特殊平行四邊形：證明題

1、5如圖，在 ABC中,ABAC D是BC的中點，連結(jié) AD在AD的延長線上取一點E,連結(jié)BE CE(1)求證： ABE ACEABEC是菱形？并說明理由基礎(chǔ)篇特殊平行四邊形之證明題題型一：菱形的證明1、如圖，在三角形ABC中，AB > AC , D、E分別是AB、AC上的點， ADE沿線段DE翻 折，使點A落在邊BC上，記為A 若四邊形 ADAE是菱形，則下列說確的是()a. DE是厶ABC的中位線b.AA是BC邊上的中線C. AA是BC邊上的高d.AA是厶ABC的角平分線2. 已知：如圖，在ABCD中，AE是BC邊上的高，將 ABE沿BC方向平移，使點e與點C重 合，得 GFC .H)

2、求證：BE DG ;(2)若 B 60°當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形 ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.3、將平行四邊形紙片 ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到D'處, 折痕為EF .(1) 求證： ABE AD 'F;(2) 連接CF，判斷四邊形 AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.4. 如圖， ABC中，AC的垂直平分線 MN交AB于點D,交AC于點O, CE/ AB交MN于E,連結(jié)AE、CD . ( 1)求證：AD = CE; ( 2)填空：四邊形 ADCE的形狀是 6如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把 ACD沿CA方向平移得到

3、ACD(1)證明 AAD CCB ;(2)若 ACB 30°，試問當(dāng)點C在線段AC上的什么位置時，四邊形 ABC D是菱形，并請說明理由.7在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O， AB 5, AC 6 .點 BC的延長線于點E.(1)求 BDE的周長；A a(2)點P為線段BC上的點，連接 PO并延長交AD于點Q 求證：BPQ .D/ AC 交（第 B198 如圖，在 ABC中，/ A、/ B的平分線交于點 D DE" AC交BC于點E，DF” BC交AC于點F. (1 )點D是厶ABC勺心；(2)求證：四邊形 DEC為菱形.9、如圖，已知：在四邊形ABFC中,AC

4、B =90 , BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF=AE(1)試探究，四邊形BECF是什么特殊的四邊形； 當(dāng) A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論.(特別提醒：表示角最好用數(shù)字) 10、如圖，矩形 ABCD中，O是AC與BD的交點，過 O點的直線EF與AB，CD的延長線分別 交于 E，F(xiàn) . (1)求證： BOEDOF ；(2)當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時，以 A, E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論.型二：正方形的證明題1、四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接 AE、CG.(1)求證：AE=CG;( 2)觀察圖形，猜想 AE與C

5、G之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想(2)2、把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形 AEFG，邊FG與BC 交于點H (如圖)試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜 想.4、如圖12, B、C E是同一直線上的三個點，四邊形ABCD與四邊形CEFG是都是正方形連接BG DE. (1)觀察猜想BG與 DE之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論(2)在圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指岀，并說岀旋轉(zhuǎn)過程；若不存在,請說明理由5. 如圖，四邊形 ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE丄AG于點E，BF丄AG于點F.(1) 求證：DE BF =

6、EF .(2) 當(dāng)點G為BC邊中點時，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3) 若點G為CB延長線上一點，其余條件不變.請你在圖中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).7、已知：如圖，在正方形 ABCD中, G是CD上一點，延長 BC到E，使CE= CQ連接BG并延長交DE于F.(1) 求證： BCG DCE(2) 將厶DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 DAE，判斷四邊形E' BGD是什么特殊四邊形？并說明理由.9.如圖：已知在 ABC中，AB AC , D為BC邊的中點，過點D作DE丄AB, DF丄AC , 垂足分別為E, F .(1

7、) 求證： BED CFD ;(2) 若 A 90°求證：四邊形 DFAE是正方形.AD題型五：矩形的證明題1.如圖，在 ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且 AF=BD，連結(jié) BF。(1) 求證：BD = CD;(2) 如果AB=AC，試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。2.如圖，在梯形ABCD中，AD / BC，AB / DE，AF / DC，E、F兩點在邊BC上，且 四邊形AEFD是平行四邊形.(1) AD與BC有何等量關(guān)系？請說明理由；(2) 當(dāng)AB DC時，求證： ABCD是矩形.3如圖，四邊形ABCD是矩形，

8、 PBC和厶QCD都是等邊三角形，且點 P在矩形上方，點 Q在矩形. 求證：(1)Z PBA= / PCQ=30° ;( 2) PA=PQ.DB4.如圖， ABC 中，AB=AC, AD、AE 分別是/ BAC 和/ BAC 和 外角的平分線，BE丄AE .( 1)求證：DA丄AE;( 2)試判斷 AB與 DE是否相等？并證明你的結(jié)論.5、如圖，在 ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點 C作直線MM BC設(shè)M交/ BC的角平分線于點E,交 / BCA勺外角平分線于點F.(1)求證：EGFO ( 2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形 AEC是矩形？并證明你的結(jié)論.6、如圖，在 ABC中，

9、D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點 A作BC的平行線交 BE的 延長線于F，且AF DC，連接CF .(1)求證：D是BC的中點；(2)如果AB AC，試猜測四邊形 ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.題型六：綜合證明題2.如圖所示，在 Rt ABC中，/ ABC 90 .將Rt ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得到 DEC，點E在AC上，再將Rt ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到 ABF .連接AD.(1)求證：四邊形AFCD是菱形；么？3如圖， ABC中，點0是邊AC上一個動點，過0作直線MN / BC ,設(shè)MN交 BCA的 平分線于點E，交 BCA的外角平分線于點 F (1) 探究

10、：線段0E與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2) 當(dāng)點0在邊AC上運動時，四邊形 BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；(3) 當(dāng)點0運動到何處，且 ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形？N5、如圖15,平行四邊形 ABCD中，AB AC，AB 1，BC .5 對角線AC，BD相交于點0 ,將直線AC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點E，F(xiàn) (1) 證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 90：時，四邊形ABEF是平行四邊形；(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 AF與EC總保持相等；(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形 BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點0

11、順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).選講四邊形證明經(jīng)典題1.在口 ABCD中，AC、BD交于點O,過點0作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條 邊于 E、G、F、H 四點，連結(jié) EG、GF、FH、HE.(1) 如圖，試判斷四邊形 EGFH的形狀，并說明理由；(2) 如圖，當(dāng) EF丄GH時，四邊形EGFH的形狀是(3)(4)如圖，在(2)的條件下，若 AC=BD，四邊形EGFH的形狀是 如圖，在(3)的條件下，若 AC丄BD,試判斷四邊形 EGFH的形狀，并說明理由.(第 1題圖)2.已知：如圖，在正方形ABCDK點E、F分別在BC和CDk,AE =AF.(1) 求證：BE = DF;(2) 連接AC交EF于點

12、O延長0C至點M使0M= OA連接EM FM判斷四邊形 AEMF 是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.FD MG3. 如圖， ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點(不與 點B重合)，連結(jié)AD ,作BE AD ,垂足為E ,連結(jié)CE ,過點E作EF CE，交BD于F .(1)求證：BFFD ;(2)A在什么圍變化時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；(3)A在什么圍變化時，線段1DE上存在點G，滿足條件DGDA，并說明理由44. 如圖，等腰梯形 ABCD中, AD/F、H分別是BE、BC CE的中點.(1) 試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由. B 若 中的菱形EGF

13、H是正方形，請?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（第 25 S）5.如圖所示，在 ABC中，分別以 AB AC BC為邊在BC的同側(cè)作等邊 ABD等邊 ACE等邊 BCF 求證：四邊形 DAEF是平行四邊形; 當(dāng)AABC滿足 當(dāng)AABC滿足 當(dāng)AABC滿足 存在.（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明條件時，四邊形 DAEF是矩形；條件時，四邊形 DAEF是菱形；（第29題圖）條件時，以D A、E、F為頂點的四邊形不6如圖，已知正方形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點 O, E是AC上一點，過 A作AG 丄EB于G , AG交BD于點F,貝U OE= OF,對上述命題，

14、若點 E在AC的延長線上，AG 丄EB，交EB的延長線于點 G , AG的延長線交DB的延長線于點 F,其它條件不變，則結(jié) 論"OE= OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。AEBEFCBFGCDGAHk （ k >o），閱讀卜列材料，然后回答卜面的冋題：HD7、在四邊形 ABCD 中,E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA上的點，且如上圖，連結(jié) BD/ 些=如, 匹=GC EH / BD , FG/ BDBE HD BF DG 連結(jié)AC,則EF與GH是否一定平行，答：; 當(dāng)k值為時，四邊形EFGH是平行四邊形； 在的情形下，對角線 AC和BD只需

15、滿足條件時，EFGH為矩形； 在的情形下，對角線 AC和BD只需滿足條件時，EFGH為菱形；8如圖，E、F分別是正方形 ABCD的邊AB、BC上的點，且 EF / AC ,在DA的延長線上 取一點G,使AG = AD , EG與DF相交于點H。求證：AH = AD。9、如圖，等腰梯形 ABCD中，AB / CD ,對角線 AC、BD相交于點 0, / ACD = 60°,點S、 P、Q分別是OD、OA、BC的中點。(1) 求證： PQS是等邊三角形；(2) 若 AB = 8, CD = 6，求 S pqs 的值。(3) 右 S pqs : S aod = 4 : 5，求 CD : AB 的值。10將一把三角尺放在邊長為 1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點 P在對角線AC上滑 行，直角的一邊始終經(jīng)過點 B，另一邊與射線 DC相交于點Q。探究：設(shè)A、P兩點間的距離為X。(1) 當(dāng)點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得 到的結(jié)論；(2) 當(dāng)點Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y ,求y與X之間的函數(shù)關(guān)