定積分典型例題22124

1、定積分典型例題例1 求分析 將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限 解 將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子乘入和式中各項于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即=例2 =_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=解法2 本題也可直接用換元法求解令=（），則=例3 比較，分析 對于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無法求出積分值時則只能利用定積分的性質(zhì)通過比較被積函數(shù)之間的大小來確定積分值的大小解法1 在上，有而令，

2、則當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，從而，可知在上，有又，從而有解法2 在上，有由泰勒中值定理得注意到因此例4 估計定積分的值分析 要估計定積分的值, 關(guān)鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值解 設(shè) , 因為 , 令，求得駐點, 而 , , ,故 ,從而,所以 .例5 設(shè)，在上連續(xù)，且，求解 由于在上連續(xù)，則在上有最大值和最小值由知，又，則由于，故=例6求, 為自然數(shù)分析 這類問題如果先求積分然后再求極限往往很困難，解決此類問題的常用方法是利用積分中值定理與夾逼準(zhǔn)則 解法1 利用積分中值定理設(shè) , 顯然在上連續(xù), 由積分中值定理得, ,當(dāng)時, , 而, 故 解法2 利用積分不等式因為 ,而,所以 例

3、7 求解法1 由積分中值定理 可知 =，又且，故解法2 因為，故有于是可得又由于因此=例8 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明在內(nèi)存在一點，使分析 由條件和結(jié)論容易想到應(yīng)用羅爾定理，只需再找出條件即可證明 由題設(shè)在上連續(xù)，由積分中值定理，可得，其中于是由羅爾定理，存在，使得證畢例9 （1）若，則=_；（2）若，求=_分析 這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題，利用下面的公式即可解 （1）=；（2） 由于在被積函數(shù)中不是積分變量，故可提到積分號外即，則可得 =例10 設(shè)連續(xù)，且，則=_解 對等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，故，令得，所以例11 函數(shù)的單調(diào)遞減開區(qū)間為_解 ，令得，解之得，即為所求例12 求的極值點解 由題

4、意先求駐點于是=令=，得，列表如下：-故為的極大值點，為極小值點例13 已知兩曲線與在點處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限分析 兩曲線與在點處的切線相同，隱含條件，解 由已知條件得，且由兩曲線在處切線斜率相同知故所求切線方程為而例14 求 ； 分析 該極限屬于型未定式，可用洛必達(dá)法則解 =注 此處利用等價無窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則例15 試求正數(shù)與，使等式成立分析 易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法則解 =，由此可知必有，得又由 ，得即，為所求例16 設(shè)，則當(dāng)時，是的（ ）A等價無窮小 B同階但非等價的無窮小 C高階無窮小 D低階無窮小解法1 由于 故是同階但非等價的無窮小選

5、B解法2 將展成的冪級數(shù)，再逐項積分，得到，則例17 證明：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，則有證法1 令=，當(dāng)時，則 = =故單調(diào)增加即 ，又，所以，其中從而=證畢證法2 由于單調(diào)增加，有，從而 即 =故 例18 計算分析 被積函數(shù)含有絕對值符號，應(yīng)先去掉絕對值符號然后再積分解 注 在使用牛頓萊布尼茲公式時,應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯誤的錯誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無界. 例19 計算分析 被積函數(shù)在積分區(qū)間上實際是分段函數(shù) 解 例20 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則分析 本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且所以，即，

6、從而，所以 例21 設(shè)，求, 并討論的連續(xù)性分析 由于是分段函數(shù), 故對也要分段討論解 （1）求的表達(dá)式的定義域為當(dāng)時，, 因此當(dāng)時，, 因此, 則=，故 (2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , 因此, 在處連續(xù), 從而在上連續(xù)錯誤解答 （1）求的表達(dá)式, 當(dāng)時，當(dāng)時，有=故由上可知(2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , 因此, 在處不連續(xù), 從而在上不連續(xù)錯解分析 上述解法雖然注意到了是分段函數(shù)，但（1）中的解法是錯誤的，因為當(dāng)時，中的積分變量的取值范圍是，是分段函數(shù)，才正確例22 計算分析 由于積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性 解 =由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有,

7、于是=由定積分的幾何意義可知, 故 例23 計算分析 被積函數(shù)中含有及，考慮湊微分解 =例24 計算解 =注 此題為三角有理式積分的類型，也可用萬能代換公式來求解，請讀者不妨一試?yán)?5 計算，其中解 =，令，則= =注 若定積分中的被積函數(shù)含有，一般令或例26 計算，其中解法1 令，則 =解法2 令，則=又令，則有=所以，=注 如果先計算不定積分，再利用牛頓萊布尼茲公式求解,則比較復(fù)雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一例27 計算分析 被積函數(shù)中含有根式，不易直接求原函數(shù)，考慮作適當(dāng)變換去掉根式解 設(shè)，則=例28 計算，其中連續(xù)分析 要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有，因此不能直接求

8、導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo)解 由于=故令，當(dāng)時；當(dāng)時，而，所以=，故=錯誤解答 錯解分析 這里錯誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)中不含有變限函數(shù)的自變量，而含有，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元例29 計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法解 例30 計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法解 = =例31 計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法 解 由于， （1）而 ， （2）將（2）式代入（1）式可得 ,故 例32計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用

9、分部積分法解 （1）令，則 （2）將（2）式代入（1）式中得 例33 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求分析 被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解解 由于故 例34（97研） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且（為常數(shù)），求并討論在處的連續(xù)性分析 求不能直接求，因為中含有的自變量，需要通過換元將從被積函數(shù)中分離出來，然后利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出，最后用函數(shù)連續(xù)的定義來判定在處的連續(xù)性解 由知，而連續(xù)，所以，當(dāng)時，令，；，則，從而又因為，即所以=由于=從而知在處連續(xù)注 這是一道綜合考查定積分換元法、對積分上限函數(shù)求導(dǎo)、按定義求導(dǎo)數(shù)、討論函數(shù)在一點的連續(xù)性等知識點的綜合題而有些讀者在做題過程中

10、常會犯如下兩種錯誤：（1）直接求出，而沒有利用定義去求，就得到結(jié)論不存在或無定義，從而得出在處不連續(xù)的結(jié)論（2）在求時，不是去拆成兩項求極限，而是立即用洛必達(dá)法則，從而導(dǎo)致又由用洛必達(dá)法則得到=，出現(xiàn)該錯誤的原因是由于使用洛必達(dá)法則需要有條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)但題設(shè)中僅有連續(xù)的條件，因此上面出現(xiàn)的是否存在是不能確定的例35（00研） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證在內(nèi)至少存在兩個不同的點使得分析 本題有兩種證法：一是運用羅爾定理，需要構(gòu)造函數(shù)，找出的三個零點，由已知條件易知，為的兩個零點，第三個零點的存在性是本題的難點另一種方法是利用函數(shù)的單調(diào)性，用反證法證明在之間存在兩個零點證法1 令，則有又，由積

11、分中值定理知，必有，使得=故又當(dāng)，故必有于是在區(qū)間上對分別應(yīng)用羅爾定理，知至少存在，使得，即證法2 由已知條件及積分中值定理知必有， 則有若在內(nèi)，僅有一個根，由知在與內(nèi)異號，不妨設(shè)在內(nèi)，在內(nèi)，由 ，以及在內(nèi)單調(diào)減，可知：=由此得出矛盾故至少還有另一個實根，且使得例36 計算分析 該積分是無窮限的的反常積分，用定義來計算解 =例37 計算解 例38 計算分析 該積分為無界函數(shù)的反常積分，且有兩個瑕點，于是由定義，當(dāng)且僅當(dāng) 和均收斂時，原反常積分才是收斂的解 由于=所以 例39 計算分析 此題為混合型反常積分，積分上限為，下限為被積函數(shù)的瑕點解 令，則有 ，再令，于是可得 例40 計算解 由于 ，

12、可令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故有 注 有些反常積分通過換元可以變成非反常積分，如例32、例37、例39；而有些非反常積分通過換元卻會變成反常積分，如例40，因此在對積分換元時一定要注意此類情形例41 求由曲線，所圍成的圖形的面積分析 若選為積分變量，需將圖形分割成三部分去求，如圖51所示，此做法留給讀者去完成下面選取以為積分變量解 選取為積分變量，其變化范圍為，則面積元素為=于是所求面積為=例42 拋物線把圓分成兩部分，求這兩部分面積之比解 拋物線與圓的交點分別為與，如圖所示52所示，拋物線將圓分成兩個部分，記它們的面積分別為，則有圖5151圖52=，=，于是=例43 求心形線與圓

13、所圍公共部分的面積分析 心形線與圓的圖形如圖53所示由圖形的對稱性，只需計算上半部分的面積即可解 求得心形線與圓的交點為=，由圖形的對稱性得心形線與圓所圍公共部分的面積為圖53=例44 求曲線在區(qū)間內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線，和曲線所圍成平面圖形的面積最?。ㄈ鐖D54所示）分析 要求平面圖形的面積的最小值，必須先求出面積的表達(dá)式解 設(shè)所求切線與曲線相切于點，則切線方程為又切線與直線，和曲線所圍成的平面圖形的面積為圖54=由于=，令，解得駐點當(dāng)時，而當(dāng)時故當(dāng)時，取得極小值由于駐點唯一故當(dāng)時，取得最小值此時切線方程為：例45 求圓域（其中）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積解 如圖55所示，選取為積分變量

14、，得上半圓周的方程為，下半圓周的方程為圖55則體積元素為=于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為=注 可考慮選取為積分變量，請讀者自行完成例46（03研） 過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形（1）求的面積；（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積分析 先求出切點坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積，旋轉(zhuǎn)體積可用大的立體體積減去小的立體體積進行圖56計算，如圖56所示解 （1）設(shè)切點橫坐標(biāo)為，則曲線在點處的切線方程是由該切線過原點知，從而，所以該切線的方程是從而的面積（2）切線與軸及直線圍成的三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為，曲線與軸及直線圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為因此，所求體積為例47

15、有一立體以拋物線與直線所圍成的圖形為底，而垂直于拋物線的軸的截面都是等邊三角形，如圖57所示求其體積解 選為積分變量且過軸上坐標(biāo)為的點作垂直于軸的平面，與立體相截的截面為等邊三角形，其底邊長為，得等邊三角形的面積為圖57=于是所求體積為 =例48（03研） 某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層，汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功，設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數(shù)為，），汽錘第一次擊打進地下（），根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)（）問：（1）汽錘打樁3次后，可將樁打進地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？（注：表示長度單位米）分析 本題屬于變力作功問題，可用定積分來求解 （1）設(shè)第次擊打后，樁被打進地下，第次擊打時，汽錘所作的功為（，）由題設(shè)，當(dāng)