有限元網(wǎng)格劃分和收斂性

1、一、基本有限元網(wǎng)格概念1.單元概述幾何體劃分網(wǎng)格之前需要確定單元類型。單元類型的選擇應(yīng)該根據(jù)分析類型、形狀特征、計(jì)算數(shù)據(jù)特點(diǎn)、精度要求和計(jì)算的硬件條件等因素綜合考慮。為適應(yīng)特殊的分析對(duì)象和邊界條件，一些問(wèn)題需要采用多種單元進(jìn)行組合建模。2.單元分類選擇單元首先需要明確單元的類型，在結(jié)構(gòu)有限元分析中主要有以下一些單元類型：平面應(yīng)力單元、平面應(yīng)變單元、軸對(duì)稱實(shí)體單元、空間實(shí)體單元、板 單元、殼單元、軸對(duì)稱殼單元、桿單元、梁?jiǎn)卧?、彈簧單元、間隙單元、質(zhì)量單元、摩擦單元、剛體單元和約束單元等。根據(jù)不同的分類方法，上述單元可以分成以 下不同的形式。3.按照維度進(jìn)行單元分類根據(jù)單元的維數(shù)特征，單元可以分為

2、一維單元、二維單元和三維單元。一維單元的網(wǎng)格為一條直線或者曲線。直線表示由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)確定的線性單元。曲線代表由兩個(gè)以上的節(jié)點(diǎn)確定的高次單元，或者由具有確定形狀的線性單元。桿單元、梁?jiǎn)卧洼S對(duì)稱殼單元屬于一維單元，如圖1圖3所示。二維單元的網(wǎng)格是一個(gè)平面或者曲面，它沒(méi)有厚度方向的尺寸。這類單元包括平面單元、軸對(duì)稱實(shí)體單元、板單元、殼單元和復(fù)合材料殼單元等，如圖4所示。二 維單元的形狀通常具有三角形和四邊形兩種，在使用自動(dòng)網(wǎng)格剖分時(shí)，這類單元要求的幾何形狀是表面模型或者實(shí)體模型的邊界面。采用薄殼單元通常具有相當(dāng)好的 計(jì)算效率。三維單元的網(wǎng)格具有空間三個(gè)方向的尺寸，其形狀具有四面體、五面體和六面體，這

3、類單元包括空間實(shí)體單元和厚殼單元，如圖5所示。在自動(dòng)網(wǎng)格劃分時(shí)，它要求的是幾何模型是實(shí)體模型(厚殼單元是曲面也可以)。4.按照插值函數(shù)進(jìn)行單元分類根據(jù)單元插值函數(shù)多項(xiàng)式的最高階數(shù)多少， 單元可以分為線性單元、二次單元、三次單元和更高次的單元 。線性單元具有線性形式的插值函數(shù)，其網(wǎng)格通常只具有角節(jié)點(diǎn)而無(wú)邊節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)格邊界為直線或者平面。這類單元的優(yōu)點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)數(shù)量少，在精度要求不高或 者結(jié)果數(shù)據(jù)梯度不太大的情況下，采用線性單元可以得到較小的模型規(guī)模。但是由于單元位移函數(shù)是線性的，單元內(nèi)的位移呈線性變化，而應(yīng)力是常數(shù)，因此會(huì)造成 單元間的應(yīng)力不連續(xù)，單元邊界上存在著應(yīng)力突變，如圖6所示。二次單元的插值函

4、數(shù)是二次多項(xiàng)式，其網(wǎng)格不僅在每個(gè)頂點(diǎn)處有角節(jié)點(diǎn)，而且在棱邊上還存在一個(gè)邊節(jié)點(diǎn)，因此網(wǎng)格邊界可以是二次曲線或者曲面。這類單元的優(yōu)點(diǎn) 是幾何和物理離散精度較高，單元內(nèi)的位移呈二次變化，應(yīng)力呈線性變化，因此單元邊界上的應(yīng)力是連續(xù)的。但是在單元數(shù)量相同的條件下二次單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)比線性 單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)多，模型的規(guī)模較大，如圖7和圖8所示。三次單元的插值函數(shù)是三次多項(xiàng)式，其網(wǎng)格的每條邊上存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，有些三次單元還具有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。這類單元的離散精度更高，但是由于單元節(jié)點(diǎn)數(shù)較多，網(wǎng)格劃分較為困難，模型規(guī)模很大，一般用于具有特殊精度要求的場(chǎng)合，如圖9所示。對(duì)于一階和二階單元，我們通常也稱其為H單元。三階及以上的單元

5、，我們也稱其為P單元，高階次的P單元可以更好地?cái)M合變形形狀，特別對(duì)于曲率或者應(yīng)力梯度變化較大的區(qū)域會(huì)較為真實(shí)的模擬，但會(huì)比H-單元有較多的運(yùn)算量，如圖10所示。5.結(jié)構(gòu)單元與非結(jié)構(gòu)單元根據(jù)單元能否離散成實(shí)際結(jié)構(gòu)，可以將單元分為結(jié)構(gòu)單元和非結(jié)構(gòu)單元。能離散成實(shí)際結(jié)構(gòu)的稱為結(jié)構(gòu)單元，如軸對(duì)稱單元離散軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，桿、梁?jiǎn)卧?用于離散桿件結(jié)構(gòu)，實(shí)體單元用于離散空間結(jié)構(gòu)等，這些單元都屬于結(jié)構(gòu)單元。除此之外，還有一類單元并不用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的離散，而是在模型中模擬一些特殊的結(jié) 構(gòu)和邊界條件，如質(zhì)量單元用于實(shí)際的物體質(zhì)量效應(yīng)，彈簧和阻尼單元用于模擬結(jié)構(gòu)的彈性支承和減振吸能部件，間隙和接觸單元用于結(jié)構(gòu)之間的相互接

6、觸作用，螺 栓預(yù)緊力單元用于模擬螺栓的預(yù)緊力，剛體單元用于模擬節(jié)點(diǎn)之間的剛性連接等，這些單元稱為非結(jié)構(gòu)單元。由于非結(jié)構(gòu)單元非常抽象，使用起來(lái)有一定的難度，在設(shè)計(jì)仿真一體化分析里面通常會(huì)將其工程化，幫助使用者淡化其力學(xué)概念。6.節(jié)點(diǎn)和單元的重要力學(xué)概念針對(duì)前述的單元分類，此處要澄清關(guān)于節(jié)點(diǎn)和單元的一些非常有用的總結(jié)性概念。有限元分析首先計(jì)算節(jié)點(diǎn)的位移量，接著再推算其對(duì)應(yīng)單元的應(yīng)變值，再計(jì)算積分點(diǎn)的應(yīng)力。因此位移的準(zhǔn)確性高于應(yīng)變、應(yīng)變高于應(yīng)力;當(dāng)結(jié)構(gòu)靜力平衡時(shí)計(jì)算變形的單元是求得準(zhǔn)確有限元分析結(jié)果的關(guān)鍵，因此線性計(jì)算中單元不可以變形過(guò)大，否則會(huì)造成求解失敗;網(wǎng)格質(zhì)量概括來(lái)說(shuō)，初始網(wǎng)格必須可呈現(xiàn)初始

7、模型的幾何形狀，而且要足夠“彈性”以符合靜力平衡后的變形幾何形狀;在預(yù)計(jì)會(huì)有應(yīng)力梯度變化劇烈的位置上，為預(yù)測(cè)其準(zhǔn)確變形情況，細(xì)小特征幾何必須要更精確符合，以利于準(zhǔn)確計(jì)算這些位置上的應(yīng)力值;在理想曲率邊線與網(wǎng)格曲率邊線之間的差距稱之為離散誤差。二、有限元誤差分析      1.有限元誤差有限元的誤差主要來(lái)自兩個(gè)方面，一是模型誤差，一是計(jì)算誤差。模型誤差是指將實(shí)際工程問(wèn)題抽象為適合計(jì)算機(jī)求解的有限元模型時(shí)所產(chǎn)生的誤差，即有限元模型和實(shí)際問(wèn)題之間的差異。它包括有限元離散處理所固有的原理性誤差，也可能包括幾何模型處理、實(shí)際工況轉(zhuǎn)化為模型邊界條件時(shí)所帶來(lái)的偶然性誤

8、差。計(jì)算誤差是指采用數(shù)值方法對(duì)有限元模型進(jìn)行計(jì)算所產(chǎn)生的誤差，誤差的性質(zhì)是舍入誤差和截?cái)嗾`差。模型誤差包含離散誤差、邊界條件誤差和單元形狀誤差，離散誤差包含物理離散誤差和幾何離散誤差。2.離散誤差物理離散誤差是插值函數(shù)和真實(shí)函數(shù)之間的差異，其大小與單元尺寸和插值多項(xiàng)式的階次有關(guān)，單元尺寸減小也就是網(wǎng)格劃分越密，插值函數(shù)的階次增加，將使有限元的解收斂于精確解。幾何離散誤差是指離散后的幾何體與原有幾何形狀上的差異。對(duì)于由直線或者平面邊界構(gòu)成的規(guī)則結(jié)構(gòu)，這類誤差較小。對(duì)于具有復(fù)雜曲線或者曲面邊界構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，離散后會(huì)產(chǎn)生較大的形狀誤差。本文下面通過(guò)solidworks Simulation來(lái)

9、詳細(xì)討論物理離散誤差與幾何離散誤差的具體操作細(xì)節(jié)。三、收斂性及自動(dòng)收斂方法一般而言，網(wǎng)格擁有較多的單元，可得到較準(zhǔn)確的結(jié)果。會(huì)有更多的節(jié)點(diǎn)可供計(jì)算，所以結(jié)果會(huì)較準(zhǔn)確。較多的單元也就表示單元大小較小，所以物理離散誤差可減小。實(shí)際分析上也有極限，在收斂性分析過(guò)程中網(wǎng)格尺寸一再縮減也不一定會(huì)對(duì)精確結(jié)果有幫助。對(duì)一給定幾何而言，要達(dá)到收斂性的網(wǎng)格會(huì)與外部負(fù)載條件及邊界約束條件有關(guān)(見(jiàn)圖11)。在線性靜態(tài)分析中，載荷大小不是收斂性的系數(shù)。下面以SolidWorks Simulation的收斂性為例簡(jiǎn)單介紹收斂性的處理方法和技巧。SolidWorks Simulation提供三種收斂性的技術(shù)。包括有手動(dòng)控

10、制收斂性和軟件自動(dòng)控制收斂性技術(shù)。其中自動(dòng)控制收斂性的方法我們也稱之為自適應(yīng)方法，如圖12 所示，包括自動(dòng)H自適應(yīng)方法(H-adaptive)、自動(dòng)P自適應(yīng)方法(P-adaptive)。1.自動(dòng)H自適應(yīng)方法(H-adaptive)H方法的本質(zhì)就是根據(jù)應(yīng)力梯度的變化情況自動(dòng)在應(yīng)力梯度大的地方，根據(jù)預(yù)先規(guī)定的收斂準(zhǔn)則，重新自動(dòng)剖分網(wǎng)格，進(jìn)行自動(dòng)加密(見(jiàn)圖13，原始網(wǎng)格與H自適應(yīng)網(wǎng)格結(jié)果)。SolidWorks Simulation的H方法具有以下特性。1)適用于實(shí)體零件及裝配體(僅支持實(shí)體單元)的靜態(tài)分析研究;2)在應(yīng)變能誤差較高的區(qū)域使用較小網(wǎng)格尺寸;3)可以在應(yīng)變能誤差較低區(qū)域網(wǎng)格粗化(加大網(wǎng)

11、格尺寸)，便于在后面的優(yōu)化計(jì)算中降低計(jì)算規(guī)模，大大提高優(yōu)化效率;4)目標(biāo)精度定義應(yīng)變能量密度范數(shù)的精度等級(jí)默認(rèn)值是98%，此處可以調(diào)整能量密度范數(shù)的精度等級(jí)，一般情況下默 認(rèn)的精度可以達(dá)到分析的要求;5)精度偏差設(shè)置(見(jiàn)圖13);       精度偏差設(shè)置有局部(本地)和全局(整體);滑動(dòng)桿朝局部移動(dòng)，指示程序以較少的單元取得精確 的峰值應(yīng)力結(jié)果;滑動(dòng)桿朝全局移動(dòng)，指示程序取得整體零件剛度精確 的結(jié)果，而不是應(yīng)力結(jié)果。6)若不確定，保持默認(rèn)值即可;7)網(wǎng)格粗糙化的目的是對(duì)應(yīng)力梯度變化不大的區(qū)域，加大此處的單元尺寸，可以使用較小的網(wǎng)格得到較好的結(jié)果，同時(shí)也

12、便于后繼的優(yōu)化求解。圖14展示了某機(jī)械零件，采用一階單元不同單元大小，并采用自適應(yīng)方法進(jìn)行分析。方案1采用平均單元大小13.6mm 進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后采用H自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，此時(shí)得到的最大應(yīng)力點(diǎn)的應(yīng)力是44MPa。方案2采用平均單元大小為3.4mm進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后采用H自適應(yīng) 網(wǎng)格劃分，此時(shí)得到的最大應(yīng)力點(diǎn)的應(yīng)力是75.6MPa,兩者之間有42%的差異。說(shuō)明采用線性單元，使用H方法得不到準(zhǔn)確的結(jié)果。同樣的模型，不做任何修改采用二階單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖15所示，然后采用H方法，得到的應(yīng)力誤差小于3%，說(shuō)明采用較大的全局二階單元，然后采用H方法可以得到相當(dāng)準(zhǔn)確的應(yīng)力結(jié)果。2.自動(dòng)P自適應(yīng)方法(P

13、-adaptive)P方法的本質(zhì)就是根據(jù)約束條件(如應(yīng)變能)的變化情況自動(dòng)在約束條件大的地方，根據(jù)預(yù)先規(guī)定的收斂準(zhǔn)則，調(diào)整該處的單元形函數(shù)的階次，在單元大小不變的情況下提高單元內(nèi)部應(yīng)力的精確性(見(jiàn)圖16)。SolidWorks Simulation的P方法具有以下特性。1)適用于實(shí)體零件及裝配體的靜態(tài)分析研究，但裝配體僅支持結(jié)合方式，不可以有其他接觸存在;2)收斂準(zhǔn)則有總應(yīng)變能、均方根合位移、均方根von Mises應(yīng)力;3)默認(rèn)收斂準(zhǔn)則是總應(yīng)變能，均方根合位移及von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則并不常用;4)默認(rèn)的設(shè)定通常就足夠，由于系統(tǒng)通常會(huì)提前滿足設(shè) 定精度，因此最大p-order及最大循環(huán)數(shù)很

14、少用到;5)開(kāi)始p-階序起始于2，設(shè)為1會(huì)報(bào)錯(cuò);6)必須使用二階單元為初始網(wǎng)格;一般而言初始的網(wǎng)格尺寸影響很小(見(jiàn)圖17);     Jacobian(雅可比檢查)對(duì)誤差有較大的影響，在局部位置無(wú)法反饋結(jié)果。建議將Jacobian檢查設(shè)定在節(jié)點(diǎn)(見(jiàn)圖18)。四、手動(dòng)收斂性檢查1.相對(duì)收斂性檢查在大多數(shù)復(fù)雜情況下很難通過(guò)自適應(yīng)方法得到好的結(jié)果，必須通過(guò)相對(duì)收斂性檢查得到收斂的結(jié)果(見(jiàn)圖19)，其操作步驟如下。1)執(zhí)行多個(gè)分析研究，逐步調(diào)整加密網(wǎng)格，檢查應(yīng)力值的變化情形;2)每次以2:1比例調(diào)整加細(xì)網(wǎng)格尺寸;3)如果局部網(wǎng)格尺寸遠(yuǎn)小于整體網(wǎng)格尺寸，要留意扭曲

15、 失真的情況。2.等值線質(zhì)量檢查(見(jiàn)圖20)      1)應(yīng)力等值線應(yīng)該和連續(xù)幾何體一樣連續(xù)，使用不連續(xù)選項(xiàng)可以更清楚看到不連續(xù)的結(jié)果，如果幾何體光滑連續(xù)而結(jié)果呈鋸齒狀，表明此處結(jié)果不好，需要加密網(wǎng)格或提高網(wǎng)格質(zhì)量;2)沒(méi)有一個(gè)收斂的絕對(duì)測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)，但是可以顯示區(qū)域檢查;3)顯示帶有結(jié)果的單元結(jié)果可以顯示他們?nèi)绾斡绊懡Y(jié)果。3.誤差估算方法1：能量范數(shù)值(見(jiàn)圖21)       1)ERR能量范數(shù)誤差繪圖可以顯示出相鄰元素之應(yīng)力值差異，理論上要愈小愈好;2)并非絕對(duì)是收斂性測(cè)試方法，但會(huì)顯示出要特別注意的高誤差區(qū)域;3)最佳的應(yīng)用方式是在比較不同的設(shè)計(jì)過(guò)程。如果在某個(gè)區(qū)域的誤差估算已經(jīng)調(diào)整至最佳狀況并維持一致，其分析結(jié)果的比較應(yīng)該較具有實(shí)際意義。4.誤差估算方法2：節(jié)點(diǎn)和單元應(yīng)力值比較(見(jiàn)圖22)   1)節(jié)點(diǎn)解是臨近單元的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的平均值;2)單元解是每個(gè)單元所有節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的平均值;3)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，理論上節(jié)點(diǎn)和單元應(yīng)力值應(yīng)該有較小的差異;4)一般情況下，節(jié)點(diǎn)應(yīng)力和單元應(yīng)力的誤差不