2011-2018年新課標(biāo)全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)試題分類匯編——13.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、2011年一2018年新課標(biāo)全國(guó)卷n理科數(shù)學(xué)試題分類匯編(逐題解析版)13.坐標(biāo)系與參數(shù)方程(2018 22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1x=2c0s° (日為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為y = 4sin 二x =1 l cosay =2 l sin a(l為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2),求l的斜率.(2017 22)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為PcosQ =4 .(1) M為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM | IOP|=16，

2、求點(diǎn)P的軌跡C2的直角 坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,二)，點(diǎn)B在曲線C2上，求&OAB面積的最大值.32(2016 23)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x + 6)2 + y2 = 25.(I)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；x =tcos：(n)直線l的參數(shù)方程是i(t為參數(shù))，l與C交于A, B兩點(diǎn)，AB = /0,求l的斜率.ly =tsin：x = t cos：(2015 23)在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線Ci： W(t為參數(shù)，two)其中0Wot<n ,在以。為y = tsin ;極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲

3、線C2：P=2sinH, C3： P = 2j3cosB .(I)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(n)若Ci與C2相交于點(diǎn)A, Ci與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.(2014 23)在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為P=2cosH,日且0,孚.(I )求C的參數(shù)方程；(n)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l : y =&x + 2垂直，根據(jù)(I )中你得到的參數(shù)方程, 確定D的坐標(biāo).x =2 c o S(2013 23)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P, Q都在曲線C：W,(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為1= ot與y = 2si nt =2久(0 &l

4、t;a <2n) , M 為 PQ 的中點(diǎn).(I )求M的軌跡的參數(shù)方程；(n)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d表示為的函數(shù)，并判斷 M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn). x = 2cos (2012 23)已知曲線Ci的參數(shù)萬程是(中為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極y =3sin軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程是 p= 2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在 C2上，且A, B, C, D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A的極坐標(biāo)為(2,).(I )點(diǎn)A, B, C, D的直角坐標(biāo)；(n)設(shè)P為Ci上任意一點(diǎn)，求|PA2+ |PB|2+ |PC|2+ |PD|2的取值范圍.(2011 23)在直角坐標(biāo)系xO

5、y中，曲線Ci的參數(shù)方程為x=2cosa( u為參數(shù))，M是Ci上的動(dòng)點(diǎn),y = 2 2sin ;uuv uuvP點(diǎn)滿足OP =2OM , P點(diǎn)的軌跡為曲線 C2.(I)求C2的方程；(n)在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線e =工與Ci的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B,求|AB|.2011年2018年新課標(biāo)全國(guó)卷II理科數(shù)學(xué)試題分類匯編13.坐標(biāo)系與參數(shù)方程（逐題解析版）（2018新課標(biāo)H, 22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x =2cos8 （ 8為參數(shù)），直線l的參y =4sin 數(shù)方程為卜=1 * c0Sa（l為參數(shù)）.y =2 l si

6、n a（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）,求l的斜率.【基本解法】解法一：因?yàn)?曲線C的參數(shù)方程為!x=2cos6 （日為參數(shù)）Jy = 4sin122所以曲線C直角坐標(biāo)方程為 二+L=1416因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為卜=1 +lcosa （ l為參數(shù)）.|y =2，l sin a所以 當(dāng)口 #工+kn,k w Z時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為 y =tanc（x+2tanct 2 當(dāng)o（=Z+kn,kWZ時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為 x =1 2(2)解法一：點(diǎn)差法： 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A、B,坐標(biāo)分別為（xi, yi卜儼也）,中點(diǎn)P.-22xi .

7、 yi =1則有11 16 作差可知:xJ . yJ =1,416kAB kop - -e -1kAB 2 = U '所以 kAB =2”一116解法二：參數(shù)法： 將直線l的參數(shù)方程代入 C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于 t的方程221 3cos .it 4 2cos 二：1 sin :工)t - 8 = 0t1t24 2cosc. -sin 二Z«21 3cos ;由題意可知：t12 =02 c o：ssin- =0 1 t a省-解法三：直角坐標(biāo)法:22x y=1416二y = tan -：:x 2 -tan 工(4 +tan2a Jx2 +2tana(2 -tana )x

8、+ (2tanct 2 _16 = 02tan y. 2 2 -tan 工所以 x1 + x2 = -22 = 2解得：tan a = -24 tan 工 i（2017 22）選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為 Pcos9=4.（1） M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,三），點(diǎn)B在曲線C2上，求&OAB面積的最大值. 3（2017 22）解析：（1）解法一：設(shè) P點(diǎn)在極坐標(biāo)下坐標(biāo)為（p,e）_,

9、八小一"八6），一 一八八由OM OP =16可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為 Q ，代入曲線C1的極坐標(biāo)方程，得： IP，P ,化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y2 = 4x,由題意知P>0 ,16cosQ =4 ,即P = 4cs 6 ,兩邊同乘以 P所以檢驗(yàn)得x2 + y2 = 4x（x o 0）.解法二：設(shè)P點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)為 （x, y卜曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x =4,因?yàn)镺,P, M三點(diǎn)共線,所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為，4,8 i,代入條件 OM OP =16得：J16+26y_，Jx2 + y2 =16 ,因?yàn)閤 a 0 , V x ）x x化簡(jiǎn)彳導(dǎo):x2+y2 =4x(x #0).（2）

10、解法一：由（1）知曲線 C2的極坐標(biāo)方程為P =4cosH ,故可設(shè) B點(diǎn)坐標(biāo)為（4 coS Q ）,c 1c，S OAB = - 2 4cos 712ji _sin( 1)3=2j3cos62 -2sin c cos6= |V3cos2日-sin 2日+出= 2sin(2 一4 他EHW 一得s BW2+J3,即最大值為2 + J3.322解法二：在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,、/3）,直線OA的方程為J3x-y = 0.|V3x - y設(shè)點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)（x, y）,則點(diǎn)B到直線OA的距離d 21 |>/3x - y所以SOAB =2 2d 一2一，又因?yàn)辄c(diǎn)B坐標(biāo)滿足方程(x-2)2 +

11、 y2 =4,由柯西不等式得:"(x-2)2 +y21后 +(-1)2>3(x-2)-yf,即一4 W 73(x _ 2) _ y W4 ,即-4+2V3 <73x-y <4 + 273事- 1底一yL -由 S而AB=2得，SmabW2 + J3-（2016 23）【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x + 6）2 + y2 = 25 .（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；一、一 x =tcos：,(n)直線l的參數(shù)萬程是V(t為參數(shù))Jy =tsin：l與C交于A, B兩點(diǎn)，AB = 再，求l

12、的斜率.(2016 23)解析：整理圓的方程得 x2 +y2+12+11 =0. 一222:=x y,由<PcosH=x可知，圓C的極坐標(biāo)方程為s sin - yP2 +12Pcos8+11 =0.(2)記直線的斜率為k ,則直線的方程為kx y =0 ,由垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式知：|-6k1k227252236k901 k2,整理得k2=5 ,則k=±", 33(2015 23)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線x = t cos ;心(t為參數(shù)，tw0)其中0 Wot 冗，在以。為y = tsin ;C2:P=2sin8, C3

13、：P=2*cos8.C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2015 23)C1與C2相交于點(diǎn)解析：(I)曲線A, C1與C3相交于點(diǎn)B,C2的直角坐標(biāo)方程為求|AB|的最大值.x2+y2 2y = 0 ,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2 +y2 -2x=0.聯(lián)立:'22 _x y -2y = 0x2 y2 -2.3x =0,5x =2，所以C2與C3交點(diǎn)的直角3y=2坐標(biāo)為(0,0) (,3).2 2(H)曲線C1的極坐標(biāo)方程為8=O(PWRP¥0),其中0Eo(<Ji,因此A的極坐標(biāo)為(2sina,a), B的極坐標(biāo)為兀(2V3cosct,c(),所以 | AB|=|2sino(

14、273cosa |=4|sinQ 二)|,3出 5二當(dāng)ot =6時(shí)，| AB|取得最大值，最大值為 4.(2014 23)在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為P=2cos8, 8亡0,紅(I )求C的參數(shù)方程；(n)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l : y = J3x + 2垂直，根據(jù)(I )中你得到的參數(shù)方程, 確定D的坐標(biāo).(2014 23)解析：(I)設(shè)點(diǎn) M(x, y)是曲線 C 上任意一點(diǎn)，= P = 2cos9 ,x2 + y2 = 2x ,2 2x =1 cos ;即：(x -1) +y =1 ,，C的參數(shù)方程為( 巾(平為參數(shù)

15、，0 M5Mn).y 二 sin(n)設(shè)點(diǎn)D(1+cos(K sin(f), 1.C在D處的切線與直線l： y = J3x+2垂直，直線 CD和l的斜率相sin :同，=tantP =73, . 0 <tp <H , 邛=,cos3sin12 cos :2.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,2x =2 coS 一(2013 23)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P, Q都在曲線C：,(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為1= 口與y = 2si nt =2汽(0 <Of <2g , M 為 PQ 的中點(diǎn).(I )求M的軌跡的參數(shù)方程；(n)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d表示為0(的函數(shù)，并判斷 M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).(2

16、013 23)解析：(I)依題意有 P(2cos a, 2sin % Q(2cos 2 a, 2sin 2 a),因此 M(cos a+ cos 2 a, sin a+x =cos：lcos2：sin 2 0. M的軌跡的參數(shù)萬程為 (a為參數(shù)，0V a< 2兀)y =sin.:+sin2 ;(n) M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d =Jx2+y2 = j2+2coso( (0v2兀.)當(dāng)a=兀時(shí)，d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn). x =2cos 中 一 (2012 23)已知曲線Ci的參數(shù)萬程是(華為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極y =3sin :軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程

17、是p= 2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在 C2上，且A, B, C, D依TT逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A的極坐標(biāo)為(2,j).(I )點(diǎn)A, B, C, D的直角坐標(biāo)；(n)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA2+ |PB|2+ |PC|2+ |PD|2的取值范圍.(2012 23)解析：(I)依題意，點(diǎn) A, B, C, D的極坐標(biāo)分別為(2:),(2,2),(2，也),(2,小). 3636所以點(diǎn)a, b, c, d的直角坐標(biāo)分別為(1,拘、(73,1)、(1,-73)、(73,1).(衛(wèi)) 設(shè)P(2cos23sin 中),則 |P A|P2B|力 PC|=|P D| 十122中c o s2)(-.3-

18、2cos )2 (1-3sin )2 (-1 -2cos )2 (- 3-3sin )2 ( 3-2cos )2 (-1-3sin )2 二16cos2 : 36sin216=32 20sin2,三 32,521.所以 |PA|2 +|PB |2 +| PC |2 +| PD |2 的取值范圍為 132,52 L(2011 23)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C)的參數(shù)方程為|x = 2cosa( ct為參數(shù))，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，y = 2 2sin ; uuv uuvP點(diǎn)滿足OP =2OM , P點(diǎn)的軌跡為曲線 C2.(I )求C2的方程；(n)在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線日=2與Ci的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A,與C2的