極坐標(biāo)與參數(shù)方程總結(jié)與習(xí)題

1、極坐標(biāo)教案3.2極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長度，表示從Ox到OM的角，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(, )就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個要素：極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的方向極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)、對應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一一個點(diǎn)可以有無數(shù)個坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,)或（，），(

2、Z)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對應(yīng)的即一個點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的 3、直線相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為： 4、圓相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為： 5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式： 1直線的極坐標(biāo)方程若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為 ，求直線l的極坐標(biāo)方程。設(shè)直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(，)，由正弦定理，得： = 整理得直線l的極坐標(biāo)方程為sin( ) =0 sin(0 )。一些特殊位置的直線方程如下：經(jīng)過極點(diǎn)經(jīng)過定點(diǎn)M(a，0)，且與極軸垂直經(jīng)過定點(diǎn)M(b，)，且與極軸平行 = cos

3、 = asin = bxO(M)lxOlMaxOlM(b，)a2圓的極坐標(biāo)方程MP00Ox若圓的圓心為M(0，0)，半徑為r，求圓的極坐標(biāo)方程。設(shè)P(，)為圓上任意一點(diǎn)，由余弦定理，得PM2 = OM2 +OP2 2OM·OPcosPOM，則圓的極坐標(biāo)方程是2 20cos( 0) + r2 = 0一些特殊位置的圓的方程如下(設(shè)圓的半徑為r)：圓心在極點(diǎn)圓心在極點(diǎn)右側(cè)圓心在極點(diǎn)上方圓心在極點(diǎn)左側(cè)圓心在極點(diǎn)下方 = r = 2rcos = 2rsin = 2rcos = 2rsin xOxOxOOxxO（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個變

4、數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1過定點(diǎn)（x0，y0），傾角為的直線：（t為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P（x0，y0）為起點(diǎn)，對應(yīng)于t點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于2中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)）3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的橢圓：（為參數(shù)）（或）中心在

5、點(diǎn)（x0,y0）焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的雙曲線：（為參數(shù)）（或）5頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù)，p0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點(diǎn)P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）【乘積用的】極坐標(biāo)的點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的互化：1已知，下列所給出的不能表示點(diǎn)的坐標(biāo)的是（ ）AA B C D2下列各點(diǎn)中與極坐標(biāo)不表示同一個點(diǎn)的極坐標(biāo)是（）B3點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（ ）CA B C D1點(diǎn)的極坐標(biāo)為 。2若A，B，則|AB|=_，_。（其中O是極點(diǎn)）5，6；5將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)。16.已知三點(diǎn)A(5，)，B(-

6、8，)，C(3，)，則ABC形狀為 . 銳角三角形17.點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是 極坐標(biāo)方程的軌跡1的底邊以B點(diǎn)為極點(diǎn)，BC 為極軸，求頂點(diǎn)A 的軌跡方程。1、（提示：用正弦定理解ABC，）在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑=1，Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動。（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若P在直線OQ上運(yùn)動，且OQQP=23，求動點(diǎn)P的軌跡方程。2、（1）；（2）（提示：設(shè)P，Q（，依題意得：，代入可得。）17在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)A（3，0），P是圓上一個運(yùn)點(diǎn)，且的平分線交PA于Q點(diǎn)，求Q 點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程。解:以O(shè)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè),題型：一、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化互

7、化條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同.互化公式： 或 的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確定.例1(2007海南寧夏)O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為，(I)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(II)求經(jīng)過O1，O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程例3(1998年上海)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若橢圓兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是(1,),(1,),長軸長是4,則此橢圓的直角坐標(biāo)方程是_. 解：由已知條件知橢圓兩焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3, 故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程為=15. 與參數(shù)方程為等價的普通方程為

8、（ ）A. B. C. D. 二、已知曲線的極坐標(biāo)方程,判斷曲線類型例4(1990年全國)極坐標(biāo)方程4sin2=5所表示的曲線是 (A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線的一支 (D)拋物線解:由已知極坐標(biāo)方程及三角公式得:2(1-cos)=5, 2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得 y2=5(x+),方程表示的曲線是拋物線,故選D.評述:對于給出的極坐標(biāo)方程相對于極坐標(biāo)系而言不是標(biāo)準(zhǔn)的,一般將其等價轉(zhuǎn) 化為直角坐標(biāo)方程來判斷其曲線類型.類題:1(1991年三南)極坐標(biāo)方程4sin2=3表示的曲線是 (A)二條射線 (B)二條相交直線 (C) 圓 (D) 拋物線 (答案:B) 2(

9、1987年全國)極坐標(biāo)方程=sin+2cos所表示的曲線是 (A)直線 (B)圓 (C)雙曲線 (D) 拋物線 (答案:B) 3(2001年廣東、河南)極坐標(biāo)方程2cos2=1所表示的曲線是(A)兩條相交直線 (B)圓 (C)橢圓 (D)雙曲線 (答案:D)4(2003北京)極坐標(biāo)方程表示的曲線是(A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 (答案:D)例5(1994年全國)極坐標(biāo)方程=cos(-)所表示的曲線是 (A) 雙曲線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)圓 解:曲線=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點(diǎn)按逆時針方向旋 轉(zhuǎn)而得,曲線的形狀仍然是一個圓,故選D評述:把曲線的極

10、坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程較為麻煩,利用旋轉(zhuǎn)不變性則更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一條直線,方程=acos(-0)表示半徑為, 圓心為(,0)的圓,要注意兩者的區(qū)別.2. 參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A. 一條直線 B. 兩條直線 C. 一條射線 D. 兩條射線1x01x01x0x01例6(2001年全國)極坐標(biāo)方程=2sin(+)的圖形是 (A) (B) (C) (D)解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得,圓心的極坐標(biāo)為(1,),故選C. 類題:1(2002江蘇)極坐標(biāo)方程與=的圖形是0x0x0x0x (A) (B) (C) (D) (答案:B)2(20

11、04北京春)在極坐標(biāo)系中，圓心在(且過極點(diǎn)的圓的方程為(A) (B) (C)(D) (答案:B)謎底三、判斷曲線位置關(guān)系 例7(2000年京皖春)直線=和直線sin(-)=1的位置關(guān)系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解:直線sin(-)=1是把直線sin=1繞極點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 而得, 從而兩直線平行,故選B. 評注:對直線sin(-)=1與直線sin=1的關(guān)系要十分熟悉.四、根據(jù)條件求直線和圓的極坐標(biāo)方程 例8(2002北京春)在極坐標(biāo)系中,如果一個圓的方程是r=4cosq+6sinq，那么過圓心且與極軸平行的直線方程是(A) rsinq=3 (B) r

12、sinq = 3 (C) rcosq =2 (D) rcosq = 2解:將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圓心為(2,3),所求直線方程為y=3,即rsinq=3,故選A. 評述:注意直線的直角坐標(biāo)方程極易求出. 類題:1(1992年上海)在極坐標(biāo)方程中,與圓=4sin相切的一條直線的方程是 (A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D) cos=- 4(答案:B) 2(1993年上海)在極坐標(biāo)方程中,過點(diǎn)M(2,)且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是_. (答案: sin=2)3(1994年上海)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為

13、(1,),那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為 (A)=1 (B)=cos (C)= (D)= (答案:C) 4(2000年全國)以極坐標(biāo)系中點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是 (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1) (答案:C)五、求曲線中點(diǎn)的極坐標(biāo)例9(2003上海)在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(1,),點(diǎn)B在直線上運(yùn)動，當(dāng)線段AB最短時，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是_.解:在直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),B在直線x+y=0上, AB最短,則B為,化為極坐標(biāo)為.例10(1999年上海)極坐標(biāo)方程52cos2+2-24=0所表示的曲線焦

14、點(diǎn)的極坐標(biāo)為_. 解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化為直角坐標(biāo)方程得,該雙曲線的焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(,0)與(-,0),故所求 焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,0)、(,). 評述:本題考查圓錐曲線極坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)知識,掌握點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo) 的對應(yīng)關(guān)系極為有用.例11(2001年京皖蒙春)極坐標(biāo)系中,圓=4cos+3sin的圓心的坐標(biāo)是 (A) (,arcsin) (B)(5,arcsin) (C)(5,arcsin) (D)(,arcsin)解:由= 4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-)(其中sin=) 所以所求圓心坐標(biāo)為(,arcsin),

15、故選A.類題：(2002上海)若A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(4,),B(6,0),則AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)是_.(極角用反三角函數(shù)值表示). 答案.()3. 直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 4. 圓的圓心坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 六、求距離例12(2007廣東文)在極坐標(biāo)系中，直線的方程為sin=3，則點(diǎn)(2,)到直線的距離為_.解: 將直線的極坐標(biāo)方程sin=3化為直角坐標(biāo)系方程得:y=3,點(diǎn)(2,)在直角坐標(biāo)系中為(,1),故點(diǎn)(2,) 到直線的距離為2.評注：本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的互化.例13(1992年全國、1996年上海)極坐標(biāo)方程分別是

16、=cos和=sin的兩個圓的圓心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 解法一:兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(,0)與(,),由此求得圓心距為,選D.解法二:將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得(x-)2+y2=與x2+(y-)2=, 由此求得圓心距為,選D.評述:本題考查對極坐標(biāo)的理解,理解深刻者可在極坐標(biāo)系上畫出簡圖直接求解,一般理解者,化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程也能順利得到正確答案.例14(1997年全國)已知直線的極坐標(biāo)方程為sin(+)=,則極點(diǎn)到該直線的距離是_. 解法一:化直線方程為=,根據(jù)極坐標(biāo)的概念極點(diǎn)到該直線的距離等于這個函數(shù)的最小值,當(dāng)sin(+)=1時, 取最小值即為所求.解法

17、二:對極坐標(biāo)欠熟悉時,可把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程x+y=1, 應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式得原點(diǎn)到此直線的距離為.類題:1(2000年上海)在極坐標(biāo)系中,若過點(diǎn)(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線= 4cos于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=_. (答案:2)2(2004上海)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(4,)到直線:的距離d=_ (答案:)22.已知直線的極坐標(biāo)方程為，則點(diǎn)A到這條直線的距離為 -.26極坐標(biāo)系下，直線 與圓的公共點(diǎn)個數(shù)是_七、判定曲線的對稱性 例15(1999年全國)在極坐標(biāo)系中,曲線= 4sin(-)關(guān)于 (A) 直線=軸對稱 (B)直線=軸對稱 (C) 點(diǎn)(2, )中心對稱 (D)極

18、點(diǎn)中心對稱解:把圓= 4sin繞極點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)便得到曲線= 4sin(-)=, 知其圓心坐標(biāo)為(2,),故圓的對稱軸為=,應(yīng)選B. 評述:方程表示的曲線是圓,為弄清軸對稱或中心對稱的問題,關(guān)鍵是求出其 圓心的坐標(biāo).若 1 + 2 = 0，1 + 2 = ，則點(diǎn) M1 (1,1)與點(diǎn)M2(2,2)( )。A A關(guān)于極軸對稱 B關(guān)于直線=對稱 C關(guān)于極點(diǎn)對稱 D重合八、求三角形面積ABOx例16(2006上海)在極坐標(biāo)系中,O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A(4,)，B(5,)，則OAB的面積是 .解:如圖所示,在OAB中， 評述:本題考查極坐標(biāo)及三角形面積公式.九、參數(shù)方程化一般方程：5. 與參數(shù)方程為等價

19、的普通方程為（ ）A. B. C. D. 6. 直線被圓所截得的弦長為（ ）A. B. C. D. 1. 曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_. 5. 設(shè)則圓的參數(shù)方程為_. 參數(shù)方程 ( t 為參數(shù))化為普通方程是。x2+y2=1 去掉點(diǎn)(-1,0)4、曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（ ）A、線段 B、雙曲線的一支 C、圓 D、射線9.參數(shù)方程 (t為參數(shù))所表示的圖形是 . 兩條射線；11.畫出參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線_橢圓_7曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是 DA、線段 B、雙曲線的一支 C、圓 D、射線【圓x2+y2-x-y=0】/簡單的1. 參數(shù)方程表示什么曲線？

20、2已知在直角坐標(biāo)系x0y內(nèi)，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.13C已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系13C選修44參數(shù)方程與極坐標(biāo)解：（1）消去參數(shù)，得直線的普通方程為； - - -2分即，兩邊同乘以得，消去參數(shù)，得的直角坐標(biāo)方程為： -6分（2）圓心到直線的距離，所以直線和相交-10分8(2007海南、寧夏文、理) O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為()把O1和O

21、2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；()求經(jīng)過O1，O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程3已知圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過點(diǎn)的圓的切線的極坐標(biāo)方程解：由題設(shè)知，圓心， 設(shè)是過點(diǎn)的圓的切線上的任一點(diǎn)，則在中，有，即為所求切線的極坐標(biāo)方程11已知曲線C的極坐標(biāo)方程是以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是求直線與曲線C相交所成弦的弦長解：曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，即. 直線的參數(shù)方程化為普通方程為.曲線C的圓心（2，0）到直線的距離為，所以直線與曲線C相交所成的弦的弦長為15求直線

22、（）被曲線所截的弦長.【7/5】將方程,分別化為普通方程：，(5分)(10分)10過點(diǎn)P（3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點(diǎn)求線段AB的長【】10C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：直線的參數(shù)方程為，3分曲線可以化為5分將直線的參數(shù)方程代入上式，得設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，8分AB10分說明：掌握直線，圓，圓錐曲線的參數(shù)方程及簡單的應(yīng)用6 直線 （t為參數(shù)）與橢圓 （為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，求A、B間的距離解：直線的普通方程為橢圓的普通方程為聯(lián)立方程組 消元得，則所以18已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左，右焦點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（1）求直線和曲線C的普通方

23、程； （2）求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線的距離之和. 【】18（23）解: （） 直線普通方程為； 3分曲線的普通方程為 6分（） ,， 7分點(diǎn)到直線的距離 8分點(diǎn)到直線的距離 9分 10分/求最值8. 已知A是曲線=3cos上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線cos=1距離的最大值和最小值解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程：=3cos即：x2y2=3x,(x)2y2=cos=1即x=1直線與圓相交。所求最大值為2，最小值為0 14在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓上的點(diǎn)到直線的距離為,求的最大值.【4】14C（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程：(2分) 可化為(5分)在上任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線的距離為,

24、它的最大值為4 (10分)16設(shè)P(x，y)是曲線C：（為參數(shù)，0<2）上任意一點(diǎn)，(1)將曲線化為普通方程; (2)求的取值范圍.16（23）(1)(x+2)2+y2=1 (5分)(2)設(shè)y=kx,則kx-y=01= (7分)k2=,k= (9分) (10分)1已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，【】（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！矩?fù)根號2減一】2. 點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離. 17點(diǎn)M（x,y）在橢圓上，則點(diǎn)M到直線的最大距離為_,此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)是_.1C在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值【2】1C選修44參數(shù)方程與極坐標(biāo)解： 因橢圓的參數(shù)方程為 故可設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中. 因此 所以，當(dāng)時，取最大值217已知曲線的極坐標(biāo)方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)） （）將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程； （）設(shè)直