標準曲線的最小二乘法擬合和相關系數(shù)

1、標準曲線的最小二乘法擬合與相關系數(shù) 尹情勝標準曲線的最小二乘法擬合和相關系數(shù)（合肥工業(yè)大學控釋藥物研究室 尹情勝）1 目的用最小二乘法擬合一組變量（xi，yi，i1-n）之間的線性方程（yax+b），表示兩變量間的函數(shù)關系；（開創(chuàng)者：德國數(shù)學家高斯）一組數(shù)據(jù)（xi，yi，i1-n）中，兩變量之間的相關性用相關系數(shù)（R）來表示。（開創(chuàng)者：英國統(tǒng)計學家卡爾·皮爾遜）2 最小二乘法原理用最小二乘法擬合線性方程時，其目標是使擬合值（yi）與實測值（yi）差值的平方和（Q）最小。Qi1n（yiyi)2i1n（yiaxi-b)2 式（1）3 擬合方程的計算公式與推導當Q最小時，Qa0，Qb0；得

2、到式（2）、式（3）：Qa=2(ai=1nxi2+bi=1nxi-i=1nxiyi)=0 式（2）Qb=2(ai=1nxi+nb-i=1nyi)=0 式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：i=1nxiyiai=1nxi2+bi=1nxi 式（4）i=1nyiai=1nxi+nb 式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以i=1nxi，兩式相減并整理得斜率a：斜率 ani=1nxiyi-i=1nxii=1nyini=1nxi2-(i=1nxi)2 （kxyxx，n*積和-和積）式（6）截距b的計算公式為公式（5），也即：截距 b1n（i=1nyi-ai=1nxi） b（y-x）n，差平

3、均差）式（7）4 相關系數(shù)的意義與計算公式相關系數(shù)（相關系數(shù)的平方稱為判定系數(shù)）是用以反映變量之間相關關系密切程度的統(tǒng)計指標。相關系數(shù)（也稱積差相關系數(shù)）是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關程度；著重研究線性的單相關系數(shù)。相關系數(shù)rxy取值在-1到1之間。rxy = 0時，稱x,y不相關； | rxy | = 1時，稱x,y完全相關，此時，x,y之間具有線性函數(shù)關系； | rxy | < 1時，X的變動引起Y的部分變動，rxy的絕對值越大，x的變動引起y的變動就越大， |rxy | > 0.8時稱為高度相關，當0.5<

4、| rxy|<0.8時稱為顯著相關，當 0.3<| rxy |<0.5時，成為低度相關，當 | rxy | < 0.3時，稱為無相關。rxy=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2 (xy/x2y2)，Lxy/LxxLyy) 式（7） 5 臨界相關系數(shù)的意義5.1 臨界相關系數(shù)中顯著性水平（）與置信度（P）的關系顯著性水平取0.05，表示置信度為95%；取0.01，置信度就是99%。在正常的分布條件下，一般要求實際值位于置信區(qū)間的概率應該在95%以上，這個置信區(qū)間為Y±2S，從而置信區(qū)間的上下限分別為：Y1=a+bX+2S，Y2=a+bX

5、-2S。5.2 臨界值表中自由度（f）自由度(degree of freedom, f)在數(shù)學中能夠自由取值的變量個數(shù)，如有3個變量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在統(tǒng)計學中，自由度指的是計算某一統(tǒng)計量時，取值不受限制的變量個數(shù)。通常f=n-k。其中n為樣本含量，k為被限制的條件數(shù)或變量個數(shù)，或計算某一統(tǒng)計量時用到其它獨立統(tǒng)計量的個數(shù)。自由度通常用于抽樣分布中。f=np1其中：n為樣本數(shù)(點的個數(shù))，p為因子數(shù)（p元回歸，一元線性回歸，p1）。5.3 相關系數(shù)臨界值表附表7. 相關系數(shù)臨界值表（自由度fn-2）  n20.100.050.020.010.001&#

6、183; n21234567891011121314151617181920253035404550607080901000.987 690.900 000.805 40.729 30.669 40.621 50.582 20.549 40.521 40.497 30.476 20.457 50.440 90.425 90.412 40.400 00.388 70.378 30.368 70.359 80.323 30.296 00.274 60.257 30.242 80.230 60.210 80.195 40.182 90.172 60.163 80.099 6920.950 000.8

7、78 30.811 40.754 50.706 70.666 40.631 90.602 10.576 00.552 90.532 40.513 90.497 30.482 10.468 30.455 50.443 80.432 90.422 70.380 90.349 40.324 60.304 40.287 50.273 20.250 00.231 90.217 20.205 00.194 60.999 5070.980 000.934 330.882 20.832 90.788 70.749 80.715 50.685 10.658 10.633 90.612 00.592 30.574

8、 20.557 70.542 50.528 50.515 50.503 40.492 10.445 10.409 30.381 00.357 80.338 40.321 80.294 80.273 70.256 50.242 20.230 10.999 8770.990 000.958 730.917 200.874 50.834 30.797 70.764 60.734 80.707 90.683 50.661 40.641 10.622 60.605 50.589 70.575 10.561 40.548 70.536 80.486 90.448 70.418 20.393 20.372 10.354 10.324 80.301 70.283 00.267 30.254 00.999 998 80.999 000.991 160.974 060.950 740.924 930.898 20.872 10.847 10.823 30.801 00.780 00.760 30.742 00.724 60.708 40.693 20.678 70.665 20.652 40.597 40.554 10.