關(guān)于歐氏幾何的第5公設(shè)與非歐幾何

1、 關(guān)于歐氏幾何的第5公設(shè)與非歐幾何裕華 敏雁 施培成摘要： 本文綜述了由歐氏幾何到非歐幾何的發(fā)展歷史；評述了非歐幾何的思想與其偉大意義；論述了歐氏幾何，羅氏幾何，黎曼幾何的對立統(tǒng)一關(guān)系。比較了三種幾何的主要特征與適用圍。關(guān)鍵詞：第五公設(shè)，歐氏幾何，羅氏幾何，黎曼幾何。一、關(guān)于Euclid的Elements歐幾里得的幾何原本早已失傳，現(xiàn)存的有：1、公元四世紀(jì)末（400年左右）泰恩（Thon）的原本修訂本。2、18世紀(jì)在梵蒂岡圖書館發(fā)現(xiàn)的一個第十世紀(jì)的原本希臘文手抄本，可能比泰恩本更早些。3、現(xiàn)代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依據(jù)泰恩修訂本的版本。4、現(xiàn)在看到的各種版本（一千多種版本）均非歐

2、幾里得手稿的傳本，而是依據(jù)后人的修訂本，注釋本，翻譯本重新整理出來的。5、1794年法國數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre,1752-1833）為使幾何原本更便 于教和學(xué)，曾對原本作了較大的修改，如刪去了原本中的非幾何部分容，并將幾何部分重新整理和編寫。把“命題”中的定理和問題加以明確區(qū)分，還把第5公設(shè)換為與它等價的平行公理；“過直線外一點(diǎn)，有而且只有一條直線與原直線平行”等等，編成了新歐幾里得幾何原本。于是自19世紀(jì)開始，初等幾何課本一般都是以此為蘭本的改編本。6、中國最早的漢譯本是1607年（明萬歷35年丁未）意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光啟（

3、15621633）的合譯本（前6卷），稱之為“明譯本”底本系德國人的拉丁文本15卷。二百五十年之后，1857年，后9卷由英人偉烈亞（A.Wylie,1815-1887）和善蘭（18111882）合譯，稱之為“清譯本”底本是英文版第15卷。由于它們均系文言，并且名詞，術(shù)語和現(xiàn)代有很大的差異，不易看懂，故現(xiàn)代新譯本于1990年由科技出版。二、關(guān)于第5公設(shè)古希臘對于數(shù)學(xué)的最杰出的貢獻(xiàn)就是“根據(jù)公理體系來建立數(shù)學(xué)”的觀念，即：一個合乎邏輯的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)是由一組原始定義和原始命題（公設(shè)， 公理）出發(fā)，通過演繹推理導(dǎo)出這一學(xué)科的其他所有命題。所以原本是一部在定義，公設(shè)和公理的基礎(chǔ)上，按演繹推理方法建立起來的

4、命題系統(tǒng)。原本第1卷有 首先給出了23個定義，如：點(diǎn)是沒有部分的；線是沒有寬度的長度，等等。此外，還有平面，直角，垂直等定義。定義之后是5個公設(shè)：1）從任一點(diǎn)到任一別的點(diǎn)（可）引一直線；2）有限直線（可）循直線延長；3）以任一點(diǎn)為中心，任意長為半徑（可）做一圓；4）開直角都相等；5）若一直線與另外兩直線相交，且在同側(cè)二角（同旁角）之和小于二直角。則這兩直線無限延長后相交于該側(cè)的一點(diǎn)。五個定理：1）等于同一量的量彼此相等；2）等量加等量其和相等；3）等量減等量其差相等；4）互相重合的量彼此相等；5）整體大于部分。按照亞里斯多德關(guān)于公理和公設(shè)的區(qū)別，前者是適用于一切科學(xué)的真理，后者僅適用于幾何學(xué)，

5、今天統(tǒng)稱公理。 顯見，五個公設(shè)中，前四個人們認(rèn)為簡單明了，符合亞里斯多德公理“自明性”的要求。唯獨(dú)第5公設(shè)，即現(xiàn)在的“平行公理”，不公文字羅嗦，而且所肯定的事實(shí)也不明顯。比如，當(dāng)兩條直線相交于非常遙遠(yuǎn)的地方時，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。所以自歐幾里得以來，人們就認(rèn)為這是原本的一個污點(diǎn)。比如，1759年，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（JL·R·DAlembert，1717-1783）曾說“第5公設(shè)是“幾何原本中的家丑”。 不僅如此，而且歐幾里得本人似乎對這一公設(shè)也不太滿意原本第1卷共48個命題，其中前28個命題的證明歐氏都回避用第5公設(shè)，只有在第29個題 的

6、證明中，才不得不用了一次，而且這是原本用第5公設(shè)的唯一的一次。三、對第5公設(shè)的研究非歐幾何的歷史，就是從努力消除對歐氏平行公理的懷疑開始的。從希臘時代到19世紀(jì)間有兩種研究途徑：一種是用更為自明的命題來代替平行公理；另一種是試圖從歐氏其他幾個公理推導(dǎo)出平行公理來，如果辦到這一點(diǎn)，平行公理將成為定理，它也就無可懷疑了。第一種途徑：歷史上曾被用作代替“平行公理”的等價“公理”有很多，例如：1）平面上不相交的二直線不能彼此遠(yuǎn)離（普羅克魯斯Proclus,希臘，公元5世紀(jì)）；2）存在著兩個相似而不相等的三角形（瓦里斯Wallis，英，1663年）；3）過已知直線外一點(diǎn)，只能作一條直線平行于已知直線（普

7、雷菲爾J,Plagfair,格蘭，1795年）;4）三角形的角和等于二直角（法，勒讓德，Legendre）. 這樣的例子我們現(xiàn)在可以無限制地列舉下去，但是細(xì)究起來，它們的自明性并不比第5公設(shè)更好。最好的替代公理要算公理3，所以近代常將第5公設(shè)稱為平行公理 ，它被中學(xué)課本所采用。 第二種途徑：探索從其它幾條公理推導(dǎo)出第5公設(shè)，這又分直接證明和間接證明。直接證明是以幾條公理為前提，直接推出第5公設(shè)。自原本問世的兩千年以來，幾乎稱得起數(shù)學(xué)家的人幾乎都作過嘗試，并付出了辛勤勞動，浪費(fèi)了許多精力，均以失敗而告終。有時好象找到了證明，但仔細(xì)審查一下，他們都犯了自覺 或不自覺地承認(rèn)了一些不加證明的假設(shè)的毛病

8、，而這些假設(shè)又都是與第5公設(shè)等價的。四、創(chuàng)立非歐幾何的幾位數(shù)學(xué)家直到19世紀(jì)開始時，第5公設(shè)的證明問題還是沒有解決，這真是幾何學(xué)的一個深奧的謎。 平行線理論在19世紀(jì)成為幾何學(xué)的中心問題之一。研究它的有很多數(shù)學(xué)家，如高斯，拉格朗日，達(dá)朗貝爾，勒讓德等等。 長期直接證明的失敗，使人們的注意力逐漸轉(zhuǎn)移到間接證明上來，即從第5公設(shè)的否定命題出發(fā)，試圖引出矛盾，一般認(rèn)為，這一工作的開始，就意味著非歐幾何的醞釀。 二千余年的努力，為非歐幾何的誕生準(zhǔn)備了極好的條件，非歐幾何的創(chuàng)立已勢在必然，只是有待于杰出的數(shù)學(xué)家為它邁出決定性的一步。象任何一個較大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，都不會只是個人能做到的一樣，非歐幾何的誕生

9、也是在前人二千多年認(rèn)識成果的基礎(chǔ)上做出的，其決定性的步驟由高斯，羅巴切夫斯基和丁·鮑耶三個走出。但那已是19世紀(jì)上半葉的事了。高斯發(fā)現(xiàn)在先，而羅巴切夫斯基的成果發(fā)表在先。1、德國數(shù)學(xué)家高斯（C.F.gauss.1777-1855）人稱“數(shù)學(xué)家之王”，是一個瓦工的兒子，自幼家境貧寒。早在1792年，即他15歲時，就開始思考?xì)W氏第5公設(shè)問題。那時他認(rèn)為：第5公設(shè)不是一條幾何定理，不能證明它，也不是幾何學(xué)公理中必備的，它只是對歐氏幾何學(xué)才有效。他已經(jīng)意識到除歐氏幾何外，還存在著另一個邏輯上無矛盾的幾何。從1799年起，他著手開發(fā)這一新的幾何的容，1813年已經(jīng)形成比較完整的思想。如果把第5

10、公設(shè)變?yōu)椤斑^已知直線外一點(diǎn)可以作多于一條與該直線平行的直線”則完全可以推導(dǎo)出另一套幾何學(xué)來。開始他稱為“反歐幾里得幾何學(xué)”（anti-Euclidean geometry），后又改為“星空幾何”最后才定名為“非歐幾里得幾何”。為了驗(yàn)證他的非歐昨里得幾何的應(yīng)用的可能性，高斯還實(shí)際測量了由三座山峰構(gòu)成的三角形的角和，這種幾何的三角形角和小于180度。高斯生前沒有發(fā)表過非歐幾何的正式論著，他的關(guān)于非歐幾何的思想，只能從他給朋友們的信和他的遺稿中了解。1846年，他的一封信中說：“羅巴切夫斯基稱之為假想的幾何學(xué)，您知道，我對此有同樣的觀點(diǎn)已經(jīng)有54年了”。高斯一生，性格向，待人厚道，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不管做什

11、么工作都是反復(fù)琢磨修飾，只有在證明的嚴(yán)密性和文字的簡明性等各方面都達(dá)到完美無缺時才肯公開發(fā)表。同時由于幾千年來一直認(rèn)為歐氏幾何是唯一正確的真理的教條所統(tǒng)治，高斯也許過于小心，擔(dān)心引起庸人們的恥笑，未敢發(fā)表，但高斯是真正預(yù)見到非歐幾何的第一人。2預(yù)見到非歐幾何的第二人是丁·鮑耶（Bolyai,1802-1860）,他是匈牙利數(shù)學(xué)家W·鮑耶的兒子。老鮑耶是高斯大學(xué)時的同學(xué)和好友，曾從事第5公設(shè)的證明，因?yàn)闆]有成就，自認(rèn)為浪費(fèi)了時間，小鮑耶受其父的影響并且不聽父親的勸阻，又走上了這一道路。1823年他寫成了擯棄第5公設(shè)的26頁的論文絕對空間的科學(xué)，1825年他已基本完成 了非歐幾

12、何學(xué)，他發(fā)現(xiàn)非歐幾何的工作與羅巴切夫斯基很相仿，小鮑耶請求父親幫助出版，但遭到拒絕。直到1832年父親才把兒子的成果作為附錄附在自已的一本著作之末（在羅巴切夫斯基的書出版之后）。 3羅巴切夫斯基（.v，1792-1856）出身于俄羅斯一個小技術(shù)員家中，3歲喪父，自幼家貧。他從1815年開始研究第5公設(shè)問題，起初也想直接證明，但很快汲取了歷史上的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，意識到不可能。1823年他用如下命題代替第5公設(shè)：過已知直線外一點(diǎn)，至少可作兩條直線和已知直線不相交?！坝谑莿?chuàng)立了與歐氏幾何不同的且在嚴(yán)格性和規(guī)模上同它一樣的新幾何。1826年，他在喀山大學(xué)數(shù)學(xué)物理系的學(xué)術(shù)討論會上作了題為關(guān)于幾何原理的扼要敘述

13、與平行線定理的一個嚴(yán)格證明的報告，但未出版并已遺失，1829年在喀山通報上發(fā)表了論幾何學(xué)基礎(chǔ)，以后又有補(bǔ)充。1840年發(fā)表了平行線理論的幾何研究等一系列非歐幾何論文。由于當(dāng)時還沒有找到這種幾何的實(shí)際應(yīng)用，所以他稱他的新幾何為”想象的幾何學(xué)”，“虛幾何學(xué)”，后來他雙目失明，卻以口授寫出一部他的幾何的完全的新的說明，并于1855年以書名泛幾何出版，今天稱為“羅巴切夫斯基幾何“。 雖然高斯和丁·鮑耶被人們承認(rèn)是最先預(yù)見到非歐幾何的人，但是，羅巴切夫斯基實(shí)際上是發(fā)表此課題的有系統(tǒng)的著作的第一人，被稱為“幾何學(xué)上的哥白尼”。4、上述三人的新幾何里，三角形的角和小于兩 直角，一般稱之為羅巴切夫斯

14、基幾何，簡稱羅氏幾何。1871年，德國數(shù)學(xué)家·克萊因（C·F·Klein，18491925）改 稱其為“雙曲幾何學(xué)”,一直沿用至今。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼在關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)的演說中，又提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的非歐幾何。這種幾何采用公理“同一平面上任何兩 條直線一定相交”代替歐氏幾何中平行公理，對其余公理只是稍作改動。被稱為“橢圓幾何”其中三角形角和大于二直角。它和球 面幾何學(xué)相差無幾，如果把球面的對頂點(diǎn)看成同一點(diǎn)，就得這種幾何。黎曼（G·F·B·Rieman,1826-1866），家境清苦，他的生活十分艱難，加

15、上工作勞累，終于在1866年7月20日病故，年僅39歲。1854年黎曼在哥廷根大學(xué)發(fā)表了題為關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)報告，提出了黎曼幾何的思想，徹底革新了人們的幾何觀念，他把對三維空間的研究推廣到了n維空間，并把這樣的空間稱作一個流形。為用抽象空間描述自然現(xiàn)象奠定了基礎(chǔ)。他認(rèn)為非歐幾何不僅僅是一種，而是一個廣大而又豐富的領(lǐng)域。為了定義黎曼空間，推廣了曲面的高斯曲率，建立了黎曼空間曲率的概念，這個概念是刻劃歐氏空間和各種非歐氏空間差異的量度。黎曼在報告中所闡述的幾何思想極為深刻，是繼高斯，羅巴切夫斯基之后，幾何思想的一次突破。據(jù)說在當(dāng)時的聽眾中，除了年邁的高斯，沒有一個人聽得懂，所以這一報告沒有受到應(yīng)

16、有的評價。直到1868年，即黎曼去世后的第二年，黎曼的這一學(xué)說才正式的公布。至此，兩種主要的非歐幾何都已建立起來了。非歐幾何有狹義的，廣義的和通常意義的 這三種不同的含義。狹義的非歐幾何是指羅氏幾何。廣義的非歐幾何泛指一切和歐氏幾何不同的幾何。通常意義的非歐幾何是指羅氏幾何（也叫雙曲幾何）和黎曼幾何（也叫橢圓幾何）。五、 幾何思想簡述以與其偉大意義。1、非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展，在客觀上對研究了兩 千年的第5公設(shè)作了總結(jié)：它是獨(dú)立的公理。歷史的實(shí)踐表明，它不可能通過其他公理作出證明，因此它不可能被取消，只能 用它的等價命題代替，從而構(gòu)成不同的公理系統(tǒng)。但這些不同形式的公理系統(tǒng)，最終只能建立同一種幾

17、何空間，如用它不同的否定命題代替，則產(chǎn)生不同的幾何學(xué)。具體地說，第5公設(shè)最簡明 的表達(dá)是：過已知直線外的任一點(diǎn)只能作一條直線同已知直線平行。它的否定命題有如下兩種形式：其一，過已知直線外的任一點(diǎn)可以做出一條以上的直線同已知直線平行。其二，過已知直線外的任一點(diǎn)所作的任何一條直線都同已知直線相交。用第一種否定形式代替第5公設(shè)，則產(chǎn)生羅氏幾何；用第二種否定形式代替第5公設(shè)則產(chǎn)生狹義的黎曼幾何。因此，非歐幾何的創(chuàng)立，首次有力地說明數(shù)學(xué)不僅能直接從現(xiàn)實(shí)世界中提取它的模型，而且也能從對它自身已經(jīng)形成的概念和理論的研究中開拓新的分支。三種幾何學(xué)的主要特征歐氏幾何學(xué)非歐幾何學(xué)羅 氏 幾 何 學(xué)黎 曼 幾 何

18、學(xué)過直線外一點(diǎn)的不相交 直線只存在一條存在無限多條一條也不存在三角形角和等于二直角小 于 二 直 角大 于 二 直 角三角形的面積與角和與角和無關(guān)與角欠成正比與角余成正比直線的長度無限長無限長有限長但無終點(diǎn)注：在羅氏幾何中，二直角減去三角形角和叫作三角形的角欠，在黎曼幾何中，三角形角和減去二直角稱為三角形的角余；而在歐氏幾何中，兩 者之差為0。2、氏幾何自公無前3世紀(jì)建立以后，直到19世紀(jì)初葉的二千余年間，一直是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典，在一代又一代的數(shù)學(xué)家的思想上留下了深深的烙印。19世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵枷嘈?；歐氏幾何即為真理。非歐幾何的創(chuàng)立 ，打破了兩千多年來歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面，從根本上改變了人

19、們的幾何觀，擴(kuò)大了幾何的研究對象，使 幾何學(xué)從研究具體圖形的性質(zhì)進(jìn)入到研究抽象空間的更一般的形式，出現(xiàn)了各種抽象空間和幾何，如高維空間，拓?fù)淇臻g，黎曼空間等，這種空間的數(shù)目無窮，而且其中每一種空間都有自已的性質(zhì)，自已的“幾何”使 幾何學(xué)進(jìn)入一個以抽象為特征的嶄新階段。3、非歐幾何的創(chuàng)立，是由對歐氏幾何公理，體系的反思引起的。這就使后來的數(shù)學(xué)家注意對幾何基礎(chǔ)至整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究。在這個過程中，一些新的數(shù)學(xué)公支，如數(shù)的概念，分析基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)理邏輯等相繼延生，19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)起了幾何公理化運(yùn)動，并迅速從幾何擴(kuò)與算術(shù)，數(shù)理邏輯，概率論等領(lǐng)域，由此而形成 的公理化方法，已經(jīng)成了

20、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要方法之一。4、直到18世紀(jì)末，人們認(rèn)為現(xiàn)實(shí)的空間只能是歐氏幾何所描述的那種形式，即所謂的絕對“平直”的空間，不可能還有別的什么形式。所謂空間“平直”，主要體現(xiàn)在平行公設(shè)中，即在平面上過直線外一點(diǎn)，只能作一條直線和它不相交，這種不相交的直線就稱為平行線?！捌街薄笨臻g理論還認(rèn)為三角形角和等于180度， 它的曲率等于零，1718世紀(jì)的牛頓力學(xué)就是建立在這種空間觀念上的，這就是牛頓的絕對空間。隨著實(shí)踐規(guī)模的擴(kuò)大，在航海中發(fā)現(xiàn)地面是彎曲的，接近于球面，19世紀(jì)，由于交通動輸事業(yè)的發(fā)展，需要精確測量兩地間的距離。這就要考慮曲面上的關(guān)系，促使人們對曲面進(jìn)行深入研究。人們還通過天文觀測考察認(rèn)識了

21、遙遠(yuǎn)空間的性質(zhì)。這樣由于實(shí)踐規(guī)模的擴(kuò)大，人們對空間的絕對“平直”發(fā)生了懷疑，逐漸形成了新的空間觀念，由“平直”空間到“彎曲”空間。在一般的黎曼空間中，空間每一點(diǎn)的曲率（彎的程度）是不同的， 即黎曼空間不均勻的，在特殊的情況下，黎曼空間可以是均勻的，即具有常量的曲率，常量曲率空間有三種類型：1、零曲率空間，即歐幾里得空間（平面上的每一點(diǎn)的曲率都等于0）；2、負(fù)曲率空間，即羅巴切斯基空間（向凹陷的曲面，如象高音喇叭，鍋底或與馬鞍形向凹的特殊曲面，一般叫做偽球面，它的曲率是負(fù)數(shù)，三角形的角和小于180度。）3、正曲率空間，即狹義的黎曼空間（如果一曲面象球面或者雞蛋殼那樣是向外凸起的，其曲率為正數(shù)，球

22、面三角形的角和大于180度。這樣，歐氏幾何和羅氏幾何就都成為更一般的黎曼幾何的特例 了。 歐氏幾何過去一直被認(rèn)為是現(xiàn)實(shí)空間的標(biāo)準(zhǔn)描述，而眾多的數(shù)學(xué)和物理學(xué)分支，都依賴著現(xiàn)實(shí)空間的基本性質(zhì)，因而也在使用歐氏幾何中的理論。非歐幾何的創(chuàng)立，改變了歐氏幾何是描述現(xiàn)實(shí)空間唯一真理的看法。這必然對空間和時間的物理觀念產(chǎn)生重大影響，這對促成愛因斯坦（Einstein,18791955）相對論與量子力學(xué)的誕生，起了理論上的啟示作用。按相對論的觀點(diǎn)，宇宙結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)，恰恰是接近于非歐幾何，而不是歐氏幾何?？傊菤W幾何從它的先驅(qū)的工作開始，到最后被公認(rèn)共計兩百余年。由此證明了人們生存的空間只是在小圍可以被視為歐

23、氏空間，而大圍空間與整個宇宙必須用非歐幾何來描述。至此，非歐幾何取得了徹底勝利。三種幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴(yán)密的公理體系，各公理間滿足和諧性，獨(dú)立性和完備性，因此它們都是正確的，他們都在某一個側(cè)面上反映了現(xiàn)實(shí)空間。在我們這個不大不小，不遠(yuǎn)不近的空間里，即在我們?nèi)粘Ｉ钪?，歐氏幾何是適用的，在宇宙空間（或原子核世界）中，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海，航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何就更適用了。希爾伯特說：“19世紀(jì)最有啟發(fā)性，最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。”由于羅氏的和黎曼的非歐氏幾何的發(fā)現(xiàn)，幾何學(xué)從其傳統(tǒng)的束縛中解放出來了，從而為大批的，新的， 有趣的幾何發(fā)明開辟了廣闊的道

24、路。這些新的幾何的公設(shè)基礎(chǔ)都與歐氏幾何的公設(shè)基礎(chǔ)有這樣那樣的區(qū)別。這些新的幾何是：非阿基米德幾何，非笛沙格幾何，黎曼于1854年開始討論的一整套黎曼幾何，非黎曼幾何，有限幾何（它只包含有限多的點(diǎn)，線和面），許許多多，最近又有所謂“分形幾何”。六、歐氏，羅氏，黎曼三種幾何學(xué)的對立統(tǒng)一關(guān)系 我們曾經(jīng)討論了平面上的圖形的性質(zhì)，即平面幾何學(xué)。同樣我們也可以在某些曲面上討論圖形的性質(zhì)，象建立平面幾何學(xué)一樣來建立曲面上的幾何學(xué)，一般稱之為曲面的在（或蘊(yùn)）幾何學(xué)。例如球面幾何學(xué)就是這樣的幾何學(xué)。而平面可以看成是特殊的曲面。 高斯曲率是表示曲面彎曲程度的一個量。各處高斯曲率都一樣的曲面稱為常曲率曲面，例如平面

25、，球面等都是常曲率曲面，人們在研究常曲率曲面的在幾何時，證明了常曲率曲面上的在幾何只有三種：當(dāng)高斯曲率等于0時，稱為拋物型幾何學(xué)，歐氏平面幾何就是一個例子；當(dāng)高斯曲率為小于0的常數(shù)時，稱為雙曲型幾何學(xué)，羅氏幾何學(xué)就是一個例子，當(dāng)高斯曲率為大于0的常數(shù)時，稱為橢圓型幾何學(xué)，純球面幾何學(xué)就是一個例子。這樣就從常曲率曲面的在幾何學(xué)的關(guān)系上，通過高斯曲率把三種幾何統(tǒng)一起來了，說明了三種幾何學(xué)的意義和并存的必要。三種幾何學(xué)都僅僅是在一定條件下相對的從某一個側(cè)面反映現(xiàn)實(shí)空間。當(dāng)我們在日常工作中作一局部測量時，顯然可以看成是歐氏幾何學(xué)的現(xiàn)象，引用歐氏幾何的規(guī)律即可以正確地解決了。但當(dāng)我們從航海到倫敦，則是球面上的運(yùn)動，因而不能用兩點(diǎn)間直線最短的規(guī)律來測量這樣的距離了，這時