行處理，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的曲線性曲線，從而用線性擬合進(jìn)行處理，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖，看一看散點(diǎn)的分布同哪類曲線圖形接近，然后選用相圖，看一看散點(diǎn)的分布同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當(dāng)?shù)淖兞?/p>

41、替換轉(zhuǎn)化為線性接近的曲線擬合方程。再通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。線擬合方程。 下表列舉了幾類經(jīng)適當(dāng)變換后化為線性擬合求解的曲下表列舉了幾類經(jīng)適當(dāng)變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關(guān)系線擬合方程及變換關(guān)系 曲線擬合方程曲線擬合方程 變換關(guān)系變換關(guān)系 變換后線性擬合方程變換后線性擬合方程baxy xxyyln,ln)ln(aaxbaycaxyxx cxaybaxxyxxyy1,1xbaybaxy1yy1axbycbxaxy21yy1cbxaxy2cbxaxxy2yxy cbxax

42、y2多項(xiàng)式曲線擬合函數(shù)多項(xiàng)式曲線擬合函數(shù)：polyfitpolyfit( )( )調(diào)用格式調(diào)用格式：p=polyfit(x,y,np=polyfit(x,y,n) ) p,s= polyfit(x,y,np,s= polyfit(x,y,n) )說明：說明：x,yx,y為數(shù)據(jù)點(diǎn)，為數(shù)據(jù)點(diǎn)，n n為多項(xiàng)式階數(shù)，返回為多項(xiàng)式階數(shù)，返回p p為冪次從高到低為冪次從高到低的多項(xiàng)式系數(shù)向量的多項(xiàng)式系數(shù)向量p p。矩陣。矩陣s s用于生成預(yù)測值的誤差估計(jì)。用于生成預(yù)測值的誤差估計(jì)。 例例2 2：由離散數(shù)據(jù)x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.4 1.6 1.9 .6.4.81.5 2擬

43、合出多項(xiàng)式。 x=0:.1:1;x=0:.1:1;y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2n=3;n=3;p=polyfit(x,y,np=polyfit(x,y,n) )xi=linspace(0,1,100);xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xiz=polyval(p,xi);); plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,bplot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)二維插值二維插值 xyO O第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）： 注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。分片線性插值。最鄰近插值最鄰近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。 將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次簡記為：將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函