概率論第七章

1、 現(xiàn)在我們來(lái)介紹一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題現(xiàn)在我們來(lái)介紹一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題 參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是利用從總體抽樣得到的信息參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是利用從總體抽樣得到的信息來(lái)估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù)來(lái)估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù). 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)估計(jì)廢品率估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的體重估計(jì)新生兒的體重估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)估計(jì)湖中魚(yú)數(shù) 估計(jì)降雨量估計(jì)降雨量 在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中，假定總體分布在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)參數(shù).總體所服從的分布類型已知總體所服從的分布類型已知估計(jì)其未知的參數(shù)估計(jì)其未知的參數(shù)這類問(wèn)題稱為這類問(wèn)題稱為參數(shù)估計(jì)參數(shù)估

2、計(jì).參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一般提法參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一般提法X1,X2,Xn要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù) 作出估計(jì)，或估計(jì)作出估計(jì)，或估計(jì) 的某個(gè)已知函數(shù)的某個(gè)已知函數(shù) .)( g現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)向量向量) . 為為 F(x, )，其中，其中 為未知參數(shù)為未知參數(shù) ( 可以是可以是 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì))1 . 0,(2 N（假定身高服從正態(tài)分布（假定身高服從正態(tài)分布 ） 設(shè)這設(shè)這5個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估計(jì)估計(jì) 為為1.68，這是這是點(diǎn)估計(jì)

3、點(diǎn)估計(jì).這是這是區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì).估計(jì)估計(jì) 在區(qū)間在區(qū)間1.57, 1.84內(nèi)，內(nèi)，假如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高假如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高. 現(xiàn)從該總體選取容量為現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個(gè)數(shù)）求出個(gè)數(shù)）求出總體均值總體均值 的估計(jì)的估計(jì). 而全部信息就由這而全部信息就由這5個(gè)個(gè)數(shù)組成數(shù)組成 . 一一.點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本X1,X2,Xn設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x; )，其中其中為未知參數(shù)為未知參數(shù) (可以是向量可以是向量) . 從樣本出發(fā)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)

4、計(jì)量從樣本出發(fā)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量),(1nXXTT作為參數(shù)作為參數(shù) 的的估計(jì)量估計(jì)量，即點(diǎn)估計(jì)。，即點(diǎn)估計(jì)。),(1nxxT將將x1,xn 代入估計(jì)量，得到代入估計(jì)量，得到的的估計(jì)值估計(jì)值 點(diǎn)估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)方法矩法矩法最大似然法最大似然法1. 矩估計(jì)法矩估計(jì)法 其基本思想是其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩用樣本矩估計(jì)總體矩 . 理論依據(jù)理論依據(jù): 它是基于一種簡(jiǎn)單的它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換替換”思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法 .是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜皮爾遜最早提出的最早提出的 .大數(shù)定律大數(shù)定律,)( XE我們知道我們知道, ,服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布,.),

5、(2vXrN的 由大數(shù)定律由大數(shù)定律, , 1|1|lim1 niinXnP自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個(gè)估計(jì)體重的一個(gè)估計(jì). .22 估計(jì)S類似地，用樣本體重的方差類似地，用樣本體重的方差 . ., 估計(jì)X用樣本體重的均值用樣本體重的均值,11niiXnXniiXXnS122)(11樣本體重的平均值樣本體重的平均值二二.矩法矩法樣本樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩nikikXnA11總體總體k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩)(kXE 基本思想是用樣本矩代替總體矩基本思想是用樣本矩代替總體矩 .樣本樣本k階中心矩階中心矩nikikXXnM1)(1總體總體k階中心

6、矩階中心矩kXEXE)( 2.矩法的步驟矩法的步驟 計(jì)算總體計(jì)算總體X的的 r 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩E(Xr)， (r=1,2,k);(2) 用樣本用樣本r階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 替換總體替換總體r階原點(diǎn)階原點(diǎn) 矩矩,列出方程組：列出方程組： ,1)(.,1)(,1)(11221nikkniniiiiXnXEXnXEXnXE設(shè)總體設(shè)總體X中有中有k個(gè)未知參數(shù)個(gè)未知參數(shù)1, 2, k (3) 解方程組，得解方程組，得 r=hr(X1, X2, Xn) (r=1,2,k);則以則以hr(X1, X2, Xn)作為作為r的估計(jì)量，并的估計(jì)量，并稱稱hr(X1, X2, Xn)為為r的的矩估計(jì)量矩估計(jì)量,而稱而

7、稱hr(x1, x2, xn)為為r的的矩估計(jì)值矩估計(jì)值。 例例1. 設(shè)總體設(shè)總體X的分布律如下，其中的分布律如下，其中為為 未知參數(shù)未知參數(shù),試求試求的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。解：解：221232 (1)(1)XP22()12 2 (1)3 (1)32E X 11()32niiE XXXn32X 例例2. 設(shè)總體設(shè)總體XB(n,p)，其中，其中n已知。已知。 試求試求p的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。解：解：E(X)=np.XXnnpXEnii11)(nXp 例例3. 設(shè)總體設(shè)總體XN(,2)，其中，其中,2是是 未知參數(shù)，試求未知參數(shù)，試求,2的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。解：解：E(X)=, D(X)=

8、2.niiniiXnXEXXnXE1222211)(1)(212211)(11SnnXXnXnXniinii 例例4. 設(shè)總體設(shè)總體XUa,b，其中，其中a，b是是 未知參數(shù)。試求未知參數(shù)。試求a，b的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。解：解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.2222121)(41)(121)()()(1)(21)(1baabXEXDXEXnbaXEXnniinii22) 1( 3) 1( 3snnXbsnnXa 例例5. 設(shè)總體設(shè)總體XE()，其中，其中0為未知參數(shù)為未知參數(shù), 試求試求的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。解法一：解法一：XXE1)(X1解法二：解法二：ni

9、iXnXE122212)(niiXn122 例例6. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度如下，其中的概率密度如下，其中0 為未知參數(shù)為未知參數(shù),試求試求的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。解：解：1( ; )e,2xf xx 1()ed02xE Xxx2222011()eded22xxE Xxxxx22112niiXn2112niiXn 當(dāng)總體只含一個(gè)未知參數(shù)時(shí)，用方程當(dāng)總體只含一個(gè)未知參數(shù)時(shí)，用方程 XXE)(即可解出未知參數(shù)的矩估計(jì)量；即可解出未知參數(shù)的矩估計(jì)量；當(dāng)總體只含兩個(gè)未知參數(shù)時(shí)，用方程當(dāng)總體只含兩個(gè)未知參數(shù)時(shí)，用方程 組組 21)()(SnnXDXXE即可解出未知參數(shù)的矩估計(jì)量。即可解出未知參數(shù)的矩估

10、計(jì)量。 矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要并不需要事先知道總體是什么分布事先知道總體是什么分布 . 缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒(méi)有缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒(méi)有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 三三.極大似然法極大似然法 是在總體類型已知條件下使用的一種是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法 . 它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 , GaussFisher然而，這個(gè)方法常歸功于然而，這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇費(fèi)歇 . 費(fèi)歇費(fèi)歇在在1922年重新發(fā)現(xiàn)了年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，并首先研

11、究了這這一方法，并首先研究了這 種方法的一些性質(zhì)種方法的一些性質(zhì) . 極大似然法的基本思想極大似然法的基本思想 先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：一只野兔從前方竄過(guò)一只野兔從前方竄過(guò) .是誰(shuí)打中的呢？是誰(shuí)打中的呢？某位同學(xué)與一位獵人一某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵起外出打獵 .如果要你推測(cè)，如果要你推測(cè)，你會(huì)如何想呢你會(huì)如何想呢?只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 . 下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例子下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例子,進(jìn)一步體會(huì)極進(jìn)一步體會(huì)極大似然法的基本思想大似然法的基本思想 . 你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率

12、概率一般大于這位同學(xué)命中的概率. 看來(lái)這看來(lái)這一槍是獵人射中的一槍是獵人射中的 . 這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想然法的基本思想 .例例7.設(shè)在一個(gè)箱子中裝有若干個(gè)白色和黃色乒乓球，已設(shè)在一個(gè)箱子中裝有若干個(gè)白色和黃色乒乓球，已 知兩種球的數(shù)目之比為知兩種球的數(shù)目之比為1:3，但不知是白球多還是黃，但不知是白球多還是黃 球多，現(xiàn)從中球多，現(xiàn)從中有放回有放回地任取地任取3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)有個(gè)球，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)白個(gè)白 球，問(wèn)白球所占的比例是多少？球，問(wèn)白球所占的比例是多少？ 解：白球所占比例解：白球所占比例p=1/4或或3/4. X:任取任取3個(gè)球中白球的

13、個(gè)數(shù)，個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，XB(3, p)1 (3)1 ()2(2223ppppCXP6427)2(,43649)2(,41XPpXPp時(shí)時(shí)所以所以白球所占的比例為白球所占的比例為3/4。 最大似然法最大似然法設(shè)總體設(shè)總體X的分布律或概率密度為的分布律或概率密度為f(x; ), =(1, 2, k)是未知參數(shù)，是未知參數(shù)， X1,X2, ,Xn是來(lái)自總體是來(lái)自總體X的樣本，則稱的樣本，則稱X1,X2, ,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)niinxfxxxL121);();,.,(為樣本的為樣本的似然函數(shù)似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)()。 求最大似然估計(jì)量的步驟：求最大似然估

14、計(jì)量的步驟：(1) 根據(jù)根據(jù)f(x; )，寫(xiě)出似然函數(shù)，寫(xiě)出似然函數(shù)niixfL1);()(2) 對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)niixfL1);(ln)(ln(3) 寫(xiě)出方程寫(xiě)出方程(組組)0lnL若方程若方程(組組)有解有解，求出求出L()的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn) ),.,(21nxxx。XXXn的最大似然估計(jì)量即為于是),.,(21解：似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為niixL11)( 11)( niinx) 10(ix對(duì)數(shù)似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為niixnL1ln) 1(ln)(ln ni 1例例8 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本其它, 010,)(1xxxfX

15、求求 的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì). 其中其中 0,niixndLd1ln)(ln求導(dǎo)并令其為求導(dǎo)并令其為0=0從中解得從中解得niixn1*ln 即為即為 的的MLE . 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為niixnL1ln) 1(ln)(ln 例例9.設(shè)總體設(shè)總體XB(m,p)，其中，其中m已知，已知，p0為為 未知參數(shù)未知參數(shù),試求樣本的似然函數(shù)試求樣本的似然函數(shù)L(p)。解：解：xmxxmppCxXPpxf)1 ()();(nixxmniiixmiippCpxfpL11)1 (),()(niixnmniiippCxnixm11)1 (1例例10. 設(shè)總體設(shè)總體XN(,2)，其中，其中,2是是

16、 未知參數(shù)。求未知參數(shù)。求,2的最大似然估計(jì)。的最大似然估計(jì)。解：解：)(21exp21),;(222iixxfniixL1222)(21exp21),(niixnnL12222)(21ln2)2ln(2),(ln)(21exp)()2(122222niinnxniiniinxnLnxL122222120)()(212ln01lnniiniixxnxxn1221)(11niiSnnXXnX12221)(1例例11.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XB(1,p),p未知，試求未知，試求p 的最大似然估計(jì)量。如果的最大似然估計(jì)量。如果p表示某一批表示某一批 產(chǎn)品中的次品率，今從中隨機(jī)抽取產(chǎn)品中的次品率，今從中

17、隨機(jī)抽取85 件，發(fā)現(xiàn)次品件，發(fā)現(xiàn)次品10件，試估計(jì)這批產(chǎn)品的件，試估計(jì)這批產(chǎn)品的 次品率。次品率。 解：解：iixxiiippxXPpxf1)1 ()();(niixnniipppxxLpLx11)1 ();,.,()(851)1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii得令，dppLd0)(lnXp pxnpxdppLdniinii1)(ln11從中隨機(jī)抽取從中隨機(jī)抽取85件，發(fā)現(xiàn)次品件，發(fā)現(xiàn)次品10件，那么件，那么111028517niixxn所以這批產(chǎn)品的次品率為所以這批產(chǎn)品的次品率為217p 例例12.設(shè)設(shè)X1,X2,Xn為取自總體為取自總體XU0, 的樣的樣 本本,其中其中0

18、未知未知,分別用矩法和最大似然分別用矩法和最大似然 法求法求的估計(jì)量的估計(jì)量. 解：解：, 0,0,1);(其他xxf(1)矩法：矩法：XXE2)(X210)(lnL若令顯然顯然,該似然方程組無(wú)解該似然方程組無(wú)解.怎么辦呢？怎么辦呢？., 00,1);()(1其他inniixxfL(2)最大似然法：最大似然法： 若似然方程無(wú)解，即似然函數(shù)沒(méi)若似然方程無(wú)解，即似然函數(shù)沒(méi)有駐點(diǎn)時(shí)，通常在邊界點(diǎn)上達(dá)到有駐點(diǎn)時(shí)，通常在邊界點(diǎn)上達(dá)到最大值，可由定義通過(guò)對(duì)邊界點(diǎn)最大值，可由定義通過(guò)對(duì)邊界點(diǎn)的分析直接推求。的分析直接推求。 對(duì)于例對(duì)于例12，,max1inix只要取)(sup)(LL則的最大似然估計(jì)量為故.

19、, 0),.,2 , 1(0,1)(其他nixLininiX12max 例例13. 設(shè)總體設(shè)總體X的的概率密度為概率密度為其他, 010,) 1()(xxxf其中其中-1是未知參數(shù)，是未知參數(shù)， X1,X2, ,Xn是來(lái)自總體是來(lái)自總體X的樣本的樣本.分別求分別求的矩估的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。計(jì)量和極大似然估計(jì)量。解：解：(1) 矩估計(jì)矩估計(jì)21) 1()()(10dxxxdxxxfXEX21XX1121 (2) 最大似然估計(jì)最大似然估計(jì)) 10()() 1()(1iniinxxLniixnL1ln) 1ln()(ln0)(lndLd令niixn1ln1niixn12ln1常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是

20、：常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：無(wú)偏性無(wú)偏性有效性有效性一致性一致性 一一.無(wú)偏性無(wú)偏性。XXXn的估計(jì)量是未知參數(shù)設(shè)),.,(21,)(E若),.,(21nXXX則稱是是的的無(wú)偏估計(jì)量無(wú)偏估計(jì)量。,)(limEn若),.,(21nXXX則稱是是的的漸近無(wú)偏估計(jì)量漸近無(wú)偏估計(jì)量. 例例1. 設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn是來(lái)自有有限數(shù)學(xué)期望是來(lái)自有有限數(shù)學(xué)期望 和方差和方差2的總體的總體。證明：。證明：.)(1) 3(;)(11)2(;1) 1 (212222122211的漸近無(wú)偏估計(jì)量是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量是總體均值niiniiniiXXnXXnSXnX證證:(1)niiniiXEnXE

21、nXEE11)(1)(1)() (.的無(wú)偏估計(jì)量是X.2221的無(wú)偏估計(jì)量是S(2).222的漸近無(wú)偏估計(jì)量是(3)2221nSn222211()()nnEE Snn22221lim()lim()nnnEn 例例2. 設(shè)設(shè)X1,X2, Xn來(lái)自總體來(lái)自總體X，E(X)= , D(X)=2。證明下列統(tǒng)計(jì)量都是。證明下列統(tǒng)計(jì)量都是的的 無(wú)偏估計(jì)量。無(wú)偏估計(jì)量。.4341) 3(;)2(;) 1 (213211XXXX 二二.有效性有效性.),.,(),.,(212211的無(wú)偏估計(jì)量都是和設(shè)nnXXXXXX),()(21DD若21比則稱有效有效。 例例3. 例例2中中1 1, ,2 2, ,3 3哪

22、個(gè)估計(jì)量更有效？哪個(gè)估計(jì)量更有效？解：解：;)(21D.85)(;1)(2322DnD可見(jiàn)當(dāng)可見(jiàn)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，D(2)D(3)00，有，有1)(pp，Pn時(shí)當(dāng).的一致估計(jì)量是pp例例5. 設(shè)設(shè)X1,X2, Xn來(lái)自總體來(lái)自總體X，且，且E(Xk)存在存在 但未知但未知。證明。證明.,.)2 , 1)(11的一致估計(jì)量是kXEXnkniki證：因?yàn)樽C：因?yàn)?X1,X2, Xn獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布也獨(dú)立同分布knkkXXX,.,21)()(kkiXEXE且由辛欽大數(shù)定律，得由辛欽大數(shù)定律，得11lim |()|1nkkiniPXE Xn.,.)2 , 1)(11的一致估計(jì)量是kXEXnkniki

23、一一.置信區(qū)間置信區(qū)間1設(shè)設(shè)X分布函數(shù)為分布函數(shù)為F(x; ), 未知，給定未知，給定 (0 1),若由樣本若由樣本 X1,X2, ,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量計(jì)量),.,(),.,(212211nnXXXXXX和1)(21P滿足的為參數(shù)則稱隨機(jī)區(qū)間),(21置信度為置信度為1- 的的雙側(cè)置信區(qū)間雙側(cè)置信區(qū)間。 二二.置信區(qū)間置信區(qū)間2設(shè)設(shè)X分布函數(shù)為分布函數(shù)為F(x; ), 未知，給定未知，給定(0 1),若由樣本若由樣本 X1,X2, ,Xn構(gòu)造統(tǒng)計(jì)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量量),.,(),.,(212211nnXXXXXX或1)(1)(21PP或滿足的為參數(shù)或則稱隨機(jī)區(qū)間),- (),(21置信度

24、為置信度為1-的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間。 三三.區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)對(duì)于給定的置信度，根據(jù)樣本來(lái)確定未對(duì)于給定的置信度，根據(jù)樣本來(lái)確定未知參數(shù)知參數(shù)的置信區(qū)間，稱為未知參數(shù)的置信區(qū)間，稱為未知參數(shù)的的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)。四四.求置信區(qū)間的步驟求置信區(qū)間的步驟(1) 選擇合適方法估計(jì)未知參數(shù)選擇合適方法估計(jì)未知參數(shù)，再構(gòu)造，再構(gòu)造 分布已知、含參數(shù)分布已知、含參數(shù)、不含其它未知參、不含其它未知參 數(shù)的樣本函數(shù)數(shù)的樣本函數(shù)U；(2) 給定置信度給定置信度1- ，定出常數(shù)，定出常數(shù)a,b，使，使 PaU b= 1-或或Pa U= 1- 或 PU b= 1- ；(3) 將將aU b或或a U 或U b變

25、形，變形， 使得使得.1),- (),(),(2121的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為就是或或區(qū)間2121或或 1.單總體單總體均值均值的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 2已知時(shí)已知時(shí)的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2未知時(shí)未知時(shí)的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 已知時(shí)已知時(shí)2的置信區(qū)間的置信區(qū)間 未知時(shí)未知時(shí)2的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2已知時(shí)已知時(shí)的置信區(qū)間的置信區(qū)間) 1 , 0( NnXU12unXP122nuXnuXP即得即得的置信區(qū)間的置信區(qū)間),(22nuXnuX置信區(qū)間是多少？的，則未知參數(shù)的樣本，得樣本均值為容量例：設(shè)由取自正態(tài)總體95%59)9 . 0 ,(2XNX例例1. 從一批服從正態(tài)

26、分布從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件中隨的零件中隨 機(jī)抽取機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為：個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為：2.142.10 2.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度，并求，并求的置的置 信區(qū)間信區(qū)間(=0.05).解：解：的矩估計(jì)值為的矩估計(jì)值為125. 21611. 2.14. 2 X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115. 222nuXnuX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(2.115,2.135). 2未知時(shí)未知時(shí)的置信區(qū)

27、間的置信區(qū)間) 1(ntnSXT1) 1(2ntnSXP1) 1() 1(22nSntXnSntXP即得即得的置信區(qū)間的置信區(qū)間nSntXnSntX) 1(,) 1(2295%-12 90%-1164. 0, 7 . 7%102）（）（置信區(qū)間。度下平均含脂率的試分別求在下面的置信布。，設(shè)含脂率服從正態(tài)分樣本方差），得到樣本均值樣品的含脂率（個(gè)產(chǎn)的羊毛中抽測(cè)例：隨機(jī)從某毛紡廠生SX例例2. 從一批服從正態(tài)分布從一批服從正態(tài)分布N(,2)的零件中隨的零件中隨 機(jī)抽取機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其直徑為：個(gè)，分別測(cè)得其直徑為：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.

28、03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度，并求，并求的置的置 信區(qū)間信區(qū)間(=0.05).解：解：代入得查表,13. 2)15() 1(00244. 0,075.12,16025. 022tntSXn101.12) 1(049.12) 1(22nSntXnSntX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(12.049,12.101). 已知時(shí)已知時(shí)2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)niNXi,.,2 , 1) 1 , 0()(2212nXnii2)(2)(221212221nXPnXPniinii 1)()

29、(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii即得即得2的置信區(qū)間的置信區(qū)間)()(,)()(221122212nXnXniinii例例3. 一批鋼筋的一批鋼筋的20個(gè)樣品的屈服點(diǎn)為：個(gè)樣品的屈服點(diǎn)為：4.98 5.11 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.385.46 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 5.20 設(shè)屈服點(diǎn)服從正態(tài)分布設(shè)屈服點(diǎn)服從正態(tài)分布N(5.21,2),求屈服點(diǎn)求屈服點(diǎn) 總體方差總體方差2的置信度為的置信度為95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解：解：代入

30、得查表,59. 9)20()(,17.34)20()(05. 095. 01,21. 5,202975. 02212025. 022nnn2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0.027,0.096). 未知時(shí)未知時(shí)2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)) 1() 1(2222nSn2) 1() 1(2) 1() 1(221222222nSnPnSnP1) 1() 1() 1(2222221nSnnP 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP即得即得2的置信區(qū)間的置信區(qū)間) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn例例4. 試求例試求例2中零件直徑的方差中零件直徑的方差2對(duì)應(yīng)于置

31、信對(duì)應(yīng)于置信 度度98的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解：解：代入得查表,23. 5)15() 1(, 6 .30)15() 1(02. 098. 01299. 0221201. 022nn2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0.001196,0.006998). 2.雙總體雙總體設(shè)設(shè)X N(1,12)，Y N(2,22)，X1,X2,Xm來(lái)自來(lái)自X，Y1,Y2,Yn來(lái)自來(lái)自Y，且兩樣本相互獨(dú)立。且兩樣本相互獨(dú)立。均值差均值差1- 2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)方差比方差比12/ 22的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 1,2已知時(shí)已知時(shí)1- 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間nmYX2221221,令),(2N則22,uu即得即得1- 2的

32、置信區(qū)間的置信區(qū)間nmuYXnmuYX2221222212, 1,2未知未知, ,但但1=2=時(shí)時(shí), ,1- 2的的 置信區(qū)間置信區(qū)間) 1 , 0(11)(21NnmYXU)2(11)(21nmtnmSYXTw nmSnmtYXnmSnmtYXww11)2(,11)2(222) 1() 1(2221nmSnSmSw其中 1,2未知未知, ,且且12，但容量，但容量m,n很大很大時(shí)時(shí), , 1- 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間221222211221)(11)(11niiniiYYnSXXmS近似代替以近似代替以nSmSuYXnSmSuYX2221222212, 方差比方差比12/22的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間

33、估計(jì)我們僅討論我們僅討論 1, 2未知未知) 1, 1(22222121nmFSSF1) 1, 1() 1, 1(22222212121nmFSSnmFP1) 1, 1(1) 1, 1(1212221222122221nmFSSnmFSSP 可得可得12/22的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：) 1, 1(1,) 1, 1(121222122221nmFSSnmFSS同理，同理，22/12的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：) 1, 1(1,) 1, 1(121212222122mnFSSmnFSS例例1.某茶廠自動(dòng)包裝茶葉，每包茶葉的重量服某茶廠自動(dòng)包裝茶葉，每包茶葉的重量服 從正態(tài)分布從正態(tài)分布N(100,1.

34、152) ，某日開(kāi)工后，隨，某日開(kāi)工后，隨 機(jī)抽測(cè)了機(jī)抽測(cè)了9包，其重量為（單位：包，其重量為（單位：g）：）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 假設(shè)每包茶葉重量的方差保持不變，問(wèn)這天包假設(shè)每包茶葉重量的方差保持不變，問(wèn)這天包 裝機(jī)工作是否正常？裝機(jī)工作是否正常？例例2.某卷煙廠生產(chǎn)甲、乙兩種煙，分別對(duì)它們的尼某卷煙廠生產(chǎn)甲、乙兩種煙，分別對(duì)它們的尼 古丁含量（毫克）作了古丁含量（毫克）作了6次測(cè)定，測(cè)定結(jié)果為次測(cè)定，測(cè)定結(jié)果為甲：甲：25 28 23 26 29 22乙：乙：28 23 30 25 21 27 試問(wèn)這兩種香煙的尼

35、古丁含量有無(wú)顯著差異試問(wèn)這兩種香煙的尼古丁含量有無(wú)顯著差異 （設(shè)兩種煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，且方（設(shè)兩種煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，且方 差相等）？差相等）？例例3.從某校從某校2004年年250名應(yīng)屆畢業(yè)生的高名應(yīng)屆畢業(yè)生的高 考成績(jī)中隨機(jī)抽取了考成績(jī)中隨機(jī)抽取了50個(gè)，問(wèn)能否根個(gè)，問(wèn)能否根 據(jù)這據(jù)這50個(gè)成績(jī)判斷該校在個(gè)成績(jī)判斷該校在2004年高考年高考 成績(jī)是否服從正態(tài)分布？成績(jī)是否服從正態(tài)分布？根據(jù)問(wèn)題的題意提出假設(shè)，然后根據(jù)樣本根據(jù)問(wèn)題的題意提出假設(shè)，然后根據(jù)樣本的信息對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，作出判斷。的信息對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，作出判斷。H0:檢驗(yàn)是否為真的假設(shè)稱為檢驗(yàn)是否為真的假設(shè)稱為原假

36、設(shè)原假設(shè)；H1:與與H0對(duì)立的假設(shè)稱為對(duì)立的假設(shè)稱為備擇假設(shè)備擇假設(shè)。原假設(shè)是關(guān)于總體參數(shù)的，則稱之為原假設(shè)是關(guān)于總體參數(shù)的，則稱之為參數(shù)參數(shù)假設(shè)假設(shè);檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)的問(wèn)題，稱為檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)的問(wèn)題，稱為參數(shù)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)；原假設(shè)是關(guān)于總體分布類型的，則稱之為原假設(shè)是關(guān)于總體分布類型的，則稱之為分布假設(shè)分布假設(shè)；檢驗(yàn)分布假設(shè)的問(wèn)題，稱之為檢驗(yàn)分布假設(shè)的問(wèn)題，稱之為分布檢驗(yàn)分布檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理“小概率小概率”原理原理：概率很小的事件在一：概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生。次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生。例例4.某廠提供的資料表明該廠的產(chǎn)品合格率為某廠提供的資料表明該廠的產(chǎn)品合格率為

37、p=99%，要檢驗(yàn)廠方資料是否屬實(shí)。，要檢驗(yàn)廠方資料是否屬實(shí)。提出提出H0:p=0.99構(gòu)造小概率事件構(gòu)造小概率事件A =“任意抽取一個(gè)任意抽取一個(gè)產(chǎn)品為不合格品產(chǎn)品為不合格品”任意抽取一個(gè)產(chǎn)品任意抽取一個(gè)產(chǎn)品若若A發(fā)生推翻推翻H0若若A沒(méi)發(fā)生接受接受H0續(xù)例續(xù)例1. 檢驗(yàn)這天包裝機(jī)工作是否正常？檢驗(yàn)這天包裝機(jī)工作是否正常？解：解：H0: =100 H1: 100) 1 , 0(/0NnXU96. 1,05. 02/u|U|=0.0524.0322得否定域得否定域 W: |t |4.0322故不能拒絕故不能拒絕H0 .第四步：第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量 t 的實(shí)測(cè)值的

38、實(shí)測(cè)值, ,| t |=2.99711.07,拒絕拒絕H0。未知時(shí)未知時(shí)2的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)(1) 雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0: 2= 02) 1()(1221202nXXnii2) 1(2) 1(2212222nPnP,),1() 1(02212222Hnn拒絕或當(dāng)否則否則,接受接受H0.(2) 右側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0: 202) 1(22nP,),1(022Hn拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0.(3) 左側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0: 2 02) 1(212nP,),1(0212Hn拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0. 例例2.某煉鐵廠鐵水的含碳量某煉鐵廠鐵水的

39、含碳量X，在正常情況下服從正，在正常情況下服從正態(tài)分布。現(xiàn)對(duì)操作工藝進(jìn)行某些改變，從中抽取了態(tài)分布。現(xiàn)對(duì)操作工藝進(jìn)行某些改變，從中抽取了7爐鐵水的試樣，測(cè)得含碳量數(shù)據(jù)如下：爐鐵水的試樣，測(cè)得含碳量數(shù)據(jù)如下：4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683試問(wèn)：是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方試問(wèn)：是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為差仍為0.1122？（？（ =0.05 ）解：解：H0: 2=0.1122789.16)(1712202iiXX45.14)6(,237. 1)6(22025. 0975. 02=16.78914.45,拒絕拒絕H0。

40、檢驗(yàn) 參數(shù) 條件 原假設(shè) H0 備擇假設(shè) H1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 服從 分布 拒絕區(qū)域 0 0 2Uu 0 0 Uu 2已知 0 0 0/XUn (0,1)N Uu 0 0 /2(1)Ttn 0 0 (1)Ttn 2未知 0 0 0/XTSn (1)t n (1)Ttn 220 220 22/2( )n或221/2( )n 220220 22( )n 已知 220220 222101()niiX 2( )n 221( )n 220 220 22/2(1)n或221/2(1)n 220220 22(1)n 2 未知 220220 222101()niiXX 2(1)n 221(1)n 例例1. 從一批

41、服從正態(tài)分布從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件中隨的零件中隨 機(jī)抽取機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為：個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為：2.142.10 2.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 (1)試估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度試估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度，并求，并求 的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間;(2)試問(wèn)該批零件的平均長(zhǎng)試問(wèn)該批零件的平均長(zhǎng) 度與度與 2.15有無(wú)差異？有無(wú)差異？(=0.05).解：解：(1)125. 21611. 2.14. 2 X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115.

42、 222nuXnuX的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為(2.115,2.135).2已知時(shí)已知時(shí)的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為),(22nuXnuX(2) H0:=0 0, H1:0 0( (0 0=2.15)=2.15) 1 , 0(/NnX96. 1,05. 02/u|U|=51.96, 拒絕拒絕H0。即該批零即該批零件的平均長(zhǎng)度與件的平均長(zhǎng)度與 2.15有顯著差異。有顯著差異。502. 0)15. 2125. 2(16/0nXU 例例2.根據(jù)以往的資料得知根據(jù)以往的資料得知,我國(guó)健康成年男子的我國(guó)健康成年男子的 每分鐘脈搏次數(shù)服從每分鐘脈搏次數(shù)服從N(72,6.42).現(xiàn)從某體院現(xiàn)從某體

43、院 男生中男生中,隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取25人人,測(cè)得平均脈搏測(cè)得平均脈搏 為為68.6次次/min,如果標(biāo)準(zhǔn)差不變?nèi)绻麡?biāo)準(zhǔn)差不變, (1)該體院男生脈搏的單側(cè)上限置信區(qū)間；該體院男生脈搏的單側(cè)上限置信區(qū)間； (2)是否可以認(rèn)為該體院男生的脈搏明顯低是否可以認(rèn)為該體院男生的脈搏明顯低 于一般健康成年男子的脈搏？（于一般健康成年男子的脈搏？（=0.05）解：解：(1)代入得6 .68,25, 4 . 6,645. 105. 0Xnuu7056.70nuX的單側(cè)上限置信區(qū)間為的單側(cè)上限置信區(qū)間為(0, 70.7056).2已知時(shí)已知時(shí)的單側(cè)上限置信區(qū)間為的單側(cè)上限置信區(qū)間為),(nuX(2) H0:72

44、72, H1:7272) 1 , 0(/NnX645. 1,05. 0uU=-2.6560 0 2未知時(shí)未知時(shí)的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間nSntX) 1(,),1(0HntT拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0.2未知時(shí)未知時(shí)的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0:0 0, H1:3.25) 1(/ntnSX 563. 22622. 0)25. 3399. 3(20/0nSXT73. 1) 1(,20,05. 0ntnT =2.5631.73, 拒絕拒絕H0。即可以認(rèn)為。即可以認(rèn)為當(dāng)前雞蛋的價(jià)格明顯高于往年。當(dāng)前雞蛋的價(jià)格明顯高于往年。 l單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)單正態(tài)總

45、體方差的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)求求2的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗(yàn)的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗(yàn)H0:2=02, H1:202求求2的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗(yàn)的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗(yàn)H0:202, H1:202求求2的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗(yàn)的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗(yàn)H0:202, H1:202,),1(02HnT拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0. 未知時(shí)未知時(shí)2的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間) 1() 1(, 0212nSn未知時(shí)未知時(shí)2的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0:202 , H1:214.45, 拒絕拒絕H0。即不能認(rèn)為新工即不能認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為藝煉出

46、的鐵水含碳量的方差仍為0.1122。) 1() 1(222nSnT7889.16) 1(202SnT2373. 1) 1(,4492.14) 1(,05. 022/122/nn 已知時(shí)已知時(shí)2的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間即得即得2的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間)(221nXTnii1)()(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii)()(,)()(221122212nXnXniinii)()(122120nXTnii2)(2)(22122nTPnTP,),()(022122HnTnT拒絕或當(dāng)否則否則,接受接受H0.已已知時(shí)知時(shí)2的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的雙側(cè)

47、假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0:2=02 , H1:202 已知時(shí)已知時(shí)2的單側(cè)下限置信區(qū)間的單側(cè)下限置信區(qū)間,)()(212nXnii已知時(shí)已知時(shí)2的右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0:202 , H1:202,),(02HnT拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0. 已知時(shí)已知時(shí)2的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間)()(, 02112nXnii已未知時(shí)已未知時(shí)2的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0:202 , H1:211.07, 拒絕拒絕H0。即這一天生產(chǎn)的維即這一天生產(chǎn)的維尼綸的纖度的方差不正常。尼綸的纖度的方差不正常。1455. 1)(,0703.11)(,10. 0

48、22/122/nn)()(12212nXTnii67.13)(12120niiXT l雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)求求1-2的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗(yàn)的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗(yàn)H0: 1=2, H1: 1 2 求求1-2的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗(yàn)的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗(yàn)H0: 12, H1: 1 2求求1-2的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗(yàn)的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗(yàn)H0: 12, H1: 12 12、22已知時(shí)已知時(shí)1-2的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間nmuYX2221,0HuU拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0.12、22已知時(shí)已知時(shí)1-2的的左側(cè)假設(shè)

49、檢驗(yàn)左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0:0 0, H1:0 0例例1. 已知已知A行業(yè)職工月工資行業(yè)職工月工資XN(1,1.52) (單位單位:千元千元) ; B 行業(yè)職工月工資行業(yè)職工月工資Y N(2,1.22) (單位單位: 千元千元).2005年在年在 某地區(qū)分行業(yè)調(diào)查職工平均工資情況，從總體某地區(qū)分行業(yè)調(diào)查職工平均工資情況，從總體X、 Y中分別調(diào)查中分別調(diào)查25、30人人, 算得其平均月工資分別為算得其平均月工資分別為 4.8、4.2千元。千元。 (1)求這兩行業(yè)職工月平均工資之差的雙側(cè)置信區(qū)求這兩行業(yè)職工月平均工資之差的雙側(cè)置信區(qū) 間；間；(2)問(wèn)這兩行業(yè)職工月平均工資是否有顯著差問(wèn)這兩行業(yè)職工月平均工資是否有顯著差 異？異？( =0.05 )解：解：代入得查表,96. 1,05. 0, 2 . 4, 8 . 4,30,252uYXnm3281. 1,1281. 02221222212nmuYXnmuYX1-2的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為(-0.1281, 1.3281).(1) 12、22已知時(shí)已知時(shí)1-2的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為nmuYXnmuYX2221222212,(2