小波變換課件 第1章 Haar小波

1、第1章Haar小波分析1.1簡介(近距離-小尺度）（高分辨率）(遠距離-大尺度)（低分辨率）1.2 平均與細節(jié)l 設是一個信號序列。定義它的平均和細節(jié)：找出了、和、的關系。這里，是原信號前兩個值、的平均。又叫低頻成分，反映前兩個值、的基本特征或粗糙趨勢；反映了、的差別，即細節(jié)信息，又叫高頻成分。找出了、和、的關系。同樣，是原信號后兩個值、的平均，反映了、的細節(jié)。我們把看作是對實施了一次變換的結(jié)果。變換還可以往下進行： = = 是對4個信號元素最終的平均，它是原信號最基本的信息；。經(jīng)過二次變換，我們得到了原信號的另一種表示：該序列叫做原序列的小波變換，叫做小波系數(shù)。還可以反過來表示：這是用,來恢

2、復原信號、；用,來恢復原信號、。也就是反變換。l 小波變換過程的塔式算法：例如，3，1，2，4最終的小波變換為=1.3 尺度函數(shù)與小波函數(shù)(1)Haar尺度函數(shù)不壓縮：不位移 位移一個單位 位移k個單位壓縮1/倍，不位移 壓縮1/倍，位移一個單位 壓縮1/倍，移位K個單位一般 ，u 幾個術(shù)語1） 支撐（支集），（尺度）函數(shù)不為零的區(qū)間，上例中為。2） 支撐的寬度，Haar尺度函數(shù)的寬度為。3） 為分辨率，越大，尺度越小，分辨率越高。4） =為尺度。（分辨率越高，尺度越?。?2).Haar小波函數(shù)u Haar小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關系v 不平移、不壓縮； 平移一個單位 ； 平移 K個 單位。 v

3、不平移，壓縮1/倍； 先平移一個單位，再壓縮1/倍， 平移個K單位，再壓縮1/倍。u H aar小波函數(shù)的一般形式：=，位移k個單位，壓縮倍。(3). 分段常數(shù)函數(shù)也可將序列看成分段常數(shù)序列。用尺度函數(shù)和小波函數(shù)描述分段常數(shù)函數(shù)+寫成=重寫 +故得 注釋：序列可由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的系數(shù)來表示，既為的小波變換（系數(shù)）。, 1.5 小波變換的計算¨ 設是長度為（是大于1的整數(shù)）的離散序列，記為。函數(shù)展開為 （1-20）將函數(shù)做一次小波分解，得 （1-21）重復分解多次，可得在不同尺度下尺度函數(shù)和小波函數(shù)的展開式。¨ 歸一化尺度函數(shù)和小波函數(shù)歸一化又叫做標準化或規(guī)范化，計算方法

4、如下： ，（限制在橫軸0之間）=標準化尺度函數(shù) 仍記為 （1-22）同理，可得標準化Haar小波函數(shù) （1-23）u 標準化二尺度方程 （1-24，1-25）注釋： 標準化函數(shù)的物理意義是，尺度函數(shù)和小波函數(shù)在不同分辨率下具有相同的能量，從而可推出信號進行小波變換前、后能量相等，既 =+¨ 如何從快速計算小波變換系數(shù)：§ 重寫（1-21）式§ 現(xiàn)將式（1-21）二端在范圍內(nèi)對做內(nèi)積，得 = = (1-26)注釋：這里正交性保證了（1-26）式右邊只有一項內(nèi)積不為零；尺度函數(shù)的標準化保證了積分結(jié)果為1。§ 再將式（1-20）,即代入（1-26）,左邊得 =

5、注釋： 若設k=0，則= 所以， =所以， = =因此， =即 § 一般有， ， = 注釋： 1）歸一化后， 2）關于積分 =§ 同理，有小波系數(shù) = 1.7 小波變換的濾波器組實現(xiàn)Mallat算法1.7.1 離散序列的巻積已知序列 做巻積的兩個序列的長度不一定相等。1）由巻積公式求巻積：記為與巻積后得到的新序列，為第個元素，則=例11=1,0.1,-1 m=2 ； =0.1，1，0.1，-1 k=3，求卷積和。簡便算法從下面序列最右邊一項開始，分別與上面序列各項相乘，直到下面序列最左邊一項完成同樣相乘，再按列相加。這種方法結(jié)果序列下標是原兩序列下標位的代數(shù)和確定的。利用這

6、種方法，卷積和可一次計算出來，而且下標確定簡單。用MATLAB 實現(xiàn)：a=0.1,1,0.1,-1; b=1,0.1,-1;y=conv(a ,b)ans = 0.1000 1.0100 0.1000 -1.9900 -0.2000 1.0000滑尺法兩序列0點對齊，計算對應元素乘積并求和得y(0)；下列向右滑動一位，再計算各對應元素乘積并求和，得y(1)； 直到所有n>0情況下對應元素乘積再求和等于零為止?；氐絻尚蛄?點對齊位置，向左滑動一位，計算各對應元素乘積并求和得y(-1)；再向左滑動一位，, 直到所有n<0情況下對應元素乘積再求和等于零為止。這種方法最大優(yōu)點是結(jié)果的下標確

7、定直觀，但計算稍復雜。2）域中的巻積例12，=將序列中的每一項轉(zhuǎn)換為的多項式，得 = = =所以，=3，8，1，-2。 1.7.2 二通道濾波器組 高頻成分(細節(jié))低頻成分(近似或概貌)受污染信號 分析濾波器 綜合濾波器¨ 虛線左：分析濾波器1)信號通過兩路互補對稱的濾波器后,整個頻帶被劃分為二，得到近似和細節(jié)二路信號。每路信頻寬帶是原來的一半。2)若原始信號由1000個點,通過兩路互補對稱的濾波器后,共得到2000個點，存在信息冗余。3）增加抽樣器可減少濾波器輸出數(shù)據(jù)冗余。表示2抽取（2元下采樣），信號帶寬減半，采樣率減半，不引起信息丟失。¨ 虛線右：綜合濾波器用來恢復原

8、信號。低通濾波器； 高通濾波器。¨ 二元下抽樣： 用表示，每隔一個元素抽取一個，定義算子D： 若，那么二元下抽樣序列為 D或 （D¨ 對于分析濾波器：輸入信號與低通濾波器做卷積，再進行二元下抽樣,得到低頻系數(shù)；輸入信號與低通濾波器做卷積，再進行二元下抽樣,得到高頻系數(shù)；¨ 對于綜合濾波器：低頻系數(shù)進行二元上抽樣后再與低通濾波器做卷積；高頻系數(shù)進行二元上抽樣后再與高通濾波器做卷積,兩個序列相加得到重構(gòu)信號；¨ 二元上抽樣用表示，向序列中每隔一個元素插入一個零，組成一個新序列，定義算子U：若，那么二元上抽樣序列為U或 1.7.2 小波變換的濾波器組算法u 對

9、于二尺度方程改寫成和，則系數(shù)序列為和。令=，=。可以驗證 u 和就是我們以后要用到的濾波器，記，其中，稱為的時序反轉(zhuǎn)。特別是對于Haar小波，有u 小波變換的濾波器組算法1）分析濾波器實現(xiàn)Haar小波分解對于任一長度為的輸入序列，利用求平均和細節(jié)的方法，可得低頻分量和高頻分量：= 其中， 小波變換的濾波器組算法，就是輸入序列對濾波器系數(shù)作巻積。為此先將原信號序列補零擴展成無窮序列，再作巻積。 從而，500個1000個500個圖1-15 用分析濾波器實現(xiàn)Haar小波變換2）用綜合濾波器實現(xiàn)Haar小波重構(gòu)先作上抽樣，再與濾波器作巻積。 于是，Haar小波重構(gòu)計算公式為 圖116 用綜合濾波器實現(xiàn)Haar小波重構(gòu)例1.4輸入信號，用Haar小波濾波器組算法實現(xiàn)信號的小波分解和重構(gòu)。首先將有限信號通過兩端補零的方法，將嵌入一個無限長的信號0,0