泛函分析讀書筆記副本_7407

1、泛函分析讀書筆記Reading Notes about Functional Analysis崔繼峰所謂的泛函呢，就是一般函數(shù)，泛函分析當(dāng)然就是一般函數(shù)的分析研究。在學(xué)習(xí)泛函之前，需要有扎實的實變函數(shù)知識。大學(xué)期間，曾用半年時間學(xué)過由南開大學(xué)劉炳初教授編著，科學(xué)出版社出版的泛函分析，講課的是哈爾濱工業(yè)大學(xué)的包革軍教授，他講泛函的最大特點是把泛函與幾何圖形有機結(jié)合，把艱深的純理論講的惟妙惟肖。在進入研究生學(xué)習(xí)階段， 泛函分析作為計算數(shù)學(xué)研究生的基礎(chǔ)理論課程， 是必選的。我們選用的教材是由武漢大學(xué)劉培德教授主編，武漢大學(xué)出版社出版的泛函分析（第二版），該教材是面向本科生的，系里之所以考慮選擇此教材

2、， 是由于考慮到有些學(xué)生在本科階段沒有或者很粗淺的認(rèn)識了泛函分析這門課程，主講該課程的是高云蘭博士，她的方向就是算子方面的研究，所以講解該課程那是輕車熟路了。課時大約是 48 學(xué)時（粗略估計）。由于以下兩方面的原因： 1）對于泛函分析認(rèn)識很粗淺； 2）第一次寫讀書筆記（尤其是專業(yè)課類），不知道如何從略。所以讀書筆記可能從在諸多問題，希望老師見諒！下面我從幾個方面寫本學(xué)期學(xué)習(xí)泛函分析的感受和認(rèn)識。我本著這樣態(tài)度寫該筆記： 1）了解泛函是什么，泛函的發(fā)展（很多教材把這個從略） 2）把空間的理論知識系統(tǒng)學(xué)習(xí)，對于其他理論的學(xué)習(xí)作拋磚引玉之用。 3）學(xué)習(xí)泛函的實際作用（也就是附錄里的濾波器理論的應(yīng)用）

3、。泛函分析是研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射的分支學(xué)科。它是 20 世紀(jì) 30 年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數(shù)論以及量子物理等的研究中發(fā)展起來的， 它運用幾何學(xué)、 代數(shù)學(xué)的觀點和方法研究分析學(xué)的課題，可看作無限維的分析學(xué)。一、泛函分析的產(chǎn)生十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進入了一個新的階段。這就是，由于對歐幾里德第五公設(shè)的研究， 引出了非歐幾何這門新的學(xué)科；對于代數(shù)方程求解的一般思考，最后建立并發(fā)展了群論； 對數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準(zhǔn)備了條件。本世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國數(shù)學(xué)家阿達

4、瑪發(fā)表的著作中，出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲來創(chuàng)了 “希爾伯特空間 ” 的研究。到了二十年代， 在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般分析學(xué)， 也就是泛函分析的基本概念。由于分析學(xué)中許多新部門的形成，揭示出分析、代數(shù)、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。 比如，代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性條件也極其相似。 這種相似在積分方程論中表現(xiàn)得就更為突出了。 泛函分析的產(chǎn)生正是和這種情況有關(guān)， 有些乍看起來很不相干的東西，都存在著類似的地方。 因此它啟發(fā)人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬于本質(zhì)的東西。非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認(rèn)知， n 維

5、空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言解釋成多維空間的影響。 這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方， 同時存在著把分析幾何化的一種可能性。 這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最后把歐氏空間擴充成無窮維數(shù)的空間。這時候，函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應(yīng)關(guān)系。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應(yīng)關(guān)系。這里我們先介紹一下算子的概念。算子也叫算符，在數(shù)學(xué)上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。研究無限維線性空間上的泛函數(shù)和算子理論， 就產(chǎn)生了一門新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。 在二十世紀(jì)三十年代， 泛函分析就已

6、經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門獨立的學(xué)科了。二、泛函分析的特點和內(nèi)容泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。 比如，不同類型的函數(shù)可以看作是 “函數(shù)空間 ”的點或矢量，這樣最后得到了 “抽象空間 ”這個一般的概念。 它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數(shù)空間。泛函分析對于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個有力的工具。n 維空間可以用來描述具有 n 個自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運動， 實際上需要有新的數(shù)學(xué)工具來描述具有無窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。 比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。 一般來說，從質(zhì)點力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)， 就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度

7、系統(tǒng)?，F(xiàn)代物理學(xué)中的量子場理論就屬于無窮自由度系統(tǒng)。正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求n 維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣，研究無窮自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因襲，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。古典分析中的基本方法， 也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學(xué)科中。泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最 “年輕 ”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間上的函數(shù)、 算子、和極限理論。他在二十世紀(jì)四十到五十年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。半個多世紀(jì)來，泛函分析一方面以

8、其他眾多學(xué)科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段， 并形成了自己的許多重要分支， 例如算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓?fù)渚€性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學(xué)科的發(fā)展。 它在微分方程、 概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理、計算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，還是建立群上調(diào)和分析理論的基本工具， 也是研究無限個自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)性的學(xué)科之中， 已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計算數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。 近十幾年來，泛函分

9、析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應(yīng)用。它還滲透到數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個分支中去，起著重要的作用。三、泛函分析空間知識認(rèn)識泛函中存在諸多空間，這里對于幾個重要的空間予以認(rèn)識。1. 度量空間我們在作物理、化學(xué)、生物等實驗時，通過觀察會得到很多值，但總是近似的，這時自然要考慮近似值與準(zhǔn)確值的接近程度， 反映在數(shù)學(xué)上這是一個極限問題。數(shù)學(xué)分析中定義 R 中點列 xn 的極限是 x 時，我們是用 | xn x | 來表示 xn 和 x 的接近程度，事實上， | xn x |可表示為數(shù)軸上 xn 和 x 這兩點間的距離，那么實數(shù)集 R中點列xn 收斂于 x 也就是指xn 和 x 之間的距離隨著 n而趨于，即0li

10、m d (xn , x) 0 。n于是人們就想，在一般的點集X 中如果也有 “距離 ”，那么在點集 X 中也可借這一距離來定義極限，而究竟什么是距離呢？1.1 度量空間的定義Definition1.1設(shè) X 為一非空集 合。 若存 在二元 函 數(shù) d : X XR，使得x, y, zX ，均滿足以下三個條件：（ 1） d (x, y)0, 且 d ( x, y) 0x y （非負(fù)性）（ 2） d ( x, y)d ( y, x) （對稱性）（ 3） d ( x, z)d( x, y) d( y, z) （三角不等式），則稱 d 為 X 上的一個距離函數(shù)，（ X , d ）為度量空間或距離空間，

11、 d ( x, y) 為 x, y 兩點間的距離。Notes： 若（ X , d ）為度量空間， Y 是 X 的一個非空子集，則（ Y, d ）也是一個度量空間，稱為（ X , d ）的子空間。我們可以驗證： 歐式空間 Rn ，離散度量空間，連續(xù)函數(shù)空間 C a, b ，有界數(shù)列空間 l ， p 次冪可和的數(shù)列空間 l p ， p 次冪可積函數(shù)空間 Lp a, b ( p 1) ，均滿足距離空間的性質(zhì)。Appendix ： p 次冪可積函數(shù)空間 L p a,b ( p1) 介紹Lp a,b f (t) | |f (t ) |p 在a, b上 L 可積 ，在 Lp a, b 中，我們把幾乎處處相

12、等的函數(shù)視為同一函數(shù)。 Lp a,b 有下列重要性質(zhì)：（1）對線性運算是封閉的。即若f , gLp a, b ，則f L p a,b,f g L p a, b ，其中是常數(shù)。（2） L p a,bLa, b( p1)。設(shè) f L p a, b ，令 A E(|f |1)，BE(|f|1), E a,b ，則b| f |dm| f |dm| f |dmBaA| f |p dm(b a)Abpdm(ba)| f |a故 f L(a,b) 。（3） f , gLp a, b ，定義p1d p ( f , g )bpf (t )g(t) |dm|（ 2.6）a則 d p 是一個距離函數(shù)。稱( Lp a

13、, b, d p ) 為 p 次冪可積函數(shù)空間，簡記為Lp a, b 。1.2 度量空間有重要的定理Theory 1對度量空間 ( X , d) 有（ 1）任意個開集的并集是開集 ; 有限個開集的交集是開集 ;（ 2）任意個閉集的交集是閉集 ; 有限個閉集的并集是閉集 ;（ 3） X 與 既是開集又是閉集 .Theory2 設(shè) (X , d) 是度量空間, x0X , EX ,則x0 是 E 的聚點的充要條件是存在 E 中點列xn( xnx0 ) ,使d (xn, x0 )0(n) .Theory 3設(shè) ( X , d) 是度量空間, EX , xE ,則下面的三個陳述是等價的:(1) x E

14、 ;(2) x 的任一鄰域中都有 E 的點 ;（ 3）有點列 xn E ,使 d ( xn , x0 )0(n) .Theory 4 設(shè) ( X , d ) 是度量空間 ,E 是 X 的非空子集 ,則 E 為閉集的充要條件是E E .要比較透徹的研究度量空間，不得不提到一下內(nèi)容：2. 映射的連續(xù)與一致連續(xù)性Definition 2.1設(shè) X ，Y 是距離空間， f 是 X 到 Y 的一個映射。x0X 如果對任何0，存在0 當(dāng)( x, x0 )時，有( fx, fx0 )則稱f 在 x0 連續(xù)。又若f在X中每一點都有連續(xù)，則稱f 是X上的連續(xù)映射。若對任何0 ，存在( )0 ，只要x1, x2X

15、 ，且d ( x1, x2 )，就有( f ( x1 ), f ( x2 )成立，則稱 f 在X 上一致連續(xù)。Example 1(x, x0 ) 是距離空間X 上的連續(xù)函數(shù)，其中x0 是X的一固定點。proof:任取xX 。因為對xX ,( x, x0 )(x , x0 )( x , x0 )( x, x0 )(x, x )( x , x)( x , x0 )( x, x0 )(x , x0 ) =( x, x0 ) =( x, x )( x , x)所以( x, x0 )(x , x0 )( x , x) .于是任給0 ，只要取,當(dāng)( x, x )時，就有(x, x0 )( x , x0 )

16、,因此 ,( x, x0 ) 是 X 上的連續(xù)函數(shù)。Theory 2.1 設(shè) ( X , d) ， (Y, ) 是距離空間， f : X Y , x0 X ,則下列各命題等價。(1) f 在 x0 連續(xù)；（2）對于 fx0的任一鄰域 B ( Tx0,)，都存在 x0 的一個鄰域 B( x0 ,) 使得f B(x0 ,)B(Tx0 , ) ；（3）對于 X中 的 任 意 點 列 x n ， 若 xnx0 (n) ， 則f ( xn )f ( x0 )(n) 。proof: （ 1）(2): 由 f 在 x0連續(xù)的定義知，任給0 ,存在0 ，當(dāng)( x, x0 )時有( fx, fx 0 ).注意(

17、 x, x0 )即 xB( x0 ,) , 而 ( fx, fx0 )即 Tx B(Tx0 , ) 。所以 f (B( x0 , )B(Tx0 , ) 。（2）（ 3）:由假設(shè) xnx0 ，即對0 ,存在 N,當(dāng) n>N 時， xnB( x0 , ) .由（ 2）有(xn)(f(x0), )，即( f ( x n , fx 0 )因此f ( xn )f ( x0 )，fB,（3）（1）：反證法。假設(shè) f 在 x0不連續(xù)，則必存在某個正數(shù)0 ，使得對于每一個 1(n1,2,) 有 xn滿 足( xn , x0 )1, 但( f (xn ), f ( x0 )0 這 與nnf ( xn )f

18、 ( x0 ) 矛盾。Theory2.2 設(shè) ( X , d ) ， (Y,) 是距離空間， f : XY 。則 f是連續(xù)映射的充分必要條件是，對 Y中的任一開集 G ，其原象 f1 (G)x xX ,f ( x)G 是開集。proof:必要性，不妨設(shè) f 1 (G ) 非空。任取 x0f 1 (G) ，即 f ( x0 )G 。因 G 是開集，故存在0 ，使 B( f (x0 ), ) G 。由于 f連續(xù)，所以對0 ，有0 ,使得 f ( B( x0 ,) B( f ( x0 ),) G 。即 f ( x0 , )f1 (G ) 。說明 x0 是 f1(G) 的內(nèi)點，故 f1(G) 是開集。

19、充分性：任取 x0X ，對任意的0 ，取開集 GB( f (x0 ),) ，則 x0f1(G),由假設(shè) f1 ()是開集，因而存在(x0, )f1( ),故G0，使 BGf ( B( x0 ,)G B( f ( x0 ),) ，即 f在 x0 連續(xù)。Definition2.2設(shè) (X , d) ， ( Z, )是 兩 個 度 量 空 間 ， f: XXZ， 點( x0 , y0 ) XX ，若對任意0 ，都存在 ( x0 , y0 ,)0 ，使得當(dāng) ( x, y)XX ，且 d ( x, x0 )， d( y, y0 )時，恒有 ( f ( x, y), f ( x0 , y0 )成立，則稱二

20、元映射f 在 ( x0 , y0 ) 點是連續(xù)的。 若 f 在 XX 上每點都連續(xù)，則稱 f 是 XX 上點連續(xù)二元映射。若上述與點 (x0 , y0 ) 無關(guān)，則稱 f 在 XX 上一致連續(xù)。Theory 2.3 度量空間 ( X , d ) 中的距離函數(shù) d ( x, y) 是 XX 上的連續(xù)二元函數(shù)。3 完備性實數(shù)空間 R 具有完備性，即 R 中任何基本列必收斂于某實數(shù)?，F(xiàn)在我們將這些概念引到一般距離空間中來。3.1 完備性概念Definition 3.1設(shè) x n 是距離空間 X 中的一個點列， 若對任何0 ，存在 N，當(dāng)m,n>N 時，有( xm , xn )則稱 x n 是

21、X 中的一個基本列（或Cauchy 列）。如果 X 中的任何基本列都在X 中收斂，則稱 X 是完備的距離空間。Theory 3.1 設(shè) ( X , d) 是度量空間，則（ 1）收斂點列是基本列；（ 2）基本列是有界的；（ 3）若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，其極限即該子列之極限。proof: （ 1 ）設(shè) xn 、 xX ，且 xnx 。則0 ， N N ，當(dāng) nN 時，d( xn , xm )，從而 n ， m N 時，2d (xn , xm )d ( xn , x) d( x, xm )2。2（ 2）設(shè) xn 為一基本列，則對1，存在 N ，當(dāng) nN 時，有 ( xN 1 , xn

22、 )1，記 Mmax(x1, xN 1 ),(x2 , xN 1 ),( xN , xN 1 ),1， 則 對 任 何 m, n ， 均 有( xn , xm )(xn , xN 1 )(xm , xN 1 )MM2M 成立，即 xn 有界。設(shè) xn 為一 基本 列， 且 xni 是 xn 的收 斂子 列 ， xnix(i).于是，0,N 1N ，當(dāng) m,nN1 時 ， d ( xn , xm )；N2N，當(dāng) iN2 時，2d ( xni , x)。取 Nmax N 1, N 2 ，則當(dāng) n N ， iN 時， niiN ，從而有2d ( x n , x) d (x n , x n i)d (

23、x n i, x)22，故 xnx(n) 。Example 2Ca,b是完備的距離空間。proof:設(shè)x n 是 Ca,b中的基本列，即任給0,存在 N，當(dāng) m,n>N 時，( xm , xn )即max xm (t )xn (t )t a, b故對所有的 ta,b, xm (t)xn (t)由一致收斂的Cauchy 準(zhǔn)則，知存在連續(xù)函數(shù) x(t) ，使x(t)在a,b上一致收斂于x(t)，即且Ca,b.( xm , x) 0( n) , xn因此 Ca,b 完備。Example 3空間 L p a,b( p1) 是完備的距離空間。proof: 取x n 是 Lp a,b 中的基本列，即

24、任給0，存在 N，當(dāng) m,n>N 時，( xm , xn ) (xm (t)pxn (t) dt )1 / pE于是對 1/2k 有 nk 且k+1k 使,n>n1( xnk 1bp1 / p, xn ) ( xnk 1 (t ) xnk (t ) dt )2ka由 Holder 不等式，得bbxnk 1 (t ) xnk (t) )dt( xnk 1 (t )aa1(ba)1/ q( 12kppbxnk (t) dt )1/ p (dt )1/ qa11)q故有bxnk (t ) dt(b a)1 / qxnk 1 (t )ak 1由前面定理知xnk 1 (t)xnk (t )(

25、n 乎處處成立） ,k 1即xnk (t)xnk 1 (t) 收斂，從而部分和k 1xn1 (t)xn2 (t ) xn 2 (t) xn 3 (t)xnk 1 (t )xnk (t ) = xn1 (t )xnk (t )幾乎處處收斂 (k )。因此存在一個函數(shù) x(t) ，使 lim xnk(t)x(t )k以下證明在 L p a,b 中, xn (t )x(t )(n) ,且 x(t ) L p a, b 。由假設(shè)，任給 >0,存在 N，當(dāng) m,n>N 時，bxm (t)pdtpaxn (t )當(dāng)0 時故有任意固定一個 n，使 n>N,取 k0k>kk Nb>

26、;N,pm=n >n >N,pxn (t)xnk (t)dta應(yīng)用法杜定理blim xn (t)a kpbppxn k(t ) dt limxn (t )xn k (t ) dtka又因blim xn (t )a k所以有( xn , x)0( n最后，由而 xn (t)x(t ) 與 xn (t)pbpxnk (t )dtxn (t)xnk (t)dt( xn , x)a) 。x(t ) x(t ) xn (t)xn (t)L p a,b 。故得 x(t)L p a, b 。我們知道，有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點以后得到的實數(shù)空間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間

27、不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng)用。對于一般的距離空間也是一樣， 完備性在許多方面起著重要作用。 那么是否對于任一不完備的距離空間都可以添加一些點使之成為完備的距離空間呢？答案是肯定的。下面給出空間完備化的定義與結(jié)論。設(shè) X ，Y 是距離空間， T:XY,如果對任何的 x1,x2X, 都有 (Tx1 ,Tx2 )(x1 , x2 ) 則稱 T 是 X 到 Y 上的等距映射，并稱 X 與 Y 等距?？梢宰C明，對于每一個距離空間X ，必存在一個完備化的距離空間X 0，使得 X 等距于 X 0 中的一個稠密子空間 X，如果除去等距不計， X 0 還是唯一確定的。 4 可分性在實數(shù)空間 R 中，有理數(shù)處處

28、稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間 R 的可分性。同時，實數(shù)空間 R 還具有完備性，即 R 中任何基本列必收斂于某實數(shù)?，F(xiàn)在我們將這些概念引到一般距離空間中來。Definition4.1 設(shè) X 是距離空間， AB X ，如果對任何 x B ，總存在n使xnx(n)，則稱 A 在 B 中稠密（或 A 是 B 的稠密子集）。又x A,若 B=X ，通常稱 A 在 X 中處處稠密。Theory 4.1設(shè) ( X , d) 是度量空間， A 在 B 中稠密與下列各命題互相等價，（1） BA（其中 AA A 的聚點 稱為 A 的閉包）。（2）對任何 xB 及0, N (x) （x 的鄰

29、域）內(nèi)都含有 A 的點。（3）任取一個0, S( x, ) x AB 。即由以 A 中每一點為中心為半徑的開球組成的集覆蓋B。另外，稠密集還有如下性質(zhì)：若 A 在 B 中稠密， B 在 C 中稠密，則 A 在 C中稠密。Definition4.2距離空間 X 叫做可分的，是指在 X 中存在一個稠密的可列子集。A X 叫做可分的， 是指存在 X 中的可列子集 B，使 B 在 A 中稠密，即 BA 。歐氏空間 Rn 是可分的，因為坐標(biāo)為有理數(shù)的點組成的集構(gòu)成Rn 的一個可列稠密子集?？臻g Ca,b是可分的，可以證明：具有有理系數(shù)的多項式的全體P0 在 Ca,b中稠密，而0Lp a,b, lp等都是

30、可分的。P 是可列集還可以證明空間存在著不可分的距離空間?？紤] l中的子集A x (x1 , x2 , , xn , ) xn0或1則當(dāng) x,yA,xy 時，有( x, y)1。因0,1 中每一個實數(shù)可用二進制表示， 所以 A 與 0,1 一一對應(yīng)，故 A 不可列。假設(shè) l可分，即存在一個可列稠密子集A 0，以 A 0 中每一點為心，以 1為半3徑作開球，所有這樣的開球覆蓋 l，也覆蓋 A 。因 A 0 可列，而 A 不可列，則必有某開球內(nèi)含有 A 的不同的點，設(shè) x 與 y 是這樣的點，此開球中心為X0，于是1(x, y)(x, x0 )112( x0 , y)333矛盾，因此 l 不可分。

31、5 賦范線性空間與 Banach 空間Definition 5.1設(shè) X 是實（或復(fù)）線性空間，如果對于 X 中每個元素 x 按照一定的法則對應(yīng)于一個實數(shù)x ，滿足：（1）x 0,x0的充分必要條件是 x;(2)xx();（3）xyxy , 則稱 x 是 x的范數(shù)，稱（ X, . ）為賦范線性空間，或簡稱X 為賦范線性空間。設(shè) X 是賦范線性空間，對于x,yX及K 令( x, y)xy ,那么從范數(shù)的定義可以驗證 (x,y)滿足距離的所有條件，我們稱這樣得到的距離為由范數(shù) | | 誘導(dǎo)出的距離，這時 X 構(gòu)成一個距離空間。已知賦范線性空間是特殊的距離空間，如果 (x,y)是范數(shù)所誘導(dǎo)出來的距離

32、，那么這種距離和線性運算之間存在著以下關(guān)系。對任何x,yX 及K 有(1)(xy,)( x, y);(2)(x)( x).反之，設(shè) X 是線性空間，又其上有距離 ( x, y) ，滿足上述條件（ 1）和（ 2），我們定義 x ( x, ) 可以驗證它滿足范數(shù)條件，并且由這個范數(shù)誘導(dǎo)出來的距離即原來的距離 ( x, y) 。這就是說，對于具有線性運算的距離空間，如果它的距離與線性運算之間滿足條件（1），（ 2），即可成為賦范線性空間。既然任何一個賦范線性空間都可以看成是距離空間，那么距離空間中的鄰域、開集、閉集、可分性與完備性、列緊性與緊性等概念都可以相應(yīng)定義。下面給出賦范線性空間中的收斂概念。

33、Definition 5.2 ： 設(shè) X 是賦范線性空間，x，xnX （ n=1,2,3, ），若 xnx0(n), 則稱點列 x n 依范數(shù)收斂于 x，記作 lim xnx ，有時簡記為 xnx(n) 。nDefinition 5.3：完備的賦范線性空間稱為Banach空間。對于課本上的內(nèi)容就做這些筆記吧，因為其他重要內(nèi)容書本很透徹的講解了，況且如果照顧很多細節(jié)內(nèi)容的話， 哪個也寫不清楚， 只能把握重要的和熟悉的內(nèi)容，方法。我接下對泛函分析應(yīng)用舉例來說明學(xué)習(xí)泛函到底有什么用？ （這是很多初學(xué)者困惑的地方， 我個人認(rèn)為）我把這本部分內(nèi)容作為筆記的附錄內(nèi)容。Appendix ：（本附錄非常適合于

34、對濾波器的基本概念和術(shù)語不是十分熟練的讀者，但是該例子可以適當(dāng)說明泛函的廣泛最用）A.1l 2 ( Z ) 理論及定義首先，我們介紹 l 2 ( Z ) 上的線性算子的一個一般結(jié)論。TheoryA.1 設(shè) F : l 2 (Z ) l2 ( Z ) 為一平移可交換的連續(xù)線性算子，則存在序列( hk ) k Zl 2 (Z ) ，使得對任何 x (xk )k Zl 2 (Z) ，均有下式成立：Fx khk n xn(A.1)n Z而且，函數(shù) H ()k Z hk eikL (0,2) ， FH 。反之，若 ( hk ) k Z l 2 (Z )且 HL (0,2) ，則 (A.1)式定義了一個平

35、移可交換的連續(xù)線性算子，且FH。proof:設(shè)22為一平移可交換的連續(xù)線性算子，k為 2 ()F : l ( Z )l ( Z )k Zl Ze的標(biāo)準(zhǔn)基，且 ek0,nk, ，則 Fe0l 2 ( Z ) 。令 h(hk ) ，因為 F 具有平移可1,nk.交換性，所以對任何 kZFekhk n en(A.2)nZ成立。我們轉(zhuǎn)到光譜領(lǐng)域并定義算子2(0, 2)L2(0, 2) 為：F： L)Y ()yk eik， X ()ik2(0, 2) ，其中 ( yk ) F ( xk ) 。FX (kZ xk eLkZ由于傅里葉變換為等距變換，從而F 。在 (A.2) 中兩F 為有界線性算子且F邊同時

36、用傅里葉變換可得：FekhninH ()eikikH (ik，由線性性可知，k e。由 F的定義知， Fe)enZ對任何有限的三角和 XN 均有FXN H( )XN 成立。我們斷言對所有XL2 (0, 2) ，此式成立。事實上，設(shè) X N 有限的三角和且 X NXL2 (0,2) ，的連續(xù)性知，L22 )。又H22 )，HX12) ，由 FFX NFX(0,L (0,L (0,而H(XNX ) 1H2XNX 2 ，當(dāng) N時，上式的右邊趨于0，于是HX NHX1) 。再加上 HX NL2(0, 2 ) ，從而函數(shù) FXL(0,2FX NFX和 HX 幾乎處處相等。即，對 a.e.)()H ()

37、X () 。(0, 2 ) ，(FX這里，純粹是應(yīng)用測度、積分及泛函分析知識來證明HL (0,2 )且H。F一般的結(jié)論是：設(shè)( X ,) 為可測空間， gL2 ( X ,) 且對所有 gL2 ( X ,) 均有g(shù)fL2 (X,) 成立。則（i） G : L2 ( X ,)L2(X,) 為有界線性變換，其中G 定義為：fL2( X ,) ， Gfgf ；(ii)gL(X ,) 且 Gg。然而由于它有豐富的整數(shù)群結(jié)構(gòu)及對偶群T ，所以有一種更好的方法來處理。為了證明 HL (0, 2 ) ，我們考慮這種特殊的單位向量X N ()11 ei ()ei ( N 1)() 。N因為 XNHX N ，所以1及 FXNFX N2F 。通過計算得22122FXN( )2K N () H ( ) d，20其中2K N ()X N()21sin N2Nsin2為 Fej e r 核。因而 K NH2()2 22(0,2 ) 關(guān)FXN()F,于是 KN HL