《必修2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

1、.適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域蘇教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，求圓的方程的一般方法教學(xué)目標(biāo)會(huì)用待定系數(shù)法求圓的方程教學(xué)重點(diǎn)求圓的方程教學(xué)難點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)膱A的方程【教學(xué)建議】圓的方程是在直線的基礎(chǔ)上進(jìn)一步讓學(xué)生建立方程研究幾何圖形性質(zhì)的思想。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問(wèn)題的興趣?！局R(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入1.如何寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的方程？2.如果圓心在，半徑為時(shí)又如何呢？3.把圓的方程化簡(jiǎn)之后形式如何？4.這種化簡(jiǎn)之后的形式有沒有限制條件？二、知識(shí)講解考點(diǎn)1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程（xa)2(yb)2r2 叫做以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程。特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)，半徑為r時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=r2.注：圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個(gè)獨(dú)立變量即可。考點(diǎn)2 圓的一般方程把x2y2DxEyF=0配方得： (1)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示以（，）為圓心,為半徑的圓。（2）當(dāng)D2E24F=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解，即只表示一個(gè)點(diǎn)（，）。（3）當(dāng)D2E24F<0時(shí)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程x2y2DxEyF=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D2E24F0時(shí)，它表示的曲線才是圓。我們把形如x2y2DxEyF=0 (D2E24F0)的方程稱為圓的一般

3、方程，其特點(diǎn)為：x2和y2的系數(shù)相同且為1;沒有含xy的二次項(xiàng)D2E24F0.三 、例題精析例題1類型一 求圓的方程在平面直角坐標(biāo)系中，記二次函數(shù)（）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求圓的方程；（3）問(wèn)圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與的無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論【解析】（1）令，得拋物線于軸的交點(diǎn)是令，得，由題意且，解得且（2）設(shè)所求圓的一般方程為令，得，這與是同一個(gè)方程，故，令，得，此方程有一個(gè)根為，代入得所以圓的方程為（3）圓必過(guò)定點(diǎn)，證明如下：將代入圓的方程，得左邊，右邊所以圓必過(guò)定點(diǎn)；同理可證圓C必過(guò)定點(diǎn).【總結(jié)與反思】1.確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，

4、即列出關(guān)于的方程組，求或直接求出圓心和半徑.2.待定系數(shù)法求圓的步驟：（1） 根據(jù)題意設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2） 根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組；（3） 解方程組，求出的值，并代入所設(shè)的方程，得到圓的方程.例題2 已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0）由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以，于是有， 因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程即 把代入得整理得所以，點(diǎn)M的軌跡方程為?！究偨Y(jié)與反思】 方程中含有三個(gè)參變數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，才能確定一個(gè)圓，還要

5、注意圓的一般式方程與它的標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化.四、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1. 已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2. 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.3. 寫出圓心為，半徑長(zhǎng)為5的圓的方程，并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上.4. 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，求它的外接圓的方程.5.求以為圓心，并且和直線相切的圓的方程.答案與解析1【解析】 (x-8)2 + (y+3)2 = 252【解析】（1）是圓,圓心為(1/2,-3/2),半徑為1/2 （2）不是圓.3【解析】 ,點(diǎn)M1在圓上，點(diǎn)M2不在圓上4【解析】（x-2）2+（y+3）2=25256255【解析】(x-1)2+(y-3)2=鞏

6、固1. 圓關(guān)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程 .2. 過(guò)點(diǎn)向圓所引的切線方程 .3.過(guò)點(diǎn)，圓心在軸上的圓的方程是 .4. 求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).5. 已知一個(gè)圓的直徑端點(diǎn)是，試求此圓的方程 .答案與解析1【解析】（x-2）2+y2=5 2【解析】x=2或3x-4y+10=03【解析】（x-2）2+y2=104【解析】圓心坐標(biāo)為（4，-3）圓的半徑r=5圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-4）2+（y+3）2=255【解析】(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0拔高1. 已知圓的圓心在直線上，且與直線切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2. 已知圓 求：過(guò)點(diǎn)的切線方程. 過(guò)點(diǎn)的切線方程

7、3. 設(shè)直線和圓相交于，求弦的垂直平分線方程. 4. 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程. 5.根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)P(2,4)、Q(3，1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6；(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點(diǎn)P(3，2)答案與解析1【解析】（x-1）2+（y+2）2=22【解析】（1）4x-3y-25=0（2）21x-20y+145=0或x=-53【解析】3x-2y-3=04【解析】x2+y2-11x+3y-30=05【解析】(1)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得又令y0，得x2DxF0.設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2

8、|6有D24F36，由、解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(2)方法一如圖，設(shè)圓心(x0，4x0)，依題意得1，x01，即圓心坐標(biāo)為(1，4)，半徑r2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.方法二設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，根據(jù)已知條件得.因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.五、課堂小結(jié)一方法規(guī)納利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接求出圓心和半徑.比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小，能得出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.借助弦心距、弦、半徑之間的關(guān)系計(jì)算時(shí)，可大大化簡(jiǎn)計(jì)算的過(guò)程與難度.二圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法：根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于的方程

9、組，解方程組得到得值，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.根據(jù)確定圓的要素，以及題設(shè)條件，分別求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，然后再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.三待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，在以前也已運(yùn)用過(guò).例如：由已知條件確定二次函數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系確定一元二次方程的系數(shù)等.這種方法在求圓的方程有著廣泛的運(yùn)用，要求熟練掌握.四.使用待定系數(shù)法的一般步驟：根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；解出或，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.六、課后作業(yè)基礎(chǔ)1 若直線axby1與圓x2y21相交，則P(a，b)和圓的關(guān)系為_2 已知圓C：x2y2mx40上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線xy30對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為_3 已知圓的

10、半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x4y40相切，則圓的方程是_4 已知圓x2y22x4ya0關(guān)于直線y2xb成軸對(duì)稱，則ab的取值范圍是_5若PQ是圓O：x2y29的弦，PQ的中點(diǎn)是M(1,2)，則直線PQ的方程是_答案與解析1【解析】由已知條件<1，即a2b2>1.因此點(diǎn)P(a，b)在圓外2【解析】圓上存在關(guān)于直線xy30對(duì)稱的兩點(diǎn)，則xy30過(guò)圓心，即30，m6.3【解析】設(shè)圓心為C(m,0) (m>0)，因?yàn)樗髨A與直線3x4y40相切，所以2，整理得：|3m4|10，解得m2或m(舍去)，故所求圓的方程為(x2)2y24.4【解析】圓的方程化為(x1)2(y

11、2)25a，其圓心為(1,2)，且5a>0，即a<5.又圓關(guān)于直線y2xb成軸對(duì)稱，22b，b4.aba4<1.5【解析】由圓的幾何性質(zhì)知kPQkOM1.kOM2，kPQ，故直線PQ的方程為y2(x1)，即x2y50.鞏固1過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相交所得弦的長(zhǎng)為，則該直線的方程為_2圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為，直線交圓于兩點(diǎn)(1)當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，求直線的方程2. 已知AC、BD為圓O：x2y24的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為_3. 已知圓C和直線x6y100相切于點(diǎn)(4，1)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,6)，求圓C的方程5圓C

12、通過(guò)不同的三點(diǎn)P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，試求圓C的方程答案與解析1【解析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，又相交所得弦長(zhǎng)為，故相交弦為圓的直徑，由此得直線過(guò)圓心，故所求直線方程為.2【解析】(1)(2) .3【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)F，BD的中點(diǎn)E，則OEBD，OFAC.又ACBD，四邊形OEMF為矩形，設(shè)OFd1，OEd2，ddOM23.又AC2，BD2，S四邊形ABCDAC·BD2·2.0d3.當(dāng)d時(shí)，S四邊形ABCD有最大值是5.4【解析】因?yàn)閳AC和直線x6y100相切于點(diǎn)(4，1)，所以過(guò)點(diǎn)(4，1)的直徑所在直線的斜率為6

13、，其方程為y16(x4)，即y6x23.又因?yàn)閳A心在以(4，1)，(9,6)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線，即5x7y500上，由解得圓心坐標(biāo)為(3,5)，所以半徑為，故所求圓的方程為(x3)2(y5)237.5【解析】設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，則k、2為x2DxF0的兩根，k2D,2kF，即D(k2)，F(xiàn)2k，又圓過(guò)R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圓的方程為x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圓心坐標(biāo)為.圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，kCP1，k3.D1，E5，F(xiàn)6.所求圓C的方程為x2y2x5y60.拔高1 直線與圓相切，則實(shí)數(shù)_2 過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_3 已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值4.設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡答案與解析1【解析】2【解析】3【解析】(1)原方程化為(x2)2y23，表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓設(shè)k，即ykx，當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí)，解得k±.故的最大值為，最