2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（天津.理）含答案

1、.2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜瓶茢?shù)學(xué)試題天津卷源頭學(xué)子小屋本試卷分第卷選擇題和第卷非選擇題兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘 第卷1至2頁(yè)，第卷3至10頁(yè) 考試完畢后，將本試卷和答題卡一并交回 祝各位考生考試順利!第卷本卷須知：1 答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼 2 每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào) 答在試卷上的無(wú)效 3 本卷共10小題，每題5分，共50分 參考公式：·假如事件互斥，那么球的外表積公式·假如事件互相獨(dú)立，那么其中表示

2、球的半徑一、選擇題：在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的 1 是虛數(shù)單位， 2 設(shè)變量滿足約束條件那么目的函數(shù)的最大值為 4 11 12 143 “是“的 充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件4 設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，那么此雙曲線的方程為 5 函數(shù)的反函數(shù)是 6 設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，以下四個(gè)命題中，正確的命題是 假設(shè)與所成的角相等，那么 假設(shè)，那么 假設(shè)，那么 假設(shè)，那么7 在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，假設(shè)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù) 在區(qū)

3、間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù) 在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)8 設(shè)等差數(shù)列的公差不為0， 假設(shè)是與的等比中項(xiàng)，那么 2 4 6 89 設(shè)均為正數(shù)，且， 那么 10 設(shè)兩個(gè)向量和，其中為實(shí)數(shù) 假設(shè)，中央電視臺(tái)的取值范圍是 2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試天津卷數(shù)學(xué)理工類第卷本卷須知：1 答案前將密封線內(nèi)的工程填寫(xiě)清楚 2 用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上 3 本卷共12小題，共100分 二、填空題：本大題共6小題，每題4分，共24分，把答案填在題中橫線上 11 假設(shè)的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為，那么用數(shù)字作答 12 一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3

4、，那么此球的外表積為 13 設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為，那么 14 兩圓和相交于兩點(diǎn)，那么直線的方程是 15 如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，那么 16 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，那么不同的涂色方法共有種用數(shù)字作答 三、解答題：本大題共6小題，共76分 解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 17 本小題總分值12分函數(shù) 求函數(shù)的最小正周期；求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值 18 本小題總分值12分甲盒內(nèi)有大小一樣的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小一樣的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球 現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球 求取出的4

5、個(gè)球均為黑球的概率；求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 19 本小題總分值12分如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn) 證明；證明平面；求二面角的大小 20 本小題總分值12分函數(shù)，其中 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值 21 本小題總分值14分在數(shù)列中，其中 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和；證明存在，使得對(duì)任意均成立 22 本小題總分值14分設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的間隔 為 證明；設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程 2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜瓶茢?shù)

6、學(xué)試題必修+選修天津卷源頭學(xué)子小屋參考解答一、選擇題：此題考察根本知識(shí)和根本運(yùn)算 每題5分，總分值50分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空題：此題考察根本知識(shí)和根本運(yùn)算 每題4分，總分值24分 11 212 13 314 15 16 390三、解答題17 本小題考察三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等根底知識(shí)，考察根本運(yùn)算才能 總分值12分 解： 因此，函數(shù)的最小正周期為 解法一：因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為 解法二：作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為

7、，最小值為 18 本小題主要考察互斥事件、互相獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等根底知識(shí)，考察運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的才能 總分值12分 解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球?yàn)槭录?，“從乙盒?nèi)取出的2個(gè)球均為黑球?yàn)槭录?由于事件互相獨(dú)立，且， 故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為 解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球?yàn)槭录?，“從甲盒?nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球?yàn)槭录?由于事件互斥，且， 故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為 解：可能的取值為 由，得， 從而 的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望 19 本小題

8、考察直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等根底知識(shí)，考察空間想象才能、運(yùn)算才能和推理論證才能 總分值12分 證明：在四棱錐中，因底面，平面，故 ，平面 而平面， 證明：由，可得 是的中點(diǎn)， 由知，且，所以平面 而平面， 底面在底面內(nèi)的射影是， 又，綜上得平面 解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié) 那么知，平面，在平面內(nèi)的射影是，那么 因此是二面角的平面角 由，得 設(shè)，可得 在中，那么 在中， 所以二面角的大小是 解法二：由題設(shè)底面，平面，那么平面平面，交線為 過(guò)點(diǎn)作，垂足為，故平面 過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故 因此是二面角的平面角 由，可得，設(shè)，可得 ， 于是， 在中， 所以二面角的大小是 20 本小

9、題考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等根底知識(shí)，考察運(yùn)算才能及分類討論的思想方法 總分值12分 解：當(dāng)時(shí)，又， 所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即 解： 由于，以下分兩種情況討論 1當(dāng)時(shí)，令，得到， 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù) 函數(shù)在處獲得極小值，且，函數(shù)在處獲得極大值，且 2當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) 函數(shù)在處獲得極大值，且 函數(shù)在處獲得極小值，且 21 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考察等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、

10、數(shù)列求和、不等式的證明等根底知識(shí)與根本方法，考察歸納、推理、運(yùn)算及靈敏運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的才能 總分值14分 解法一：， 由此可猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式為 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明 1當(dāng)時(shí)，等式成立 2假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立 根據(jù)1和2可知，等式對(duì)任何都成立 解法二：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，式減去式，得， 這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和 當(dāng)時(shí)， 這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和 證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明： 由知，要使式成立，只要，因?yàn)?所以式成立 因此，存在，使得對(duì)任意均成立 22 本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等根底知識(shí)，考察曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的根本思想方法及推理、運(yùn)算才能 總分值14分 證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中 由于點(diǎn)在橢圓上，有，即 解得，從而得到 直線的方程為，整理得 由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的間隔 為，即，將代入上式并化簡(jiǎn)得，即 證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為 過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故 由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即 解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中， 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組將式代入式，得，整理得，于是， 由式得 由知 將式和式代入得， 將代入上式，整理得 當(dāng)時(shí)