創(chuàng)新設(shè)計2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教b版選修4-5配套課件：3.2.1、2《用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式》.

1、課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動1會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式2了解貝努利不等式，學(xué)會貝努利不等式的簡單應(yīng)用3會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式3.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，貝努利不等式32.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式32.2用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式 課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動自學(xué)導(dǎo)引1貝努利不等式：設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則 .2設(shè)為有理數(shù)，x1，如果01，則(1x) 1x；如果1，則(1x) 1x，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立(1x)n1nxx0課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動答

2、案C課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動答案D課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動知識點1用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式【例1】 設(shè)x1，x2，xn為實數(shù)，證明：|x1x2 xn|x1|x2|xn|.證明(1)|x1x2|x1|x2|，n2時命題成立(2)設(shè)命題nk (k2)時成立，即|x1x2xk|x1|x2|xk|，課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動于是，當(dāng)nk1時，|x1x2xk1|(x1x2xk)xk1|x1x2xk|xk1|x1|x2|xk|xk1|.即當(dāng)nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對于任意

3、nN*命題都成立課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動1證明不等式|sin n|n|sin | (nN)證明(1)當(dāng)n1時，上式左邊|sin |右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1)時，命題成立，即有|sin k|k|sin |.當(dāng)nk1時，|sin(k1)|sin(k)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|sin |課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動k|sin |sin |(k1)|sin |.即當(dāng)nk1時不等式成立由(1)(2)可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動知

4、識點2用數(shù)學(xué)歸納法證明平均值不等式證明不妨設(shè)anan1a10，若a1an，則a1a2an，此時原不等式中等號成立設(shè)ana1 (n2)課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動反思感悟：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的第二步，設(shè)nk時命題成立，證nk1時命題也成立時，往往要通過放縮法來實現(xiàn)nk1時命題所需要的形式課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動2證明：如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1，a2，an的乘積a1a2an1，那么它們的和a1a2ann

5、.證明(1)當(dāng)n1時，a11，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，命題成立即若k個正數(shù)的乘積a1a2ak1，則a1a2akk.當(dāng)nk1時，已知k1個正數(shù)a1，a2，ak，ak1滿足條件a1a2ak11.課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動若這k1個正數(shù)a1，a2，ak，ak1都相等，則它們都是1，其和為k1，命題得證若這k1個正數(shù)a1，a2，ak，ak1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)也有小于1的數(shù)(否則與a1a2ak11矛盾)不妨設(shè)a11，a21，a20a1a2akak1k10，即a1a2akak1k1，當(dāng)nk1時命題成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，如果n個正數(shù)a1，a2，an的乘

6、積a1a2an1，那么它們的和a1a2ann成立課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動知識點3用數(shù)學(xué)歸納法證明柯西不等式課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動反思感悟：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，難點不在于數(shù)學(xué)歸納法的原理，而在于如何變形放縮以便于用上假設(shè)，再經(jīng)過變形運算使命題得證課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動知識點4用數(shù)學(xué)

7、歸納法證明貝努利不等式【例4】 設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則(1x)n1nx.證明(1)當(dāng)n2時，由x0，知(1x)212xx212x，因此n2時命題成立課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動(2)假設(shè)nk(k2為正整數(shù))時命題成立，即(1x)k1kx，則當(dāng)nk1時，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21(k1)x.即nk1時，命題也成立由(1)，(2)及數(shù)學(xué)歸納法知原命題成立課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動反思感悟：(1)在證明過程中適當(dāng)放縮或采用多種方法去嘗試(2)要注意記憶這種形式課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課前自主學(xué)習(xí)課前自主學(xué)習(xí)課堂講練互動課堂講練互動課堂小結(jié) 數(shù)學(xué)歸納法能證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，但并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法證明證明不等式的難點在于對命題的變形在推證nk1命題成立時，往往利用放縮法通過增加一些項(或舍去一些項)或利用二項式定理后舍去一些項達(dá)到滿足nk1時所需要的形式有時也會利用比較法證明nk1時命題成立