【書城】2017年高考通關(guān)講練高考數(shù)學(xué)(理科)課標(biāo)通用第6輯：六、解三角形.doc

1、六、解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.（2）應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.本考點(diǎn)一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是已知邊角求其他邊角，判斷三角形的形狀，求三角形的面積考查比較頻繁，既有直接考查兩個(gè)定理應(yīng)用的選擇題或填空題，也有考查兩個(gè)定理與和差公式、倍角公式及三角形面積公式綜合應(yīng)用的解答題，解題時(shí)要掌握正、余弦定理及靈活運(yùn)用，注意函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用.在中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則1正弦定理：.2常見變形 3余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方

2、的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即4余弦定理的推論從余弦定理，可以得到它的推論5 三角形面積公式（1）三角形的高的公式：hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA（2）三角形的面積公式：S=absinC，S=bcsinA，S=casinB.（2016新課標(biāo)II，理）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，則b= .【答案】【解析】因?yàn)?，且為的?nèi)角，所以，又因?yàn)?，所?【考點(diǎn)定位】正弦定理【解題必備】正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：（1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；（2）已知兩邊和其中

3、一邊的對(duì)角，求其他的邊和角在中，若，則c=_，sinA=_.【答案】2， 【解析】根據(jù)余弦定理，得解得.由得 所以 【考點(diǎn)定位】余弦定理【解題必備】利用余弦定理解三角形的步驟在中，已知， （1）求BC的長(zhǎng)；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理知，所以.（2）由正弦定理，知所以 因?yàn)?，所以C為銳角，則 因此 【考點(diǎn)定位】正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用【解題必備】利用正、余弦定理求邊和角的方法：（1）根據(jù)題目給出的條件（即邊和角）作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置（2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題（3）在運(yùn)算求解過程中注意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理

4、的應(yīng)用在中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c.已知 （1）若的面積等于，求的值；（2）若sinB=2sinA，求的面積.【答案】（1）a=2，b=2；（2）.【解析】（1）由余弦定理，得 又的面積等于，所以，得，聯(lián)立得方程組 解得 （2）由余弦定理，得由正弦定理，得聯(lián)立得方程組解得 所以的面積【考點(diǎn)定位】三角形的面積【解題必備】求三角形面積的解題思路在求三角形的面積時(shí)，若存在三角形邊長(zhǎng)平方和的情況，一般聯(lián)想到用余弦定理來解決；若存在邊長(zhǎng)乘積時(shí)，一般聯(lián)想到用公式解決.如右圖，在地平面上有一旗桿OP，為了測(cè)量它的高度h，在地面上選一基線AB，測(cè)得AB=20 m,在A點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OA

5、P=30,在B點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OBP=45，又測(cè)得AOB=60，求旗桿的高度h（結(jié)果保留整數(shù)）【解析】因?yàn)樵赗t中，OAP=30，OP=h，所以O(shè)A=在Rt中，OBP=45，所以O(shè)B=h在中，AB=20，AOB=60，由余弦定理得AB2=OA2+OB22OAOBcos60，即202=2+h22hh，解得h2=176.4，所以h 13答：旗桿高度約為13 m【考點(diǎn)定位】解三角形的應(yīng)用題【名師點(diǎn)睛】高度的測(cè)量主要是一些底部不能到達(dá)或者無法直接測(cè)量的物體的高度問題常用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體的頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題這類物體高度的測(cè)量是在與地面垂直的豎

6、直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個(gè)或者幾個(gè)三角形，從而求出所需測(cè)量物體的高度1在中，若tanAtanB1，則該三角形一定是 A銳角三角形 B鈍角三角形C直角三角形 D以上都有可能2已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的取值范圍是A8a10 B2a C2a10Da83（1）已知ABC中，則=_；（2）已知ABC中，A，,則=_.4在平面四邊形中， 則的取值范圍是 5在中，C=60，角的對(duì)邊分別為則=_6如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600 m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角

7、為，則此山的高度 m7在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知（I）求的值；（II）若cosB=，,求的面積.參考答案1B【解析】由已知條件，得 說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù)因此一定是鈍角三角形2B 【解析】若a是最大邊，則即3a；若3是最大邊，則,即32；當(dāng)a=3時(shí)符合題意，綜上2a，故選B.3（1）；（2） 2【解析】（1）根據(jù)正弦定理的變形，可得.（2）方法一：設(shè)， 從而，又，所以=2.方法二：根據(jù)正弦定理的變形，可得.4 【解析】如圖，連接，設(shè)=，=在中，根據(jù)正弦定理可得，則又，所以由則，所以51 【解析】C=60,a2+b2c2=ab，a2+b2=ab+

8、c2，6 【解析】依題意，在中，由，所以，因?yàn)?m，由正弦定理可得，即 m，在中，因?yàn)?，所以，所?m7（I）=2；（II）【解析】（）由正弦定理，得所以 =,即,即有,即,所以=2.（）由（）知=2,即c=2a,又因?yàn)?所以由余弦定理，得，即,解得,所以c=2,又因?yàn)閏osB=，所以sinB=，故的面積為=.1正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：（1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角2三角形解的個(gè)數(shù)的探究（以已知和解三角形為例）（1）從代數(shù)角度來看：若，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0，即無解；若，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；若，則滿足條件

9、的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.注：對(duì)于（3），由可知B可能為銳角，也可能為鈍角，此時(shí)應(yīng)由“大邊對(duì)大角”“三角形內(nèi)角和等于180”等進(jìn)行討論.（2）從幾何角度來看：當(dāng)A為銳角時(shí)，一解 一解兩解無解當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，一解 一解 無解 無解3利用余弦定理解三角形的步驟典例1 在中，若，求的取值范圍【錯(cuò)解】由正弦定理，可得 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中沒有考慮角的取值范圍，誤認(rèn)為角的取值范圍為.【正解】由正弦定理可得典例2 已知是鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【錯(cuò)解】因?yàn)槭侨切蔚娜?，所以，所以是三角形的最大邊，設(shè)其所對(duì)的角為（鈍角），則，化簡(jiǎn)得，解得.又，所以.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中只能保證都是正數(shù)，而要表示三角形的三邊，還