數(shù)學(xué)建模之優(yōu)化模型

1、（一）優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)描述（一）優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中.,.,)(mihi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx設(shè)計(jì)變量（決策變量）設(shè)計(jì)變量（決策變量）目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)),.,(nxxxx321x將一個優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)式子來描述，即求函數(shù)將一個優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)式子來描述，即求函數(shù))(xfu 在約束條件在約束條件和和x)(xf x 可行域可行域一一 優(yōu)化模型的一般意義優(yōu)化模型的一般意義.,.,)(.mihtsi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx xxfu )(max)min(ortosubjectts .“受約束于”之

2、意（二）優(yōu)化模型的分類（二）優(yōu)化模型的分類1.1.根據(jù)是否存在約束條件根據(jù)是否存在約束條件 有約束問題和無約束問題。有約束問題和無約束問題。2.2.根據(jù)設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)根據(jù)設(shè)計(jì)變量的性質(zhì) 靜態(tài)問題和動態(tài)問題。靜態(tài)問題和動態(tài)問題。3.3.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件表達(dá)式的性質(zhì)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件表達(dá)式的性質(zhì) 線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，二次規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等。線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，二次規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等。（1）非線性規(guī)劃）非線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，至少有一個非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，至少有一個非線性函數(shù)。.,.,)(.mihtsi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx xx

3、fu )(min.,.,.,.,.minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111（2）線性規(guī)劃（）線性規(guī)劃（LP） 目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變量目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。（3）二次規(guī)劃問題）二次規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，約束條件為線性約束目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，約束條件為線性約束.,.,.,.,.)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii21021211115. 根據(jù)變量具有確定值還是隨機(jī)值根據(jù)變量具有確定值還是隨機(jī)值 確定規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。確定規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。4. 4. 根據(jù)設(shè)計(jì)變量的允許值

4、根據(jù)設(shè)計(jì)變量的允許值整數(shù)規(guī)劃（整數(shù)規(guī)劃（0-1規(guī)劃）和實(shí)數(shù)規(guī)劃。規(guī)劃）和實(shí)數(shù)規(guī)劃。（三）建立優(yōu)化模型的一般步驟（三）建立優(yōu)化模型的一般步驟1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量；確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；3.尋找約束條件。尋找約束條件。工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產(chǎn)之用；工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產(chǎn)之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之用；商店成批購進(jìn)各種商品，放在貨柜里以備零售；商店成批購進(jìn)各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電。水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電。例

5、例1 1 存貯模型存貯模型（四）簡單優(yōu)化模型舉例（四）簡單優(yōu)化模型舉例存貯量多少合適？存貯量多少合適？存貯量過大，存貯費(fèi)用太高；存貯量太小，會導(dǎo)致一存貯量過大，存貯費(fèi)用太高；存貯量太小，會導(dǎo)致一次性訂購費(fèi)用增加，或不能及時滿足需求。次性訂購費(fèi)用增加，或不能及時滿足需求。問題問題1 不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付存貯費(fèi)。今已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，存貯費(fèi)每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排

6、該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。問題分析問題分析若每天生產(chǎn)一次，每次100件，無存貯費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，每天費(fèi)用5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，存貯費(fèi)900+800+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，平均每天費(fèi)用950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，存貯費(fèi)4900+4800+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，平均每天費(fèi)用2550元；尋找生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和尋找生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和存貯費(fèi)之間的關(guān)系，使每天的費(fèi)用最少。存貯費(fèi)之間的關(guān)系，

7、使每天的費(fèi)用最少。模型假設(shè)模型假設(shè)1 連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期 T 和產(chǎn)量 Q 均為連續(xù)量；2 產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù) r ；3 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi) C2；4 生產(chǎn)能力為無限大（相對于需求量），當(dāng)存貯量 降到零時，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來供給需求，即 不允許缺貨。模型建立模型建立總費(fèi)用與變量的關(guān)系總費(fèi)用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)+存貯費(fèi)存貯費(fèi)=存貯單價*存貯量存貯量=？設(shè) t 時刻的存貯量為 q(t) ，t = 0時生產(chǎn) Q 件，存貯量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T) = 0，如圖。q(t) = Q- r t， Q = r T 。otqQTrA不允許缺貨

8、模型的存貯量不允許缺貨模型的存貯量q q( (t t) ) 存貯量的計(jì)算一個周期內(nèi)存貯量dttqT0)(一個周期內(nèi)存貯費(fèi)dttqcT02)(2QT(A的面積)一個周期的總費(fèi)用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均費(fèi)用221rTcTcTCTC)(2 21rTcTcTCT)(min滿足求模型求解模型求解用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小費(fèi)用rccC212著名的 經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）公式）。結(jié)果解釋結(jié)果解釋rccT212212crcrTQrccC212當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi) c1 增加時，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)存貯

9、費(fèi) c2 增加時，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變??；當(dāng)日需求費(fèi) r 增加時，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些定性結(jié)果符合常識，而定量關(guān)系（平方根，系數(shù)2 等）憑常識是無法得出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。rccT212rccC212100010 10015000 21CTrcc，得當(dāng),這里得到的費(fèi)用C與前面計(jì)算得950元有微小差別，你能解釋嗎？在本例中敏感性分析敏感性分析討論參數(shù)rcc,21 有微小變化時對生產(chǎn)周期T 影響。由相對變化量衡量對參數(shù)的敏感程度。T 對c1 的敏感程度記為),(1cTS111ccTTcTS ),(TcdcdT11Tcrccrc1212222121212),(cTS21),(rTS意義是當(dāng)

10、準(zhǔn)備費(fèi)增加1%時，生產(chǎn)周期增加0.5% ；而存貯費(fèi)增加1%時，生產(chǎn)周期減少0.5% ；日需求量增加1%時，生產(chǎn)周期減少0.5% 。211),(cTS212),(cTS21),(rTS當(dāng)rcc,21 有微小變化對生產(chǎn)周期影響不太大。思考思考1 建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用（這應(yīng)是最大一筆費(fèi) 用），在什么情況下才可以不考慮它？2 建模時作了“生產(chǎn)能力無限大”的簡化假設(shè)，如 果生產(chǎn)能力有限，是大于需求量的一個常數(shù)， 如何建模？模型假設(shè)模型假設(shè)1 連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期 T 和產(chǎn)量 Q 均為連續(xù)量；2 產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù) r ；3 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi) C2；4 生產(chǎn)能力為無限大（相對于

11、需求量），允許缺 貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費(fèi)C3 ，但缺貨數(shù)量需 在下次生產(chǎn)（訂貨）時補(bǔ)足。問題問題2 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型模型建立模型建立總費(fèi)用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)+存貯費(fèi)+缺貨損失費(fèi)存貯費(fèi)=存貯單價*存貯量缺貨損失費(fèi)=缺貨單價*缺貨量存貯量=？，缺貨量=？因存貯量不足造成缺貨，因此 q(t) 可取負(fù)值， q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T1) = 0，如圖。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。otqQTrA允許缺貨模型的存貯量允許缺貨模型的存貯量q q( (t t) ) RT1B一個周期內(nèi)缺貨損失費(fèi)一個周期內(nèi)存貯費(fèi)dttqcT102)(212QTc一個周期的總費(fèi)用rQrTcrQccC2223221)(每天平均費(fèi)用dttqcTT13)(213)(TTQrTcrQrTc223)(rQc222rTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),( 滿足求QT,模型求解模型求解用微分法 令332212cccrccT323212ccccrcQ每天平均最小費(fèi)用),(QTCCrTQrTcrTQcTcQTC2223221)(),(min0 0QQTCTQTC),(,),(每個周期的供貨量TrR332212cccrcc