2006年全國2卷高考文科數(shù)學(xué)解析版

1、2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國 II卷) 數(shù)學(xué)(文史類) 本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第n卷3至 4頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫清楚，并貼好 條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2 .每小題選出答案后，用2 B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用 橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。3 .本卷共1 2小題，每小題5分，共6 0分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的。參考公式如果事件

2、A、B互斥，那么球的表面積公式P(A B) =P(A) P(B) s=4二 R2如果事件A、B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑4 3P(A.B) =P(A).P(B)球的體積公式 V =-JtR3如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么其中R表示球的半徑n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k次的概率是Pn(k) =C：Pk(JP)n”一.選擇題 .(1)已知向量 a=(4,2),向量b=(x, 3),且ab,則x=()(A) 9(B)6(C)5(D)3(2)已知集合 M =x | x <3), N = x |log2 x >1,則 M Pl N =()(A) 0(B) x|0<x&

3、lt;3(C) x|1<x<3(D) x|2<x<3(3)函數(shù)y =sin2xcos2x的最小正周期是()3T3T(A) 2n(B) 4h(C) -(D)-(4)如果函數(shù)y = f(x)的圖像與函數(shù)y' = 3-2x的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則y=f(x)的表達(dá)式為()(A) y=2x-3(B) y=2x+3(C) y = -2x+3(D) y = 2x-32(5)已知AABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓 上+ y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另 3外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則AABC的周長是()(A) 2M(B) 6(C) 4m(D) 12(6)已知等差數(shù)列 、門

4、中，a2=7,a4=15,則前10項(xiàng)的和8=()(A) 100(B)210(C)380(D)400(7)如圖，平面a _L平面B , A a, b= P, AB與兩平面«、口所成的角分別為 二和二。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、B',若AB=12，則A'B'=()(A) (8) (A) (C)464(B) 6(C) 8(D) 9已知函數(shù)f (x) =ln x+1(x >0),則f(x)的反函數(shù)為()y =ex 書(x R R) y =ex+(x >1)(B) y=ex(xwR)x 1 ,(D) y =e (x>1)(9)

5、已知雙曲線(B)2 y b243=1的一條漸近線方程為4y=Wx'則雙曲線的離心率為(©I(D)(10)(A)(11)(A) (12) (A)若 f (sin x) =3 cos2 x,則 f (cos x)=()(D) 3 + sin2x3 -cos2x(B) 3 -sin 2x(C) 3 + cos2x過點(diǎn)(一1, 0)作拋物線y=x2+x + 1的切線，則其中一條切線為 () 2x+y+2=0 (B) 3x y+3 = 0 (C) x+y+1 = 0 (D) x y+1 = 0 5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有 150 種 (B

6、)180 種 (C)200 種 (D)280 種第n卷二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共1 6分，把答案填在橫線上。 ,41 10(13)在(x十一)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是。(用數(shù)字作答)x(14)圓Q是以R為半徑的球 O的小圓，若圓 Q的面積 S和球O的表面積 S的比為§ :S = 2 : 9,則圓心G到球心O的距離與球半徑的比 OOi : R =。(15)過點(diǎn)(1,J2)的直線l將圓(x-2)2 +y2 =4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k=.(16) 一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻三.解答題：本大題共6小

7、題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分1 2分)在 MBC中，/B =45： AC =V10,cosC =25，求 5(1) BC =?(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線 CD勺長度。(18)(本小題滿分1 2分)設(shè)等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S, S4 =1,&=17，求通項(xiàng)公式4 =?(19)(本小題滿分1 2分)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱 5件，一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意出取 2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。(I)求取6件產(chǎn)品中有1件產(chǎn)品是二等品的概率。(II)若抽檢的6件產(chǎn)品中有

8、2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品 被用戶拒絕的概率。(20)(本小題1 2分)如圖，在直三棱柱 ABCAB1G中，AB = BC,D、E分別為BB1、AC1 的中點(diǎn)。(I)證明：ED為異面直線BBi與AG的公垂線；(II)設(shè) AA = AC = J2AB,求二面角 A -AD-Ci的大小(21)(本小題滿分為1 4分)B = x|1 <x<3, aCIB*,設(shè) aw R ,函數(shù) f (x) =ax2 -2x -2a.若 f (x) >0 的解集為 A, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(22)(本小題滿分1 2分)_T已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F, A、B是拋物

9、線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 AF =%FB(九A0).過A、B兩點(diǎn)分別作婚攀的切線，設(shè)其交點(diǎn)為Mo(I)證明FmTjAB為定值;(II)設(shè) MBM的面積為S,寫出S = f (九)的表達(dá)式，并求 S的最小值。2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國 II卷) 數(shù)學(xué)(文史類)(編輯：寧岡中學(xué)張建華)本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第n卷3至 4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫清楚，并貼好 條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2 .每小題選出答案后，用2 B鉛筆把答題

10、卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用 橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。3 .本卷共1 2小題，每小題5分，共6 0分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的。參考公式如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式P(A B) =P(A) P(B) s=4二 R2如果事件A、B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑43P(A.B) =P(A).P(B)球的體積公式 V =-JtR如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么其中R表示球的半徑n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是Pn(k) =C：Pk(JP)n”選擇題(1)已知向量 a= (4, 2),向量 b= ( X,

11、 3),且 ab，則 X = ( B )(A) ,9 $ (B)6(C)5(D)3解：ab = 4X3 2x=0,解得 x=6,選 B(2)已知集合 M =x|x <3), N =x|log2 x Al,則 M n N = ( D )(A) 0(B) x0<x<3(C) x1<x<3(D) x2<x<3解：N =x log2x >1 = x x >2,用數(shù)軸表示可得答案 d(3)函數(shù)y =sin2xcos2x的最小正周期是(D )(A) 2n(B) 4n1 2 二 二.斛析：y =sin 2xcos2x = sin 4x所以取小正周期為 T

12、=一，故選 D2 42(4)如果函數(shù)y = f(x)的圖像與函數(shù)y' = 3-2x的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則y=f(x)的表達(dá)式為(D)(A) y=2x3(B) y=2x+3(C) y = 2x+3(D) y = 2x 3解：以一y, x代替函數(shù)y' = 3 2x中的x, y，得y=f(x)的表達(dá)式為y = 2x 3,選D2(5)已知AABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓上+ y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另 3外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則AABC的周長是(C )(A) 2底(B) 6(C)4/3(D) 12解：(數(shù)形Z合)由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長軸長 為4

13、a=4、.3,所以選C2a,可得 MBC的周長(6)已知等差數(shù)列 匕口中，a2=7,a4=15,則前10項(xiàng)的和S0=(B )(A) 100(B)210(C)380(D)400a4-a215-7解：d= 2 =4 -2=4, ai = 3,所以 So=210,選 B(7)如圖，平面a _L平面P , Act, Be P, AB與兩平面a、P所成的IT TT角分別為 二和二。過a、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、B',若46AB=12，則 A'B' =(A )(A) 4(B) 6(C) 8(D) 9解：連接AB和AB,設(shè)AB=a,可得AB與平面口所成的角為/B

14、AB' = ±4=土，所以 AA = -a,2- 在RBAB中有AB'=a,同理可得 AB與平面P所成的角為 /ABA2因此在RtLlAAB中A'B' =21 2 11一，a)2 -(-a)2 = a,所以 AB : A'B' = a : a =2 :1，故選 A222(8)已知函數(shù)f (x) =ln x+1(x >0),則f(x)的反函數(shù)為(B )(A) y=ex%wR) (C)y=ex*(x>1)(B) y=ex(xWR)(D) y=ex，(x>1)解：y =ln x+1(x >0)= lnx = y-1=

15、x = ey'(yWR)所以反函數(shù)為y = ex(xw R)故選 B2(9)已知雙曲線三 a(A)3(B)2 y b243=1的一條漸近線方程為(C) 5解：雙曲線焦點(diǎn)在x軸，由漸近線方程可得4yWx，(D)4c=一，可得e = 一3a則雙曲線的離心率為(A )3232 42一 35 、，二一，故選A3(10)若 f (sin x) =3 -cos2 x,則 f (cos x) = (C )(A) 3-cos2x(B) 3 -sin 2x(C) 3 + cos2x(D) 3 + sin2x解：f (sin x) = 3 -cos2x = 3-(1 -2sin2 x) = 2sin2 x

16、 2所以 f (x) =2x2+2 ,因止匕 f(cosx) =2cos2x+2 = (2cos2x1) + 3 = 3+cos2x故選 c（11）過點(diǎn)（1,0）作拋物線y=x2+x + 1的切線，則其中一條切線為 （D ）（A）2x+y+2=0 （B）3x y+3=0 （C）x+y+1 = 0 （D） x y+1 = 0解：y'=2x+1,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0）,則切線的斜率為2%+1,且y0=x2+x0+1于是切線方程為y1=（2x°+1）（x x0）,因?yàn)辄c(diǎn)（1,0）在切線上，可解得% =0或4,代入可驗(yàn)正D正確。選D（12） 5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至

17、少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（A） 150 種 （B）180 種 （C）200 種 （D）280 種解：人數(shù)分配上有兩種方式即1,2,2與1,1,3若是1,2,2,則有311C5 c2C13.父A3 = 60種,1,1,3,則有3.父A3 = 90種所以共有150種，選A二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共1 6分，把答案填在橫線上。4110（13）在（x + ）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 45o （用數(shù)字作答） x解：Tr+= C10 xyrl ）r= C；。/0要求常數(shù)項(xiàng)，即40-5r=0,可得r=8代入通項(xiàng)公式可得xTr 1 = C10 = C10 = 45（14）圓O是以R為半徑

18、的球 O的小圓，若圓 Q的面積 S和球O的表面積 S的比為 s :S = 2 :9,則圓心。1到球心O的距離與球半徑的比 OQ : R = 1 ： 3。解：設(shè)圓。1的半徑為r,則§ =冗產(chǎn)，S = 4冗R2,由S1： S = 2:9得r ： R= 2后:3又 r2 +OO12 =R2,可得 OO1： R = 1 : 3（15）過點(diǎn)（1,J2）的直線l將圓（x -2）2 +y2 =4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k=.解：（數(shù)形Z合）由圖形可知點(diǎn)A （1,J2）在圓（x 2）2 + y2 =4的內(nèi)部,圓心為O（2,0）要使得劣弧112所對(duì)的圓心角最小 只能是直線l

19、1 OA，所以冗=-'=建=kOA:22（16） 一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在2500,3000）（元）月收入段應(yīng)抽出一人。解：由直方圖可得2500,3000）（元）月收入段共有10000 M 0.0005500 =2500人10000按分層抽樣應(yīng)抽出2500 M 10° = 25人小頻率/組距.解答題：本大題共6小題，共7 4分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題

20、滿分1 2分)一 2.5在 MBC中，/B =45： AC =Vi0,cosC =5，求 5(1) BC =?(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線 CD勺長度。(18)(本小題滿分1 2分)設(shè)等比數(shù)列4的前n項(xiàng)和為S , S4=1£=17，求通項(xiàng)公式1=?(19)(本小題滿分1 2分)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱 5件，一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意出取件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有 0件、1件、2件二等品，其余為一等品。(I)求取6件產(chǎn)品中有1件產(chǎn)品是二等品的概率。(II)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品 被用戶拒

21、絕的概率。(20)(本小題1 2分)A如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB = BC,D、E分別為BB、AG 的中點(diǎn)。(I)證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；(II)設(shè) AA = AC = J2AB,求二面角 A -AD G的大小(21)(本小題滿分為1 4分)設(shè) awR,函數(shù) f(x)=ax22x2a.若 f(x)>0 的解集為 a, B = x|1 < x <3, Afi B # 6, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（22）（本小題滿分i 2分）T T已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F, A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 AF =?uFB（九A0）.過A、B兩點(diǎn)分別作拋物

22、j線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Mo（I）證明fmIjAB為定值;（II）設(shè) MBM的面積為S,寫出S = f （九）的表達(dá)式，并求 S的最小值。2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國II卷）數(shù)學(xué)（文史類）參考答案、選擇題題號(hào)123456789101112答案BDDDC:B:B:BACDA -、填空題(13) 45; (14) 1; (15) 史；(16) 2532三、解答題17、解：(1)由 cosC =包5得 sinC =貯 553 10一 102八八sinA=sin(180 -45 -C)=(cosC sinC)2c AC .10 3 10 一BC = sin A =3v2由正弦te理知 s

23、in B2102AC AC . c 105 cAB - sin C =- 2(2) sinB42521 BD =-AB =12由余弦定理知CD h：BD2 BC2 -2BD BCcosB= .11821 3.2 ;-2 = 13（18）解：設(shè)%的公比為q,由S4 =1,5 =17知q手1 ,所以得a1(q4 -1) T-1q -1a1(q8 -1)=17q -1由、式得上 q q8 -1整理得q- =17q -1解得q4 =16所以q=2或q=2將q= 2代入式得a1=1,152n 1所以a =2-15將q=2代入式得a1=_1,5n n 1所以 an = (-1)2519解：設(shè)A表示事件“第

24、二箱中取出i件二等品"，i = 0, 1;B表示事件“第三箱中取出i件二等品"，i=0, 1, 2;(1)依題意所求的概率為c； c32 C2 c1 c212P =P(A Bo) P(A0 B1) =P(A)P(Bo) P(Ao)P(B1)= V 逢 V1 C5 C5 C5 C525C42 C32127(2)解法一：所求的概率為 B =1 -P(Ao Bo) -P =1-7 -?-C5 C525 50解法二：所求的概率為P2 =P(A B1) P(A B2) P(A B2) = P(A)P(0) P(Ao)P(Bz) P(A)P(Bz)c；c3 c2 十 c2222C2C2

25、C；C；c；C2217十-r=222c52c；c5250所以 Eo£dB, EOBD20.解法1(I )設(shè)。為Ac中點(diǎn)，連接 EO, BO,則EO&2Gc,又 Cc幺BB,為平行四邊形，ED/OB.2分,. AB = Bc,boxac,又平面 ABC平面 Acc1A1, BO二面ABc,故BOL平面 Acc1A1, .ED,平面 AccA1, BD±Acn ED，cc1， EDXBB1, ED為異面直線 Ac1與BB1的公垂線.6分(n)連接ae,由aa1 = ac = J2ab可知，aacc1為正方形， .A1E±Ac1,又由EDL平面AccA1和ED二

26、平面ADc知平面ADC，平面 AAcc1,，AE,平面 ADC .作 EFXAD,垂足為 F,連接 AF,則 A1A ±AD, / A1FE為二面角A1-AD-g的平面角.不妨設(shè) AA1 = 2,貝UAc = 2, AB = V2ED = OB= 1, EF =AEED ADtan/AiFE = V3, ./AiFE = 60° .所以二面角 A1AD C1為60° . 12分解法二：(I )如圖，建立直角坐標(biāo)系O xyz,其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).設(shè) A(a, 0, 0), B(0, b, 0), Bi(0, b, 2c).則 C(a, 0, 0), Ci(-a,

27、 0, 2c), E(0, 0, c), D(0, b, c).ED = (0, b, 0) , BB1 = (0, 0, 2c). ED BBi = 0,EDXBBi，又AC=( 2a, 0, 2c),八ED AC1 = 0, EDXACi,6 分所以ED是異面直線 BBi與ACi的公垂線.(n)不妨設(shè) A(i, 0, 0),則 B(0, i, 0), BC=(T, i, 0), AB = (-i, i, 0),BC AB = 0, BC AAi= 0,即 BCXAB, BC± AAi,又 ABAAAi = A, .BC，平面 AiAD.又 E(0, 0, i), D(0, i, i), C(-i, 0, i), EC =(-i, 0, T), AE = (-i, 0, i), ED=(0, i, 0),IEC AE = 0, EC ED = 0,即 ECXAE, ECXED,又 AEAED = E, EC!® CiAD,i0 分一 一 EC BC i 一 一cosvEC, BC>=一= =5,即得 EC和 BC 的夾角為 60° .|EC| |BC|所以二面角 A一 AD C為60° . i2分(2i)解：由f (x)為二次函數(shù)知a¥0令 f (x) =0 解得其兩根為