2013年考研數(shù)學(xué)二試題及答案(共13頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、設(shè)，當(dāng)時(shí)，（ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價(jià)的無窮小 （D）與是等價(jià)無窮小【答案】（C）【考點(diǎn)】同階無窮小【難易度】【詳解】，即當(dāng)時(shí)，即與同階但不等價(jià)的無窮小，故選（C）.2、已知由方程確定，則（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念；隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】當(dāng)時(shí)，.方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得將，代入計(jì)

2、算，得 所以，選（A）.3、設(shè)，則（ ）（A）為的跳躍間斷點(diǎn) （B）為的可去間斷點(diǎn)（C）在處連續(xù)不可導(dǎo) （D）在處可導(dǎo)【答案】（C）【考點(diǎn)】初等函數(shù)的連續(xù)性；導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】【詳解】，在處連續(xù).，故在處不可導(dǎo).選（C）.4、設(shè)函數(shù)，若反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【考點(diǎn)】無窮限的反常積分【難易度】【詳解】由收斂可知，與均收斂.，是瑕點(diǎn)，因?yàn)槭諗?，所以，要使其收斂，則所以，選D.5、設(shè)，其中函數(shù)可微，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【考點(diǎn)】多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】，故選（A）.6、設(shè)是圓域位于第象限的部分，記，則（ ）（A）

3、（B） （C） （D）【答案】（B）【考點(diǎn)】二重積分的性質(zhì)；二重積分的計(jì)算【難易度】【詳解】根據(jù)對(duì)稱性可知，.（），（）因此，選B.7、設(shè)A、B、C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（ ）（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)【答案】（B）【考點(diǎn)】等價(jià)向量組【難易度】【詳解】將矩陣、按列分塊，由于，故即即C的列向量組可由A的列向量組線性表示.由于B可逆，故，A的列向量組可由C的列向量組線性表示，故選（B）.8、矩陣與相似的充分必要條件是（ ）（A）（B）

4、為任意常數(shù)（C）（D） 為任意常數(shù)【答案】（B）【考點(diǎn)】矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件【難易度】【詳解】題中所給矩陣都是實(shí)對(duì)稱矩陣，它們相似的充要條件是有相同的特征值.由的特征值為2，0可知，矩陣的特征值也是2，0.因此，將代入可知，矩陣的特征值為2，0.此時(shí)，兩矩陣相似，與的取值無關(guān)，故選（B）.二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.9、 .【答案】【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)重要極限【難易度】【詳解】其中，故原式=10、設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) .【答案】【考點(diǎn)】反函數(shù)的求導(dǎo)法則；積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】由題意可知，.11、設(shè)封閉曲線的極坐標(biāo)方程方

5、程為，則所圍平面圖形的面積是 .【答案】【考點(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用平面圖形的面積【難易度】【詳解】面積12、曲線上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的法線方程為 .【答案】【考點(diǎn)】由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】由題意可知，故曲線對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的法線斜率為.當(dāng)時(shí)，.法線方程為，即.13、已知，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程滿足條件，的解為 .【答案】【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程【難易度】【詳解】，是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解.由分析知，是非齊次微分方程的特解.故原方程的通解為，為任意常數(shù).由，可得 ，.通解為.14、設(shè)是3階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若，則 .【答案】

6、-1【考點(diǎn)】伴隨矩陣【難易度】【詳解】等式兩邊取行列式得或當(dāng)時(shí)，（與已知矛盾）所以.三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無窮小，求和的值.【考點(diǎn)】等價(jià)無窮??；洛必達(dá)法則【難易度】【詳解】故，即時(shí)，上式極限存在.當(dāng)時(shí)，由題意得16、（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值.【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的體積【難易度】【詳解】根據(jù)題意，.因，故.17、（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D由直線，圍成，求 【考點(diǎn)】利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分【

7、難易度】【詳解】根據(jù)題意 ，故18、（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（）存在，使得；（）存在，使得.【考點(diǎn)】羅爾定理【難易度】【詳解】（）由于在上為奇函數(shù)，故令，則在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，.由羅爾定理，存在，使得，即.（）考慮令，由于是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，由（）的結(jié)論可知，.由羅爾定理可知，存在，使得，即.19、（本題滿分10分）求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離.【考點(diǎn)】拉格朗日乘數(shù)法【難易度】【詳解】設(shè)為曲線上一點(diǎn)，該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 由 得 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，然后考慮邊界點(diǎn)，即，它們到原點(diǎn)的距離都是1.因此，曲線上點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離

8、為，最短距離為1. 20、（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)（）求的最小值；（）設(shè)數(shù)列滿足，證明存在，并求此極限.【考點(diǎn)】函數(shù)的極值；單調(diào)有界準(zhǔn)則【難易度】【詳解】（）由題意，令，得唯一駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，最小值為.（）由（）知，又由已知，可知，即故數(shù)列單調(diào)遞增.又由，故，所以數(shù)列有上界.所以存在，設(shè)為A.在兩邊取極限得 在兩邊取極限得 所以即.21、（本題滿分11分）設(shè)曲線的方程為滿足（）求的弧長(zhǎng)；（）設(shè)D是由曲線，直線，及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo).【考點(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用平面曲線的弧長(zhǎng)；定積分的物理應(yīng)用形心【難易度】【詳解】（）設(shè)弧長(zhǎng)為，由弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，得（）由形心的計(jì)算公式，得.22、（本題滿分11分）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C使得，并求所有矩陣C.【考點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的充分必要條件【難易度】【詳解】由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè).由可得 整理后可得方程組 由于矩陣C存在，故方程組有解.對(duì)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組有解，故，即，.當(dāng)，時(shí)，增廣矩陣變?yōu)闉樽杂勺兞?，令，代入相?yīng)齊次方程組，得令，代入相應(yīng)齊次方程組，得故，令，得特解方程組的通解為（為任意常數(shù)）所以.23、（本題滿分11分）設(shè)二次型，記，（）證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為；（）若正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為【考點(diǎn)】二次型的矩陣表