材料力學C05章1-3彎曲應(yīng)力

1、 梁的梁的橫截面具有對稱線橫截面具有對稱線，所有，所有對稱線組成對稱線組成縱向?qū)ΨQ平面縱向?qū)ΨQ平面，外載荷作用，外載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線在縱向?qū)υ诳v向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。稱平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。平面彎曲：平面彎曲：PPP5-1 梁的純彎曲梁的純彎曲MPaPPQ0,0 MQ橫力彎曲：橫力彎曲：純彎曲：純彎曲：aaPPxyQ=0,M 0 與剪力對應(yīng) 與彎矩對應(yīng)梁的純彎曲梁的純彎曲M5-2 5-2 梁純彎曲時的正應(yīng)力梁純彎曲時的正應(yīng)力伽利略對于梁彎曲的探索性工作伽利略對于梁彎曲的探索性工作 根據(jù)木梁彎曲破壞現(xiàn)象根據(jù)木梁彎曲破壞現(xiàn)象, , 伽利略推斷

2、：伽利略推斷：梁梁的各層纖維均繞底部轉(zhuǎn)動的各層纖維均繞底部轉(zhuǎn)動, ,即即: :正確嗎？正確嗎？研究方法：研究方法：梁的純彎曲實驗梁的純彎曲實驗觀察觀察 變形前變形前變形變形中性層實驗觀察實驗觀察總結(jié)總結(jié)現(xiàn)象：現(xiàn)象：mm,nnmm,nn變形后仍為直線。變形后仍為直線。 推斷：推斷：推論推論- JBernoulli- JBernoulli平面假設(shè)：梁純彎曲變平面假設(shè)：梁純彎曲變形后形后, ,橫截面仍保持平面橫截面仍保持平面, ,且仍與縱線正交且仍與縱線正交 變形后(小變形)mmnabnaboo中性軸z中性軸中性軸變形前nmxamnabboodxbbbb伸長，伸長，aaaa縮短?？s短。aaaa與與b

3、bbb的正交性不變。的正交性不變。推論推論- -存在沒有伸縮變存在沒有伸縮變形的形的中性層中性層，中性層與，中性層與橫截面的交線橫截面的交線中性軸中性軸。梁橫截面內(nèi)無剪應(yīng)變。梁橫截面內(nèi)無剪應(yīng)變。yz中性層和中性軸中性層和中性軸xyz 中性層中性層 梁彎曲變形時，既梁彎曲變形時，既不伸長又不縮短的縱向不伸長又不縮短的縱向纖維層稱為中性層。纖維層稱為中性層。 對矩形截面梁來講，就是位于上下中間這一層。對矩形截面梁來講，就是位于上下中間這一層。 中性軸中性軸:梁彎曲時，實際上各個截面繞著中性軸轉(zhuǎn)動。梁彎曲時，實際上各個截面繞著中性軸轉(zhuǎn)動。如果正號彎矩如圖作用在梁的橫截面上，該梁下部將伸如果正號彎矩如

4、圖作用在梁的橫截面上，該梁下部將伸長、上部將縮短長、上部將縮短()b by d bbo oddx mmnabnabdyoo中性層曲率半徑中性層曲率半徑(1) - yddd)y( ( 與 y 成正比)簡單虎克定律簡單虎克定律(2) - yE (中軸性尚未確定, y、 未知)假設(shè)假設(shè): : 各層纖維之間無擠壓作用各層纖維之間無擠壓作用, ,各條纖維僅受單各條纖維僅受單向拉壓受力向拉壓受力, , 應(yīng)此可以使用簡單虎克定律。應(yīng)此可以使用簡單虎克定律。xz y3. 3. 靜力學關(guān)系靜力學關(guān)系( (確定微觀正應(yīng)力與宏觀彎矩的等效關(guān)系確定微觀正應(yīng)力與宏觀彎矩的等效關(guān)系) )( (中性軸中性軸) ) ( (對

5、稱軸對稱軸) )zydA0 AdAN - (3)- (3) AydAzM0 - (4)- (4)MdAyMAz - (5)- (5) 將(2)代入(3)z0 S =0AAyEdAydA 將(2)代入(4) AAzydAdAyzE00 0 AdAN -(3)-(3) yE -(2)-(2) AydAzM0 -(4)-(4)zy ( (對稱軸對稱軸) )xz ydA( (中性軸中性軸) ) (2)代入(5)式： AMdAyyE zEIM 1- (6)- (6) (6)代入(2)式y(tǒng)IMz - (7)- (7)zy ( (對稱軸對稱軸) )xz ydA( (中性軸中性軸) ) yE -(2)-(2)

6、MdAyMAz -(5)-(5)2zAIy dA公式適用范圍：MM、y y與與 的正負號之間的關(guān)系，通常用變形判斷。的正負號之間的關(guān)系，通常用變形判斷。M為正：下拉上壓；M為負：上拉下壓。a.線彈性范圍；b. 平面純彎曲。C. 單一材料。以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式，以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式，對于橫力彎對于橫力彎曲的情形，如果是細長桿，也可以近似適用曲的情形，如果是細長桿，也可以近似適用。理論。理論與實驗結(jié)果都表明，由于剪應(yīng)力的存在，梁的橫截與實驗結(jié)果都表明，由于剪應(yīng)力的存在，梁的橫截面在彎曲之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，面在彎曲之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，但對于細長梁，這種

7、翹曲對正應(yīng)力的是很小的。通但對于細長梁，這種翹曲對正應(yīng)力的是很小的。通常都可以忽略不計。常都可以忽略不計。 5-3 5-3 橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時的正應(yīng)力maxzmaxyIM （在距中性軸最遠點）又可寫成：zmaxWM 中性軸為對稱軸：minmax 其中：maxzzyIW 抗彎截面模量（m3）中性軸為非對稱軸:minmax （對等截面而言）zmaxmaxWM zmaxWM 彎曲容許正應(yīng)力強度校核： zmaxWM設(shè)計截面： maxzMW 計算承載力： zmaxWM 抗彎截面模量抗彎截面模量WZ的計算的計算矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z實心圓截面實心圓截面Zd32dW3ZdD空心圓截面空

8、心圓截面3332ZWDd？3444164232ZDDWDddD注意：抗彎截面模量注意：抗彎截面模量WZ的計算不可以用負面積法的計算不可以用負面積法!例：例：選擇工字鋼型號。已知：MPamlkNP,kNP1706211521 P2P1l/3l/3l/33834M圖圖(kNm)（1）maxM（2）Wz)cm()m(.MWmaxz333-63223102230101701038 19kN17kN（3）查表：P4083237cmWz 計算值如果如果: : Wz 小于計算值，驗算小于計算值，驗算 max，不超，不超過過 的的5%，工程上允許工程上允許選20a,例：例：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用

9、有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T T型截面，已知材型截面，已知材料的容許拉應(yīng)力為料的容許拉應(yīng)力為T T =40MPa=40MPa, ,容許壓應(yīng)力容許壓應(yīng)力C=100MPa 。試試校核梁的強度。校核梁的強度。 Z解解（1 1）作梁的彎矩圖如圖）作梁的彎矩圖如圖最大正彎矩最大正彎矩 10.cMKN m 最大負彎矩最大負彎矩 20.AMKN m 彎矩圖彎矩圖 (3 3)截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩 3322642003030 1702003046303 10zIm 截面形心距底邊截面形心距底邊 30 1708530200 18530/p>

10、cymm （2 2）確定中性軸的位置）確定中性軸的位置 1.1.拉應(yīng)力強度校核拉應(yīng)力強度校核 A截面為負彎矩，上部受拉截面為負彎矩，上部受拉 max1AAzMyI C截面為正彎矩，下部受拉截面為正彎矩，下部受拉 max2CCzMyI 由于由于 21CAM yM y ，最大拉應(yīng)力發(fā)生在，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣截面下邊緣 2maxmax34.540CCzM yMPaMPaI 拉應(yīng)力強度足夠。拉應(yīng)力強度足夠。 （4 4）校核梁的強度（繪出應(yīng)力分布圖）校核梁的強度（繪出應(yīng)力分布圖） A截面截面C截面截面應(yīng)力應(yīng)力分布圖分布圖應(yīng)力應(yīng)力分布圖分布圖A截面下部受壓截面下部受壓 ： max2AAzM yI

11、 C截面上部受壓截面上部受壓 ： max1CCzM yI 由于由于 ，最大壓應(yīng)力發(fā)生在，最大壓應(yīng)力發(fā)生在A截面的下邊緣截面的下邊緣 21ACM yM y 2maxmax69100AAzM yMPaMPaI 壓應(yīng)力強度足夠。壓應(yīng)力強度足夠。 2壓應(yīng)力強度校核壓應(yīng)力強度校核 A截面截面C截面截面應(yīng)力應(yīng)力分布圖分布圖應(yīng)力應(yīng)力分布圖分布圖例：起重機下工作梁由兩根工字鋼組成，作用在工作梁的聯(lián)動可移動載荷為：P1=15kN， P2=21kN。兩力間距1m。許用應(yīng)力=170MPa。梁的跨長l=6m。選擇工字鋼型號選擇工字鋼型號。（3）根據(jù) WzM圖圖(kNm)RBRAP2P1lx1m（2）求Mmax的極值3討論討論 如果將此梁的截面倒放成如果將此梁的截面倒放成形，這時梁的最大拉應(yīng)力形，這時梁的最大拉應(yīng)力將發(fā)生在將發(fā)生在A截面的上邊緣，其