靜止電荷的電場(chǎng)

1、趙趙 明明第第8 8章章 靜止電荷的電場(chǎng)靜止電荷的電場(chǎng)8.1電荷電荷, ,庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律1.物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)質(zhì)子帶正電電子帶負(fù)電中子不帶電,正負(fù)電總和為零+e-e 基元電荷e=1.61019C(1)電荷不能產(chǎn)生, 不能消滅 ;只能轉(zhuǎn)移,中和,與分離;(2)帶電: 是失去或得到電子.(3)電荷消失:是正負(fù)電中和.2.電荷的量子化電荷的量子化 |Q|=Ne NZ 3.電荷守恒定律電荷守恒定律孤立系統(tǒng)內(nèi), 無論進(jìn)行怎樣的過程(物理,化學(xué),核反應(yīng)),系統(tǒng)內(nèi)電量的代數(shù)和為一常量.4.點(diǎn)電荷的物理模型點(diǎn)電荷的物理模型其大小遠(yuǎn)小于問題所涉及的線度的帶電體.(形狀任意)5.庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律q1q2r

2、21F21F21=21req1q2 r2k40 1rr3q1q2=(1)真空中的電容率真空中的電容率00=8.851012C2/(Nm2)k無物理意義,以后不用以后不用k.(2) q1,q2同號(hào)F=q1q2/(40 r2)0 斥力 q1,q2異號(hào)F=q1q2/(40 r2)0,E與F同向q00,E與r同向q00,E與r反向四四.電場(chǎng)疊加原理電場(chǎng)疊加原理(由力的疊加原理得出)將帶電體分成無數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷.試驗(yàn)電荷受力為Fi= q0qiri/(40ri3)F =ii= q0 qiri/(40ri3)iE=F/q0q0E = qiri/(40ri3)i= Eii1.獨(dú)立性獨(dú)立性 任何電荷的電場(chǎng)不因其它電

3、荷的存在而受影響;2.疊加性疊加性 空間電場(chǎng)是所有電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的矢量和.3.求電場(chǎng)的基點(diǎn)(1)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng);(2)電場(chǎng)疊加原理.4.點(diǎn)電荷系激發(fā)的電場(chǎng)點(diǎn)電荷系激發(fā)的電場(chǎng)E = qiri/(40ri3)i5.連續(xù)帶電體激發(fā)的電場(chǎng)連續(xù)帶電體激發(fā)的電場(chǎng)E = rdq/(40r3)q(1)體電荷體電荷體電荷密度體電荷密度 =dq/dVE = rdV/(40r3)V(2)線電荷線電荷截面尺寸遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度.也遠(yuǎn)小于問題所涉及線度線電荷密度線電荷密度 =dq/dlE = rdl/(40r3)l(3)面電荷面電荷厚度遠(yuǎn)小于表面尺寸,也遠(yuǎn)小于問題所涉及線度面電荷密度面電荷密度=dq/dSE = rdS/(40

4、r3)S電偶極子電偶極子1.定義定義(物理模型物理模型)其距離較問題涉及線度小得多l(xiāng)l)i 2qxl/(40 x4) =iql/(40 x3)(p=ql=iql)E=2p/(40 x3)E與p同向問題問題 A點(diǎn)在電偶極子左方如何點(diǎn)在電偶極子左方如何?(2)中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度q+qlByr+E+=qr+/(40r+3)E+rE=qr/(40r3)E=qr+/(40r3)=qr/(40r3)E=E+E=q(r+r)/(40r3)=ql/(40r3)(yl)=p/(40r3)E與p反向.五五. .電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算4.電偶極子在電場(chǎng)中受力電偶極子在電場(chǎng)中受力(1)在均勻電

5、場(chǎng)中在均勻電場(chǎng)中q+qEF=qEFF+=qE+F+=qE=qEF=F+ +F=(qq)E=0r+rM= r+F+rF =r+(qE)+r(qE)=(r+r)(qE)=l(qE) =ql =pE大小: M=pEsin方向:p,E,M成右手螺旋.電偶極子無平動(dòng),有轉(zhuǎn)動(dòng).(2)在非均勻電場(chǎng)中在非均勻電場(chǎng)中F=F+ +F=qE+qE0M= r+F+rF =r+(qE+)+r(qE)(r+r)(qE)0=l(qE) =qlE=pE電偶極子有平動(dòng),也有轉(zhuǎn)動(dòng).例例1 1( (P18 P18 例例1.4)1.4)求帶電為求帶電為q,長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的均勻帶電直線外一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的均勻帶電直線外一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度.alrdE

6、解解:元電荷取坐標(biāo)如圖.xyO取微dldq=dl(=q/l)=dxdE= dq/(40r2)E=q= dx/40(x2+a2) 21xx令 x/a=cot()=cotx=acotdx=ad/sin2x2+a2=a2/sin21=arccot(x1/a)2=arccot(x2/a)= d/(40a) 21=(21)/(40a) dEx=dEcos=dx/(40r2)(x/r)=xdx/(40r3)=xdx/40(a2+x2)3/2dEx=dEsin=adx/40(a2+x2)3/2Ex= xdx/40(a2+x2)3/221xx(acot)ad/sin240(a2/sin2)3/221=/(40

7、a) cosd21=(sin2sin1)/(40a)Ey= adx/40(a2+x2)3/221xxaad/sin240(a2/sin2)3/221=(cos1cos2)/(40a)sind40a21=討論 1.中垂線上1+2=sin2=sin1cos1=cos2Ex=0=(l/2)/(a2+l2/4)1/2Ey=cos1/(20a)=(q/l)(l/2)/(a2+l2/4)1/2/(20a)=q/40a)(a2+l2/4)1/2(1)當(dāng)l a1=0 Ey=/(20a)(2)當(dāng)aEy=q/(40a2)(3)當(dāng)a=0帶電體不再是線電荷2.延長(zhǎng)線上lxOdlrdE所有電荷元產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度都沿x正向

8、dxx040r2E=d (l+bx)x040(l+bx)2=40=1b1l+bq40b(b+l)=Pb點(diǎn)電荷例例2 2求半徑為求半徑為R帶電為帶電為Q的均勻帶的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度. .ROdEdE解解:以中心軸為x軸.取x微元電荷dqdq=dlrdE=dq/(40r2)=dl/(40r2)dEdE=dEcos =xdl/(40r3)因?qū)ΨQ,dE相互抵消.故E=E=dE= xdl/(40r3)l=2Rx/40(x2+R2)3/2=Qx/40(x2+R2)3/2方向沿x軸.討論如環(huán)開一小口a, 可用補(bǔ)賞法(1)當(dāng)x=0,中心處: E=0E=Qa/(8 2

9、0R3)求中心場(chǎng)強(qiáng).(2)當(dāng)xR,E=Q/(4 0 x2) 點(diǎn)電荷(3)Ex曲線:xEOR/2R/2E 極大值點(diǎn)x= R/2例例3 3求半徑為求半徑為R帶帶電為電為Q的均勻圓的均勻圓盤軸線上的場(chǎng)強(qiáng)盤軸線上的場(chǎng)強(qiáng). .OP解解:取中心軸為xx軸,圓環(huán)元電荷rdrdq=2rdrdEdE=dqx/40(x2+r2)3/2dE= xrdr/20(x2+r2)3/2R0E= xd(x2+r2)/40(x2+r2)3/2R0= /(20)1x/(x2+R2)1/2=Q/(20R2)1x/(x2+R2)1/2當(dāng)xR,無限大帶電平面E=/(20)例例4.4.一半徑為一半徑為R的半球面的半球面, ,均勻地均勻地

10、帶有電荷帶有電荷, ,電荷面密度為電荷面密度為. .求球求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度心處的電場(chǎng)強(qiáng)度. .O解解:x取環(huán)帶微元dq=dS=2(Rsin)Rd =2R2sinddEdE=dqx/40(r2+x2)3/23024cosdsin2RRR=sincosd/(20)/23202dcossinE04/方向x軸正向.例例5.5.用絕緣細(xì)線彎成的半圓環(huán)用絕緣細(xì)線彎成的半圓環(huán),半徑為半徑為R,其上均勻地帶有正點(diǎn)荷其上均勻地帶有正點(diǎn)荷Q,試求圓心試求圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度處的電場(chǎng)強(qiáng)度. .O解解:xy取園弧微元dldq=dl=Q/(R)Rd=Qd/dEdE=dq/(4 0r2)=Qd/(420R2)dExdEyd

11、Ex=dEcos(+)=dEcos dEy=dEsin(+)=dEsin Ex=dEx2/32/2024dcosRQ=Q/(2 20R2)Ey=dEy2/32/2024dsinRQ=0故 E=Ex=Q/(2 20R2)方向沿x軸正向.例例6.6.寬為寬為a的無限長(zhǎng)帶電薄平板的無限長(zhǎng)帶電薄平板, ,電荷線密度為電荷線密度為, ,取中心取中心線為線為z軸軸, ,x軸與薄板在軸與薄板在同一平面內(nèi)同一平面內(nèi), ,y軸垂直軸垂直薄板薄板. .如圖如圖. .求求y軸上軸上距薄板為距薄板為b的一點(diǎn)的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度的的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向大小和方向. . zxyOabP解解:取無限長(zhǎng)窄條電荷 元dx,電荷線

12、密度=dx/adE=/(20r)=dx/(20a)dEx=dEcos=xdx/20a(b2+x2)dEy=dEsin=bdx/20a(b2+x2)yxdxdEbPEx=dEx=xdx/20a(b2+x2)22aa= ln(b2+x2)/40a22aa=0Ey=dEy=bdx/20a(b2+x2)22aa= arctan(x/b)/20a22aa=arctanx/(2b) / 0aE=Eyi=iarctanx/(2b)/0a8.3 電通量電通量 高斯定理高斯定理一一.電場(chǎng)線1. 定義定義 其線上每點(diǎn)的切線都與該點(diǎn) 電場(chǎng)強(qiáng)度方向重合的一條有指向的曲線.形象直觀的描述電場(chǎng)形象直觀的描述電場(chǎng)E2. 電

13、場(chǎng)的圖示法電場(chǎng)的圖示法方向方向: :沿切線正向;大小大小: :用疏密表示疏,E小.密,E大;電場(chǎng)線數(shù)密度de/dS dSndSdS E=de/dS dSE,即dS E.3. 幾種特殊電場(chǎng)的電場(chǎng)線幾種特殊電場(chǎng)的電場(chǎng)線(1)點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷正,發(fā)散;負(fù),收斂.(球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ):(3)無限大帶電平面無限大帶電平面平行,等距(2)兩點(diǎn)電荷兩點(diǎn)電荷起于正終于負(fù).4.電場(chǎng)線的性質(zhì)電場(chǎng)線的性質(zhì)(1)起于正電荷終于負(fù)電荷；(2)不閉合,不相交,連續(xù).二二.電通量電通量 1. 定義定義通過電場(chǎng)中一給定曲面的電場(chǎng)線的總條數(shù).2.表達(dá)式表達(dá)式(1)過微小曲面dS的電通量deEdSEdS為dS在垂直方向的投影dS= dS

14、cosde=EdS =EdScosn=EdS(2)過某曲面S的電通量ee=SSEcosdSSE d3.討論討論(1)電通量e是標(biāo)量,不是矢量;(2)計(jì)算電通量時(shí)要對(duì)面選取法線方向(閉合曲面的法線指向面外). 求電通量大小時(shí)一般讓n與E的夾角小于/2.例例1.1.在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中產(chǎn)生的電場(chǎng)中, ,求求通過如圖所示的圓面的電通量通過如圖所示的圓面的電通量. .xRQ解解: 設(shè)圓面法線向左,n取細(xì)圓環(huán)面元dS=2rdrrdrE=Q/40(x2+r2)Ecos=x/(x2+r2)1/2de=EdS=EdScos=2xQrdr/40(x2+r2)3/2=xQrdr/20(x2+r2)3/2

15、e=de= xQrdr/20(x2+r2)3/2R0=xQ/(40) d(r2+x2)/(x2+r2)3/2R0=xQ/(20)1/(x2+r2)1/2R0=Q1x/(x2+R2)1/2/(20)或用或用通過圓面對(duì)應(yīng)球冠面的電通通過圓面對(duì)應(yīng)球冠面的電通量來計(jì)算量來計(jì)算: : S=2R0h=2(R2+x2)1/2(R2+x2)1/2x=2 R2+x2x(R2+x2)1/2E=Q/(40R02) =Q/40(R2+x2)e=ES=Q1/(x2+R2)1/2/(20)三三. .高斯定理高斯定理求過閉合曲面的電通量求過閉合曲面的電通量1. 點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)(1)閉合曲面是以電荷為心的球

16、面Se= EdSS= Q/(40r2)dSS=Q/(40R2) dSS=Q/0(2)閉合曲面是包圍點(diǎn)電荷的任意曲面S e= EdSS=e= EdSS=Q/0(3)閉合曲面不包圍點(diǎn)電荷S電場(chǎng)線進(jìn)入高斯面又穿出高斯面e= EdS S=02.任意電荷激發(fā)的場(chǎng)任意電荷激發(fā)的場(chǎng)將其分成若干點(diǎn)電荷 q=qiq激發(fā)電場(chǎng)E是每個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)電場(chǎng)Ei 的矢量和 E=Eie= EdSS= EdSS= EdSS=qint/0qint是高斯面S所包圍的電荷.3.結(jié)論結(jié)論 EdS=qint/0S量 只與曲面內(nèi)所包圍電荷的代數(shù)和有關(guān), 與曲面的形狀,曲面外的電荷無關(guān).注意注意: 曲面上的電場(chǎng)強(qiáng)度與面內(nèi)外所有電荷有關(guān).這說明

17、說明通過閉合曲面的電通4.靜電場(chǎng)的一個(gè)性質(zhì)靜電場(chǎng)的一個(gè)性質(zhì)靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)靜電場(chǎng)是有源場(chǎng).(1)當(dāng)qint0,有e0. 表明有電場(chǎng)線從S穿出, 面內(nèi)有正源正源;(2)當(dāng)qint0, 有e0. 表明有電場(chǎng)線進(jìn)入S面, 面內(nèi)有負(fù)源負(fù)源;(3)當(dāng)qint=0, 有e=0. 表明電場(chǎng)線進(jìn)入又穿出S,電場(chǎng)線連續(xù)電場(chǎng)線連續(xù); ;三三. .高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用質(zhì),任何時(shí)候都是正確的.1. 高斯定理是靜電場(chǎng)的基本高斯定理是靜電場(chǎng)的基本描述了靜電場(chǎng)的基本性方程方程2. 用用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度例例1. .求半徑為求半徑為R帶電量為帶電量為Q的均的均勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)勻帶電球面在球

18、內(nèi)外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng). .RQ解解:由于電荷球?qū)ΨQ,必然電場(chǎng)球?qū)ΨQ:E沿徑向, 且距球心r相等處E大小等.過場(chǎng)點(diǎn)作與帶電球同心的球面,Sr依高斯定理,有SSE d=qint/0SSE d=SSEd=ESSd=4r2E當(dāng)rR:qint=QE=Q/(40 r2)考慮方向E=Qr/(40 r3)故rR:E=Qr/(40r3)均勻帶電球面在 球內(nèi)的 場(chǎng)強(qiáng)為零,在球外的場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在球心 的 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其Er關(guān)系如圖.Q40R21/r2用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的步驟(1) 分析電荷與場(chǎng)的對(duì)稱性;(2) 選取合適的高斯面(其目的能將 寫成ES );SSE d(3) 用高斯定理列方程, 解方程,指出場(chǎng)的方

19、向.對(duì)稱性與對(duì)應(yīng)高斯面對(duì)稱性與對(duì)應(yīng)高斯面:球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ: :球電荷球電荷柱對(duì)稱柱對(duì)稱: :無限長(zhǎng)柱電荷無限長(zhǎng)柱電荷面對(duì)稱面對(duì)稱: :無限大面電荷無限大面電荷柱柱 形形高斯面高斯面球形高斯面球形高斯面高斯面上的高斯面上的E : 大小處處等大小處處等, ,E dS; 大小處處不等大小處處不等, ,EdS.rORE例例2. .求半徑為求半徑為R帶電量為帶電量為Q的均的均勻帶電球體在球內(nèi)外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)勻帶電球體在球內(nèi)外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng). .RQ解解:因電荷球 對(duì)稱,電場(chǎng)球?qū)ΨQ: E沿徑向,且距球心r相等處E大小等.過場(chǎng)點(diǎn)作與球同心的球面,有SrSSE d=qint/0SSE d=SSEd=4r2E當(dāng)rR:qi

20、nt=QE=Q/(40 r2)E=Qr/(40 R3)rR:E=Qr/(40r3)rR:均勻帶電球體 球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)與 r成正比,球外場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在球心 的 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其Er關(guān)系如圖.例例3. .求半徑為求半徑為R帶電線密度為帶電線密度為的的無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在柱內(nèi)外無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在柱內(nèi)外產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度. .解解:因電荷柱 對(duì)稱, 電場(chǎng)柱 對(duì)稱: E 沿徑 向, 且距軸線 心r 相等處E 大小等. 過場(chǎng)點(diǎn) 作 與 帶電R柱面同軸的柱面, 其高為h.有rSSSE d=上底+下底+側(cè)面SE d20R1/rrORErORE=0+0+2rhE =qint/0當(dāng)rR: q

21、int=hE=/(20 r)方向垂直軸線并沿徑向.無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在柱面內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零,在柱面外的場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在軸線的無限長(zhǎng)均勻線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其Er關(guān)系如圖.例例4. .求半徑為求半徑為R帶電線密度為帶電線密度為的的無限長(zhǎng)均勻帶無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體在柱電圓柱體在柱內(nèi)外產(chǎn)生的電內(nèi)外產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度場(chǎng)強(qiáng)度. .R解解:因電荷柱 對(duì)稱, 電場(chǎng)柱 對(duì)稱: E 沿徑 向, 且距軸線r 相等處E 大小等. 過場(chǎng)點(diǎn) 作 同軸柱面,其高為h.有rSSSE d=上底+下底+側(cè)面SE d=0+0+2rhE=qint/0當(dāng)rR: qint=hE=/(20 r)方向垂直軸線并沿徑向.無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體在

22、柱體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)與r成正比,在柱面外場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在軸線的無限長(zhǎng)均勻線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其Er關(guān)系如圖.20R1/r例例5. .求求面電荷密度為面電荷密度為的無限大的無限大均勻帶電薄平板在空間產(chǎn)生的電均勻帶電薄平板在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度場(chǎng)強(qiáng)度. .rOREE解解: 因電荷面對(duì)稱,電場(chǎng)面對(duì)稱: E 垂直帶電面,指向外, 距帶電面等距處E大小等. 過場(chǎng)點(diǎn)作柱形高斯面 (側(cè)面垂直帶電面, 底面 以 帶 電面對(duì)稱,面積S).有SSSSE d=左底+右底+側(cè)面SE d=ES+ES+0=2ESqint=S由SSE d=qint/0得E=/(20)考慮方向,有x0,E=i/(20);x0,E=i/(20)其Ex

23、關(guān)系如圖.Ox/(20)/(20)例例6. .半徑為半徑為R的無限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)的無限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)有一個(gè)半徑為有一個(gè)半徑為a(aa),該該球形空腔的無限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)均勻球形空腔的無限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為分布著電荷體密度為的正電荷的正電荷,如圖所示如圖所示.求求:(1)在球形空腔的球在球形空腔的球心心O處的場(chǎng)強(qiáng)處的場(chǎng)強(qiáng)EO;(2)在柱體內(nèi)與在柱體內(nèi)與O點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)對(duì)稱的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度EP.RadPOd解解: 球形空腔無限長(zhǎng)圓柱帶電體可認(rèn)為是均勻帶正電 (體電荷密度為 )無限長(zhǎng)圓柱體與 均勻帶負(fù)電 ( 體電荷密度為 ) 球體組成.分別用高斯定理求無限長(zhǎng)均 勻帶電圓柱 體激發(fā)的電場(chǎng)

24、 E1 與均勻帶電球體激發(fā)的電場(chǎng)E2. 為求E1,在柱體內(nèi)作同軸的圓柱形高 斯面,有E1= r1/(20)方向垂直于軸線指向外;為求E2,在球體內(nèi)外作同心的球形高斯面,有球內(nèi)raQ=4a3/3E2=a3/(30r22)負(fù)號(hào)表示方向指向球心.對(duì)于O點(diǎn)E1=d/(20)(因r2=0)E2= r2/(30)=0得EO=a/(20)方向向右;對(duì)于P點(diǎn)E1=d/(20),E2=a3/(30d2)得EP=d/(20)a3/(30d2) 方向向左.8.48.4靜場(chǎng)環(huán)路定理靜場(chǎng)環(huán)路定理 電勢(shì)電勢(shì) 一一. .靜電場(chǎng)力的功靜電場(chǎng)力的功討論點(diǎn)電荷討論點(diǎn)電荷q0在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),靜電場(chǎng)力做功靜電場(chǎng)力做功q

25、0lab1.點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)qE=qr/(40r3)F=qq0r/(40r3)FrA= Fdlldl40r3qq0rdll= qq0dlcos/(40r2) 21rrr1r2(dlcos=dr)=qq0dr/(40r2) 21rr=qq0/(40)(1/r11/r2)即點(diǎn)電荷即點(diǎn)電荷q0 在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷 q激發(fā)的電激發(fā)的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)靜電場(chǎng)力做功與路徑場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)靜電場(chǎng)力做功與路徑l無關(guān)無關(guān), ,只與只與q0的始末位置有關(guān)的始末位置有關(guān).2.任意電荷激發(fā)的電場(chǎng)任意電荷激發(fā)的電場(chǎng)E = rdq/(40r3)qF=q0E =q0 rdq/(40r3)qA= Fdll40r3dqrd

26、lq= q0l40r3rdldql= q0q40r2drdql= q0q40q0dq=qr11r21式中r1和r2分別為點(diǎn)電荷q0運(yùn)動(dòng)路徑的起點(diǎn)和 終點(diǎn)到電荷元dq的距離.結(jié)果表明結(jié)果表明: :點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q0在任意電荷在任意電荷激發(fā)的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)靜電場(chǎng)力做激發(fā)的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)靜電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)功與路徑無關(guān), , 只與只與q0 的始末位的始末位置有關(guān)置有關(guān).二二. .靜電場(chǎng)環(huán)路定理靜電場(chǎng)環(huán)路定理1. .安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理A= Fdll= qEdll= qEdlbla)(1+ qEdlalb)(2abl1l2= qEdlbla)(1 qEdlbla)(2=0 Edl =0l得安培環(huán)路定理

27、安培環(huán)路定理 靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷q沿閉合路徑沿閉合路徑運(yùn)動(dòng)做的功為零運(yùn)動(dòng)做的功為零2.靜電場(chǎng)的又一性質(zhì)靜電場(chǎng)的又一性質(zhì)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng).靜電場(chǎng)是(1)有源場(chǎng) (由高斯定理得出)(2)保守場(chǎng)環(huán)路定理說明環(huán)路定理說明: :靜電場(chǎng)沿任意閉合路徑積分為零靜電場(chǎng)沿任意閉合路徑積分為零. .做功與路徑無關(guān)的力是 保守力, 故靜電場(chǎng)力是保守力; 積分與路徑無關(guān)的場(chǎng)是保守場(chǎng).(由環(huán)路定理得出)三三. .電勢(shì)能與電勢(shì)電勢(shì)能與電勢(shì)對(duì)位置所決定的做功本領(lǐng)對(duì)位置所決定的做功本領(lǐng)保守力勢(shì)能靜電場(chǎng)力是保守力電勢(shì)能(只討論點(diǎn)電荷的電勢(shì)能只討論點(diǎn)電荷的電勢(shì)能)1.電勢(shì)能電勢(shì)能點(diǎn)電荷在某點(diǎn)電勢(shì)能等于電

28、場(chǎng)力點(diǎn)電荷在某點(diǎn)電勢(shì)能等于電場(chǎng)力將其從該點(diǎn)移到參考點(diǎn)所做的功將其從該點(diǎn)移到參考點(diǎn)所做的功.WP= qEdl 電勢(shì)能零點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)= qEdl (0)P由電荷在電場(chǎng)中的相由電荷在電場(chǎng)中的相2.電勢(shì)電勢(shì)電勢(shì)能 與電荷有關(guān),qEdl (0)P= Edl (0)P與電荷無關(guān),由WP/q電場(chǎng)本身固有性質(zhì)決定.(1)定義定義(描述電場(chǎng)的又一物理量描述電場(chǎng)的又一物理量)= Edl 電勢(shì)零點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)UP=WP/q電場(chǎng)中 某點(diǎn) 電勢(shì)數(shù)值上等于單位正電荷 從場(chǎng)點(diǎn)移到零勢(shì)點(diǎn)靜電場(chǎng)力作的功.(2)單位單位伏特(V)E 的又一單位:(N/C)V/m3.電勢(shì)差電勢(shì)差場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)之差場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)之差( (電壓電壓) )Uab=UaU

29、b= Edl (0)a Edl (0)b= Edl (0)a Edl b(0)= Edl ba靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)間電勢(shì)差等于將單位正電荷從起點(diǎn)移到終點(diǎn)靜電場(chǎng)力作的功.4.說明說明(1)(1)電勢(shì)能是電場(chǎng)與電荷共有的電勢(shì)能是電場(chǎng)與電荷共有的, ,而電勢(shì)是電場(chǎng)固有的而電勢(shì)是電場(chǎng)固有的; ;(2)(2)電勢(shì)能與電勢(shì)是相對(duì)的電勢(shì)能與電勢(shì)是相對(duì)的, ,與零與零點(diǎn)的選取有關(guān)點(diǎn)的選取有關(guān), ,零點(diǎn)的選零點(diǎn)的選取取任意任意;(3)(3)兩點(diǎn)電勢(shì)差與零點(diǎn)選取無關(guān)兩點(diǎn)電勢(shì)差與零點(diǎn)選取無關(guān). .(4)(4)電勢(shì)電勢(shì),電勢(shì)能是標(biāo)量電勢(shì)能是標(biāo)量,不是不是矢量矢量.5.電勢(shì)零點(diǎn)的選取電勢(shì)零點(diǎn)的選取(1)(1)電勢(shì)零點(diǎn)的選取以方

30、便為準(zhǔn)電勢(shì)零點(diǎn)的選取以方便為準(zhǔn); ;(2)(2)有限帶電體場(chǎng)的勢(shì)零點(diǎn)選有限帶電體場(chǎng)的勢(shì)零點(diǎn)選 ; ;(3)(3)無限帶電體場(chǎng)的零點(diǎn)不能選無限帶電體場(chǎng)的零點(diǎn)不能選 . .四四. . 靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷的功靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷的功A, ,點(diǎn)電荷與電場(chǎng)的電勢(shì)能點(diǎn)電荷與電場(chǎng)的電勢(shì)能W及電勢(shì)及電勢(shì)U之間的關(guān)系之間的關(guān)系W = qEdl (0)P=q Edl (0)P=qUA= qEdl ba=q Edl ba=qUab五五. .電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算( (選選 為為勢(shì)零點(diǎn)勢(shì)零點(diǎn)) )1.點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)UP= Edl (0)P40r3qrdlr=40r2qdrr=1/(40r)r=1/(40r)

31、2.電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理將帶電體分成點(diǎn)電荷:q=qiE=EiU= Edl (0)P= Eidl (0)P= Eidl (0)P=Ui=qi/(40ri)連續(xù)帶電體U= dq/(40r)q(1).獨(dú)立性獨(dú)立性任何電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生任何電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的電勢(shì)不因其它電荷而受影響不因其它電荷而受影響; ;(2).疊加性疊加性電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)是電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)是所有電荷產(chǎn)生電勢(shì)的標(biāo)量和所有電荷產(chǎn)生電勢(shì)的標(biāo)量和.,.,3.知電荷分布求電勢(shì)的基點(diǎn)知電荷分布求電勢(shì)的基點(diǎn)(1)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì);(2)電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理(標(biāo)量疊加標(biāo)量疊加).(1)定義法定義法(2)疊加法疊

32、加法4.計(jì)算電勢(shì)的兩種方法：計(jì)算電勢(shì)的兩種方法：U= Edl (0)PU= dq/(40r)qqqlP解:由疊加原理xy(x,y)r+rrU=U+U=q/(40r+)q/(40r)=q(rr+)40r+rrr+而rr+lcoslcos,rr+r得U=qlcos/(40r2)=pcos/(40r2)=prcos/(40r3)=pr/(40r3)=px/40(x2+y2)3/2例例2.求半徑為求半徑為 R帶電為帶電為Q 的均勻的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)上一點(diǎn)的電勢(shì). .RO解解: x軸上x處, E沿x軸,大小為EE=Qx/40(x2+R2)3/2U= Edl (0)P= Qx/

33、40(x2+R2)3/2dx x= Qd(x2+R2)/80(x2+R2)3/2 x=Q/40(x2+R2)1/2 x=Q/40(x2+R2)1/2 疊加法疊加法取微元電荷dq=dldU=dq/(40r)=dl/40(x2+R2)1/2U= dU= dl/40(x2+R2)1/2l=2 R/40(x2+R2)1/2=Q/40(x2+R2)1/2 例例2. .求半徑為求半徑為R帶電量為帶電量為Q的均的均勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的電勢(shì)勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的電勢(shì). .rR:E2=Qr/(40r3)解解:疊加法困難,用U= Edl (0)P球內(nèi)電勢(shì)球外電勢(shì)rRU= Edl (0)P= E2dl r =

34、 Qdr/(40r2)r =Q/(40r)均勻帶電球面在球內(nèi) 產(chǎn)生的電勢(shì)等于在球面上產(chǎn)生的 電勢(shì) ( 即均勻帶電球面為等勢(shì) 體); 在球外產(chǎn)生的電勢(shì)等效于將電荷集中在球心 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì).其Ur 關(guān)系如圖.Q40RrORU1/r例例3. .求半徑為求半徑為R帶電量為帶電量為Q的均的均勻帶電球體在球內(nèi)外產(chǎn)生的電勢(shì)勻帶電球體在球內(nèi)外產(chǎn)生的電勢(shì). .rR:E2=Qr/(40r3)解解:用rR: E=Qr/(40 R3)U= Edl (0)P球內(nèi)電勢(shì)rRU= Edl (0)P= E2dl r = Qdr/(40r2)r =Q/(40r)均勻帶電球體在球內(nèi) 產(chǎn)生的電勢(shì)是到球心距離的函數(shù)(即均勻帶電球

35、體不是等勢(shì)體); 在球外產(chǎn)生的電勢(shì)等效于將電荷集中在球心 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì).其Ur 關(guān)系如圖.rORUr21/r球心與球面的電勢(shì)分別為U0=80R3Q80R3QQ40RUR=Q40R例例4. .(P88 3.9)一無限長(zhǎng)均勻帶電一無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱圓柱, ,體電荷密度為體電荷密度為,截面半徑為截面半徑為a,(1)用高斯定理用高斯定理求柱內(nèi)外電場(chǎng)求柱內(nèi)外電場(chǎng);(2)求柱內(nèi)外電勢(shì)求柱內(nèi)外電勢(shì),以軸線為電以軸線為電勢(shì)零點(diǎn)勢(shì)零點(diǎn); ;(3)畫出畫出Er和和Ur曲線曲線.R解解: (1)因電場(chǎng)柱對(duì)稱: E 沿徑向,距軸r 等處E 值等. 過場(chǎng)點(diǎn)作高h(yuǎn)同軸柱面,有rSSSE d=上底+下底+側(cè)面SE d

36、=0+0+2rhE =qint/0當(dāng)ra:qint=(a2h)E2=a2/(20r)E 方向垂直于軸線且指向外.(2)當(dāng)ra:U2= Edl (0)P= E2dl a r + E1dl 0 a = a2dr/(20r)a r + rdr/(20)0 a =a2ln(a/r)/(20)a2/(40)=a2/(40)2ln(r/a)+1(3)rOREr=0:E0=0,r=a:Ea=a/(20)a201/rrOUU0=0r2Ua=a240a240ln(r/a)說明說明: 無限長(zhǎng)無限長(zhǎng)帶電圓柱場(chǎng)帶電圓柱場(chǎng)的的零勢(shì)點(diǎn)不能選在零勢(shì)點(diǎn)不能選在 .數(shù)學(xué)上講數(shù)學(xué)上講,結(jié)果結(jié)果發(fā)散發(fā)散; 物理上講物理上講, 帶電

37、圓柱不再是帶電圓柱不再是無限長(zhǎng)無限長(zhǎng).“無限長(zhǎng)無限長(zhǎng)”公式不再適用公式不再適用. . 8.5 電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度一一. .等勢(shì)面等勢(shì)面1.定義定義 等電勢(shì)點(diǎn)組成的面.2.等勢(shì)面的性質(zhì)等勢(shì)面的性質(zhì) 由dU=0得出dA=q(dU)=0(1) 點(diǎn)電荷在等勢(shì)面上移動(dòng),電場(chǎng)力不作功;Edl=dU=0Edl(2)電場(chǎng)強(qiáng)度與等勢(shì)面正交;(3)等勢(shì)面密集處場(chǎng)強(qiáng)大,等勢(shì)面稀疏處場(chǎng)強(qiáng)小. 由dU=Edl知:設(shè)dU等,E|dl .E大,則dl小,即等勢(shì)面密.3.兩種特殊電場(chǎng)的等勢(shì)面兩種特殊電場(chǎng)的等勢(shì)面+1.電勢(shì)空間變化率電勢(shì)空間變化率(方向?qū)?shù)方向?qū)?shù))二二. .電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度dl為沿某方向的微小距離,對(duì)應(yīng)兩等勢(shì)面

38、的電勢(shì)差為dUdlUU+dUEdl=U1U2=U(U2+dU)=dUEdU =Edl=EdlcosdU/dl=Ecos =El電勢(shì)電勢(shì)對(duì)某方向的對(duì)某方向的空間變化率等于空間變化率等于電場(chǎng)強(qiáng)度在該方向投影的負(fù)值電場(chǎng)強(qiáng)度在該方向投影的負(fù)值(1)電勢(shì)空間變化率隨方向而變電勢(shì)空間變化率隨方向而變; ;(2)空間變化率絕對(duì)值的最大空間變化率絕對(duì)值的最大值沿值沿過該點(diǎn)等勢(shì)面的法線方向過該點(diǎn)等勢(shì)面的法線方向.2.電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度gradU是矢量是矢量方向方向?yàn)殡姙殡妱?shì)勢(shì)變化最快變化最快的方向的方向,大小大小dU/dlmax=dU/(dlcos)=dU/dngradU+=U=(dU/dn)n=(dU/dn)(

39、icos+jcos+kcos)=idU/(dn/cos)+jdU/(dn/cos)+kdU/(dn/cos)=(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k3.電勢(shì)梯度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系電勢(shì)梯度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系由 dU/dl=El 得Ex=U/xEy=U/yEz=U/zE=(U/x)i+(U/y)j+(U/z)kE=gradU電場(chǎng)強(qiáng)度等于電勢(shì)梯度負(fù)值.=U三三. .場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系積分關(guān)系積分關(guān)系= Edl (0)PU= Edl 零勢(shì)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)微分關(guān)系微分關(guān)系 E=gradU=U例例1.(P75 例例3.7)利用場(chǎng)強(qiáng)梯度關(guān)利用場(chǎng)強(qiáng)梯度關(guān)系系,計(jì)算電偶極子場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算電偶極子場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng). .解解:

40、 U=pr/(40r3)p =pir=xi+yjr2=x2+y2=p/(40)(x/r3)r/x=(x2+y2)1/2/x=(1/2)(x2+y2)1/212x=x/rr/y=y/rEx=U/x=p/(40)(x/r3)/x=p/(40) (1/r3)+x(3r4)r/x=p/(40)(1/r3)3x2/r5=p/(40)(2x2y2)/r5=p(2x2y2)/(40r5)Ey=U/y=p/(40)(x/r3)/y=p/(40) x(3r4)r/y=p/(40)3xy/r5=3pxy/(40r5)E=(Ex2+Ey2)1/2=p/(40r5)(2x22)2+(3xy)21/2=p/(40r5)

41、(4x4+5x2y2+y4)1/2=p/(40r5)(x2 +y2)(4x2+y2)1/2=p/(40r4)(x2+y2+3x2)1/2=p/(40r3)1+3(x/r)21/2=p(1+3cos2)1/2/(40r3)E與x軸的夾角滿足tan=Ey/Ex=3xy/(2x2y2)8.6 8.6 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一一.導(dǎo)體靜電平衡的條件導(dǎo)體靜電平衡的條件1.靜電平衡的建立靜電平衡的建立導(dǎo)體內(nèi)有大量可自由移動(dòng)的電荷導(dǎo)體內(nèi)有大量可自由移動(dòng)的電荷外電場(chǎng)自由電荷運(yùn)動(dòng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)重新分布產(chǎn)生附加電場(chǎng)與外場(chǎng)合成再對(duì)自由電荷作用反復(fù)進(jìn)行,直到對(duì)自由電荷的作用力為零時(shí)停止.一瞬間.導(dǎo)體體內(nèi)與表面無定

42、向移動(dòng)電荷導(dǎo)體體內(nèi)與表面無定向移動(dòng)電荷2.靜電平衡的條件靜電平衡的條件(1)導(dǎo)體體內(nèi)(內(nèi)部自由電荷不受電場(chǎng)力)Eint=0;(2)導(dǎo)體表面外附近(表面自由電荷不受切向力)ES表面.3.推論推論(1)導(dǎo)體內(nèi)任取兩點(diǎn)a,b, 因Eint=0UaUb=balEdint=0Ua=Ub導(dǎo)體為等勢(shì)體;(2)導(dǎo)體表面為等勢(shì)面.導(dǎo)體表面取兩點(diǎn)c,d,因ESdlUcUd=baSlEd=0Uc=Ud二二.導(dǎo)體靜電平衡時(shí)電荷分布導(dǎo)體靜電平衡時(shí)電荷分布1.導(dǎo)體體內(nèi)各處宏觀電荷為零導(dǎo)體體內(nèi)各處宏觀電荷為零; ;對(duì)導(dǎo)體 體內(nèi)任一點(diǎn)O作任意小高斯面S,因Eint=0,導(dǎo)體導(dǎo)體OS有SEint dS=0即 q=02.導(dǎo)體電荷

43、分布在表面導(dǎo)體電荷分布在表面其表面電荷分布狀況 與表面形狀及周圍帶電體有關(guān).(1)孤立導(dǎo)體表面電荷面密度孤立導(dǎo)體表面電荷面密度與曲率半徑有關(guān)與曲率半徑有關(guān)尖端處(曲率大)電荷密度大;平坦處(曲率小)電荷密度小;定性證明定性證明: : 用導(dǎo)線連接相距很遠(yuǎn)的 兩導(dǎo)體球,靜電平衡時(shí)等勢(shì),有R1Q1R2Q2Q1/(40R1)=Q2/(40R2)4R121/(40R1)=4R222/(40R2) R11=R221/2=R2/R1低凹處(曲率負(fù))電密度更小.(2)空腔導(dǎo)體內(nèi)表面帶凈電荷空腔導(dǎo)體內(nèi)表面帶凈電荷與腔內(nèi)凈電荷等值反號(hào)與腔內(nèi)凈電荷等值反號(hào)證明證明: :空腔導(dǎo)體空腔導(dǎo)體QQSint貼近 內(nèi)表作高斯面

44、,因Eint=0,在導(dǎo)體內(nèi)S有SEint dS=0即 qint=0得 QSint= Q(3)空腔導(dǎo)體腔內(nèi)無電荷時(shí)空腔導(dǎo)體腔內(nèi)無電荷時(shí),內(nèi)表面處處無電荷內(nèi)表面處處無電荷空腔導(dǎo)體空腔導(dǎo)體證明證明: :由 QSint=Q得 QSint=0因 Q=0說明內(nèi)表面凈電荷為零.設(shè)內(nèi)表某處A帶正電,A另一處B帶等量負(fù)電.B因腔內(nèi)無電荷,從A到B必有電場(chǎng)線.沿一電場(chǎng)線L積分BAUAUB= Edl0與導(dǎo)體為等勢(shì)體矛盾,故導(dǎo)體內(nèi)表面不同處 有等量異號(hào)電荷的假設(shè)不成立,所以當(dāng)腔內(nèi)無電荷時(shí),內(nèi)表面處處無電荷.3 靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面附靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)近的電場(chǎng)導(dǎo)體導(dǎo)體ES1. ES表面表面;S表面附近作如圖的柱

45、形高斯面,依高斯定理SSE d=底外+底內(nèi)+側(cè)面SE d=ES+0+0=qint/0=S/0E=/02. ES=/0;尖端處,電荷密度大,電場(chǎng)強(qiáng);平坦處,電荷密度小,電場(chǎng)弱.3. 空腔導(dǎo)體腔內(nèi)無電荷時(shí)空腔導(dǎo)體腔內(nèi)無電荷時(shí),腔內(nèi)電場(chǎng)為零腔內(nèi)電場(chǎng)為零因體腔內(nèi)無電荷,內(nèi)表面處處無電荷, 故腔內(nèi)無電場(chǎng)線, 即腔內(nèi)電場(chǎng)為零.四四. 靜電感應(yīng)的應(yīng)用靜電感應(yīng)的應(yīng)用1. 靜電屏蔽靜電屏蔽(1)腔外電荷及外表電荷對(duì)腔內(nèi)電場(chǎng)無影響; 因腔外及外表電荷在導(dǎo)體體內(nèi)和腔內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)為零.(2)接地導(dǎo)體腔內(nèi)部電荷也不影響腔外電場(chǎng);(3)靜電屏蔽裝置:接地導(dǎo)體空腔接地導(dǎo)體空腔因?qū)w電勢(shì)為零.腔內(nèi),腔外的電場(chǎng)互不影響2.尖端

46、放電尖端放電:避雷針避雷針尖端處, E值大, 空氣電離.帶電與 尖端相反的離子中和尖端處電荷,使尖端電荷減少.4有導(dǎo)體存在時(shí)求靜電場(chǎng)有導(dǎo)體存在時(shí)求靜電場(chǎng)物理量的討論方法物理量的討論方法1.導(dǎo)體靜電平衡的條件導(dǎo)體靜電平衡的條件 2.靜電場(chǎng)基本性質(zhì)方程靜電場(chǎng)基本性質(zhì)方程 3.電荷守恒定律電荷守恒定律Eint=0或 導(dǎo)體為等勢(shì)體導(dǎo)體為等勢(shì)體 EdS=qint/0S Edl =0lQi=const例例1.兩兩“無限大無限大”導(dǎo)體板導(dǎo)體板A,B,面面積積S,分別帶電分別帶電Q1,Q2,平行對(duì)稱放平行對(duì)稱放置置.求求:(1)A,B上電荷分布上電荷分布;(2)空間電場(chǎng)分空間電場(chǎng)分布布; (3)將將B板接地板

47、接地,求電荷分布求電荷分布.ABQ1Q2ab1234E1E2E3解解:設(shè)電荷面密度及電場(chǎng)分布如圖. (1)在兩板取a,b兩點(diǎn),因Ea=Eb=0,有1/(20)1/(20)1/(20)1/(20)=01/(20)+1/(20)+1/(20)1/(20)=01+2=Q1/S3+4=Q2/S整理得1234=01+2+34=0另有解得1=4=(Q1+Q2)/(2S)2=3=(Q1Q2)/(2S)(2) E1=(1+2+3+4)/(20) = (Q1+Q2)/(2S0)向左E2=(1+234)/(20) = (Q1Q2)/(2S0)向右E3=(1+2+3+4)/(20) = (Q1+Q2)/(2S0)向

48、右(3)4=01=0因1+2=Q1/S2=Q1/S3=Q1/S 例例2 2.帶電帶電q的金屬球的金屬球A與帶電的與帶電的Q金屬球殼金屬球殼B同心放置同心放置,A半徑半徑r,B內(nèi)內(nèi)外半徑外半徑R1,R2.(1)求電荷分布求電荷分布;(2)求求A和和B的電勢(shì)的電勢(shì)UA,UB.(3)今將球今將球A接接地地,再再求電荷分布及電勢(shì)差求電荷分布及電勢(shì)差UAUB.解解:(1)因A B同心, 電荷球?qū)ΨQ,故rR1R2qQ球A表面均勻帶電q;球殼B內(nèi)表面均勻帶電q,外表面均勻帶電Q+q.(2)UA=q/(40r)q/(40R1) + (Q+q)/(40R2)UB=q/(40R2)q/(40R2)+(Q+q)/(

49、40R2) =(Q+q)/(40R2)(3)球A接地, UA=0.設(shè)A帶電q知B內(nèi)外表帶電q,Q+q,有UA=0=q/(40r)q/(40R1) + (Q+q)/(40R2)q/rq/R1+(Q+q)/R2=0 q(1/r1/R1+1/R2)=Q/R2q=(Q/R2)/(1/r1/R1+1/R2)故球A表面均勻帶帶電q=QrR1/R1(r+R2)rR20球殼B外表面均勻帶帶電QR2(R1r)R1(r+R2)rR2Q+q=0UAUB=UB=(Q+q)/(40R2)Q(R1r)40R1(r+R2)Rr2=解解:接地即U=0. 設(shè)感應(yīng)電 量為例例3.3.半徑為半徑為R的接地導(dǎo)體球附近的接地導(dǎo)體球附近

50、有一線電荷密度為有一線電荷密度為長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的均勻的均勻帶電直線帶電直線, ,如圖所示如圖所示. .求導(dǎo)體上感求導(dǎo)體上感應(yīng)電量應(yīng)電量. .alROQ .導(dǎo)體等勢(shì), U球球=U心心=0由電勢(shì)疊加原理,有0=U球球=U心心球面= dq/(40r)帶電線+ dq/(40r)球面=1/(40R) dqlaa+ dx/(40 x)=Q/(40R)+ln(l+a)/a/(40)Q=Rln(l+a)/a得導(dǎo)體上感應(yīng)電量為例例4.4.一一平行板電容器平行板電容器,極板面積極板面積S,相距相距d,若若B板接地板接地,且保持且保持A板電勢(shì)板電勢(shì)UA=U0不變不變,如圖如圖.把一塊面積相同把一塊面積相同帶電量帶電量

51、Q 的導(dǎo)體的導(dǎo)體薄板薄板C 平行地插平行地插入兩板之間入兩板之間,求板求板C的電勢(shì)的電勢(shì)UC .BUCU0ACQd/32d/3解解:設(shè)A板下表表面, C板上下表面,B上表面電荷密度分別為1,1,2,2.則AC間場(chǎng)強(qiáng)為E1=1/0, CB間場(chǎng)強(qiáng)為E2=2/0.UA=U0= E1dlCA+ E2dlBC=(1/0)d/3+(2/0)2d/3,.(1+22)d/(30)=U0.C板電荷守恒 1+2=Q/S1+22= 30U0/d.解得 1=0U0/d2Q/(3S) 2=0U0/d+Q/(3S)UC= E2dlBC=E22d/3=(2/0)2d/3= 2U0/3+ 2dQ/(90S)8.7 8.7 靜

52、電場(chǎng)中的電介質(zhì)靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)1.介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)極性分子極性分子一一. .電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化正負(fù)電荷中心不重合的分子,等效一電偶極子,分非極性分子非極性分子 正負(fù)電荷中心重合的分子, 分子電矩為零p=0p=ql0子有固有電矩. 2.分子的極化分子的極化(1)極性分子極性分子無外電場(chǎng)時(shí)無外電場(chǎng)時(shí)因熱運(yùn)動(dòng)電矩排列雜亂,宏觀不呈電性;有外電場(chǎng)時(shí)有外電場(chǎng)時(shí) 分子受M=pE作用使p,E夾角變小, p轉(zhuǎn)向E,熱運(yùn)動(dòng)反抗轉(zhuǎn)向.結(jié)果是pE在E正向投影大于負(fù)向投影.的的取向取向極化極化(1)非極性分子非極性分子無外電場(chǎng)時(shí)無外電場(chǎng)時(shí)分子正負(fù)電荷中宏觀 不呈電性;心重合,EF+F有外電場(chǎng)時(shí)有外電

53、場(chǎng)時(shí) 分子中正負(fù)電荷受相反力,正負(fù)電荷中心發(fā)生位移,非極性分子變?yōu)闃O性分子,產(chǎn)生附加電矩p.的的位移位移極化極化2.極化電荷極化電荷 介質(zhì)極化后,分子電矩排列整齊,介質(zhì)中出現(xiàn)極nE極化電荷.對(duì)于 各向同性均勻介質(zhì),極化電荷 只出出現(xiàn)在表面.極化電荷的場(chǎng)要影響外電場(chǎng).極化現(xiàn)象極化現(xiàn)象在外電場(chǎng)作用下介質(zhì)中出現(xiàn)極化電荷,從而影響外電場(chǎng)的現(xiàn)象.二二. .極化強(qiáng)度矢量極化強(qiáng)度矢量P極性分子極性分子電矩p 排列的有序程度,非非極性分子極性分子附加電矩p的大小反映介質(zhì)的極化程度單位單位子電矩的矢量和為pi1.定義定義描述極化強(qiáng)弱的物理量描述極化強(qiáng)弱的物理量取微小體積元V(宏觀上無限宏觀上無限小微觀上無限大小

54、微觀上無限大),V所中有分P=pi/VCm2與面電荷密度同單位與面電荷密度同單位2.極化電荷極化電荷,極化強(qiáng)度的關(guān)系極化強(qiáng)度的關(guān)系(1)逐點(diǎn)關(guān)系逐點(diǎn)關(guān)系P|pi |=(S)l 在極化介質(zhì)內(nèi)順P取長(zhǎng)為l 的微小斜柱體 (可認(rèn)為介質(zhì)均勻極化 ), 它是電偶極子,端面極化電荷S.有V=lScos|P|=|pi|/V=(S)l/(lScos)=|P|cos=Pcos=Pn某處極化電荷面密度某處極化電荷面密度等于該處等于該處極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度P在面法線方向的投影在面法線方向的投影.當(dāng)/2, 極化電荷為負(fù);(2)整體關(guān)系整體關(guān)系某閉合曲面所包圍的極化電荷.便于理解,以平行板電容器內(nèi) 充滿各向同性均勻電介質(zhì)為

55、例.電容器充電后,介質(zhì)極化.取柱形閉合面,它包圍的極化電荷為PSq=S=PS= PdS下底=( + + )PdS下底上底側(cè)面= PdSS三三.介質(zhì)中的高斯定理介質(zhì)中的高斯定理1.介質(zhì)中的電場(chǎng)介質(zhì)中的電場(chǎng)外場(chǎng)E0,極化電荷的場(chǎng)E ,合電場(chǎng) E=E0+E 2.介質(zhì)中的高斯定理介質(zhì)中的高斯定理 EdS=qint/0S=(q0+q)/0=(q0 PdS)/0S0EdS+PS=q03.電位移矢量電位移矢量(1)定義定義D=0E+P描述靜電場(chǎng)的輔助物理量描述靜電場(chǎng)的輔助物理量 DdS=q0intS過閉合曲面的電位移通量等于曲過閉合曲面的電位移通量等于曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和說明說明: 電

56、位移矢量不僅取決于曲面內(nèi)的自由電荷,還取決于曲面外的自由電荷,而且與整個(gè)空間的極化電荷有關(guān); 過閉合曲面D 的通量只與曲面內(nèi)的自由電荷有關(guān).(2)電位移線電位移線(D 線線)起于正自由電荷,終于負(fù)自由電荷；不閉合,不相交,連續(xù).單位單位:C/m2(3)電位移線與電場(chǎng)線的區(qū)別電位移線與電場(chǎng)線的區(qū)別以充電后的其間放各向同性均勻以充電后的其間放各向同性均勻電介質(zhì)的平行板電容器為例說明電介質(zhì)的平行板電容器為例說明E 線線D 線線一般情況一般情況E線線D線不平行線不平行,當(dāng)介質(zhì)當(dāng)介質(zhì)為各向同性介質(zhì)時(shí)為各向同性介質(zhì)時(shí)E線線D線平行線平行.4. D,E,P 的關(guān)系的關(guān)系(1)普遍關(guān)系普遍關(guān)系D=0E+P(2)各向同性介質(zhì)中的關(guān)系各向同性介質(zhì)中的關(guān)系 D,E,P 的關(guān)系的關(guān)系實(shí)驗(yàn)指出,在各向同性介質(zhì)中P與E成正比: P=0E電極化率電極化率 只與介質(zhì)有關(guān),D=0E+P=0E+0E=0(1+)E是一個(gè)無量綱的純數(shù).相對(duì)電容率相對(duì)電容率rr=1+與介質(zhì)有關(guān)的無量綱的純數(shù).=0rE電容率電容率=0r=E與