XX屆高考數(shù)學(xué)知識圓錐曲線與方程導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案

1、XX 屆高考數(shù)學(xué)知識圓錐曲線與方程導(dǎo)航復(fù) 習(xí)教案第九章圓錐曲線與方程高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單 性質(zhì)；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡 單幾何性質(zhì)；了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；理解數(shù)形結(jié)合的思想；了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系本章重點(diǎn)：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、 標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題； 3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法.本章難點(diǎn)：1.對圓錐曲線的定義及性質(zhì)

2、的理解和應(yīng)用；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系.圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結(jié)合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出 現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知 識、基本技能和基本方法運(yùn)用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把 關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類 討論、邏輯推理等方面的能力 .知識網(wǎng)絡(luò)1 橢圓典例精析題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例 1】已知點(diǎn) P 在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 453 和3，過 P 作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓 的方程.【解析】由橢圓的定義知，2a= 453

3、+ 253= 25,故 a= 5,由勾股定理得，2-2= 4c2，所以 c2 = 53, b2 = a2 - c2=103,故所求方程為 x25 + 3y210 = 1 或 3x210 + y25 = 1.【點(diǎn)撥】在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也 可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：x2 + ny2 = 1;在求橢圓中的 a、b、c 時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三 角形的知識.【變式訓(xùn)練 1】已知橢圓 cl 的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在 x 軸 上,拋物線 c2 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在 x 軸上.小明從曲線 cl， c2 上各取若干個點(diǎn)，并記錄其坐標(biāo).由于記

4、錄失誤，使得其中恰有一個點(diǎn)既不在橢圓cl 上，也不在拋物線 c2 上.小明的記錄如下：據(jù)此，可推斷橢圓 cl 的方程為【解析】方法一：先將題目中的點(diǎn)描出來，如圖， A，B， c，D, E，F(xiàn).通過觀察可知道點(diǎn) F，o，D 可能是拋物線上的點(diǎn).而 A， c，E是橢圓上的點(diǎn)，這時正好點(diǎn)B 既不在橢圓上，也不在拋物線上.顯然半焦距 b= 6,則不妨設(shè)橢圓的方程是 x2 + y26 = 1, 則將點(diǎn)A 代入可得=12,故該橢圓的方程是 x212 + y26 = 1. 方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解 析式，因為拋物線的解析式形式比橢圓簡單一些不妨設(shè)有兩點(diǎn) y21 = 2px1， y22

5、 = 2px2， y21y22 = x1x2，則可知 B，c 不是拋物線上的點(diǎn).而 D F 正好符合.又因為橢圓的交點(diǎn)在 x 軸上，故 B，c 不可能同時出現(xiàn).故選用 A, E 這兩個點(diǎn)代入，可得橢圓的方程是X212 + y26=1.題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用【例 2】已知 F1、F2 是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P 為橢圓上一 點(diǎn)，/ F1PF2= 60 .求橢圓離心率的范圍；求證： F1PF2 的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).【解析】設(shè)橢圓的方程為 x2a2 + y2b2 = 1,PF1| =, |PF2|=n，在 F1PF2 中，由余弦定理可知 4c2 = 2 + n2 - 2ncos60 ,因為+

6、 n= 2a,所以 2+ n2= 2- 2n = 4a2- 2n, 所以 4c2 = 4a2 3n, 即卩 3n = 4a2 4c2.又 nW2= a2,所以 4a2 4c2W3a2,所以 c2a2 14,即 e 12,所以 e 的取值范圍是12 , 1).由知 n = 43b2，所以=12nsin60 = 33b2,即厶 F1PF2 的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).【點(diǎn)撥】橢圓中 F1PF2 往往稱為焦點(diǎn)三角形，求解有 關(guān)問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍 時，要特別注意橢圓定義與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1| ?|PF2|W2,|PF1|ac.【變式訓(xùn)練 2】已知 P 是橢圓

7、x225 + y29 = 1 上的一點(diǎn)，Q, R 分別是圓 2 + y2 = 14 和圓+ y2 = 14 上的點(diǎn)，貝 U |PQ| + |PR|的最小值是【解析】設(shè) F1, F2 為橢圓左、右焦點(diǎn)，貝 U F1, F2 分別 為兩已知圓的圓心，則 |PQ| + |PR| + = |PF1| + |PF2| - 1 = 9.所以|PQ| + |PR|的最小值為 9.題型三有關(guān)橢圓的綜合問題【例 3】設(shè) F1, F2 分別是橢圓 E: x2a2 + y2b2 = 1 的左、 右焦點(diǎn)， 過F1斜率為1的直線I與E相交于A, B兩點(diǎn)， 且 |AF2| , |AB| ,|BF2| 成等差數(shù)列.求 E

8、的離心率；設(shè)點(diǎn) P 滿足|PA| = |PB|，求 E 的方程.【解析】由橢圓定義知|AF2| + |BF2| + |AB| = 4a,又 2|AB| = |AF2| + |BF2|，得 |AB| = 43a.I 的方程為 y = x + c,其中 c = a2 b2.設(shè) A, B,則 A, B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡得 x2 + 2a2cx + a2= 0,貝 x1 + x2 = 2a2ca2 + b2, x1x2 = a2a2 + b2.因為直線 AB 斜率為 1,所以|AB| = 2|x2 x1| = 22 4x1x2,即 43a = 4ab2a2 + b2,故 a2= 2b2,所以 E

9、 的離心率 e= ca = a2 b2a = 22.設(shè) AB 的中點(diǎn)為 N,由知 x0 = x1 + x22 = - a2ca2 + b2 = 23c ,y0 = x0 + c = c3.由|PA| = |PB| ? PN= 1，即 y0 + 1x0 = 1? c = 3. 從而 a=32, b= 3,故 E 的方程為 x218 + y29 = 1.【變式訓(xùn)練 3】已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 的離心率為 e, 兩焦點(diǎn)為 F1, F2,拋物線以 F1 為頂點(diǎn)，F(xiàn)2 為焦點(diǎn)，P 為兩 曲線的一個交點(diǎn)，若|PF1|PF2| = e,貝 U e 的值是A.32B.33C.22D.63【解

10、析】設(shè) F1, F2, P,則橢圓左準(zhǔn)線 x = a2c,拋物 線準(zhǔn)線為 x =3c, x0 = x0 ? c2a2 = 13? e= 33.故選 B.總結(jié)提高橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且 系數(shù)的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，還要確定a、b 的值，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為x2 + ny2 = 1求解.充分利用定義解題，一方面，會根據(jù)定義判定動點(diǎn)的軌 跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和 為常數(shù)進(jìn)行計算推理.焦點(diǎn)三角形包含著很多關(guān)系，解題時要多從橢圓定義和 三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另

11、外一定要注意橢圓離心率的范圍 92雙曲線典例精析題型一 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例 1】已知動圓 E 與圓 A: 2+ y2 = 2 外切，與圓 B: 2 + y2= 2 內(nèi)切，求動圓圓心 E 的軌跡方程.【解析】設(shè)動圓 E 的半徑為 r，則由已知|AE| = r + 2, |BE| =r - 2,所以 |AE| - |BE| = 22,又 A, B,所以 |AB| = 8,22V|AB|. 根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)E 的軌跡是以 A、B 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.因為 a= 2, c = 4,所以 b2 = c2 a2= 14, 故點(diǎn) E 的軌跡方程是 x22 y214 = 1.【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、

12、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找 出 E點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意 軌跡是否為雙曲線的兩支.【變式訓(xùn)練 1】P 為雙曲線 x29 y216 = 1 的右支上一點(diǎn)，N 分別是圓 2+ y2 = 4 和+ y2 = 1 上的點(diǎn)，貝 U |P| - |PN|的最大值為A.6B.7C.8D.9【解析】選 D.題型二 雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用【例 2】雙曲線 c: x2a2 y2b2 = 1 的右頂點(diǎn)為 A, x 軸 上有一點(diǎn) Q,若 c 上存在一點(diǎn)卩，使=0,求此雙曲線離心率 的取值范圍.【解析】設(shè) P,則由=0,得 AP PQ 則 P 在以 AQ 為直 徑的圓上，即 2+ y2 = 2

13、，又 P 在雙曲線上，得 x2a2 - y2b2 = 1,由消去 y，得 x2 - 3a3x + 2a4- a2b2= 0,即x - = 0,當(dāng) x = a 時，P 與 A 重合，不符合題意，舍去；當(dāng) x = 2a3- ab2a2 + b2 時，滿足題意的點(diǎn) P 存在，需 x=2a3 ab2a2 + b2 a,化簡得 a2 2b2，即 3a2 2c2 , cav62,所以離心率的取值范圍是.【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值 建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法【變式訓(xùn)練 2】設(shè)離心率為 e 的雙曲線 c: x2a2 - y2b2=1 的右焦點(diǎn)為 F,直線 I 過焦點(diǎn) F,

14、且斜率為，則直線 I 與 雙曲線 c的左、右兩支都相交的充要條件是A.2-e21B.2-e2v1c.e2-21D.e2-2v1【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率只需滿足 bavvba，即 2vb2a2 = c2 - a2a2= e21，故選 c.題型三有關(guān)雙曲線的綜合問題【例 3】已知雙曲線 x22 y2 = 1 的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn) P, Q 是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn).求直線 A1P 與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡 E 的方程；若過點(diǎn) H 的兩條直線 11 和 12 與軌跡 E 都只有一個交點(diǎn)， 且11 丄 12，求 h 的值.【解析】由題意知|x1| 2, A1,

15、 A2,則有直線 A1P 的方程為 y = y1x1 + 2，直線 A2Q 的方程為 y = y1x1 2.方法一：聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x = 2x1 , y = 2y1x1 ,即 x1 = 2x , y1 = 2yx，則 x 工 0, |x|v2.而點(diǎn) P 在雙曲線 x22 y2 = 1 上，所以 x212 y21 = 1.將代入上式，整理得所求軌跡 E 的方程為 x22 + y2 = 1, x工 0 且 x 工土 2.方法二：設(shè)點(diǎn)是 A1P 與 A2Q 的交點(diǎn)，X得 y2 = y21x21 2.又點(diǎn) P在雙曲線上， 因此 x212 y21 = 1,即卩 y21 = x212 1.代入式整理得

16、 x22 + y2 = 1.因為點(diǎn) P, Q 是雙曲線上的不同兩點(diǎn)， 所以它們與點(diǎn) A1,A2 均不重合.故點(diǎn) A1 和 A2 均不在軌跡 E 上.過點(diǎn)及 A2 的直 線 I 的方程為 x + 2y-2= 0.解方程組得 x = 2, y = 0.所以直線 I 與雙曲線只有唯一 交點(diǎn)A2.故軌跡 E 不過點(diǎn).同理軌跡 E 也不過點(diǎn).綜上分析，軌跡 E 的方程為 x22 + y2 = 1, x 工 0 且 x 工土 2.設(shè)過點(diǎn) H 的直線為 y = x + h,聯(lián)立 x22 + y2 = 1 得 x2 + 4hx + 2h2-2= 0.令厶=162h2-4= 0,得 h2- 1-22= 0,解得

17、 1 = h2- 12, 2=- h2- 12.由于 I1 丄 I2，貝 y 12 = - h2- 12=- 1,故 h = 3.過點(diǎn) A1, A2 分別引直線 I1 , I2 通過 y 軸上的點(diǎn) H,且使 I1 丄 I2，因此 A1H 丄 A2H,由 h2X= - 1，得 h= 2.此時，I1 , I2 的方程分別為 y = x + 2 與 y = -x + 2, 它們與軌跡 E 分別僅有一個交點(diǎn)與.所以，符合條件的 h 的值為 3 或 2.【變式訓(xùn)練 3】雙曲線 x2a2- y2b2 = 1 的左、右焦點(diǎn)分 別為F1, F2，離心率為 e,過 F2 的直線與雙曲線的右支交 于 A, B 兩

18、點(diǎn)，若 F1AB 是以 A 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角 形，貝 U e2 等于A.1 + 22B.3 + 22c.4 - 22D.5 - 22【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.據(jù)題意設(shè) |AF1| = x，則 |AB| = x, |BF1| = 2x.由雙曲線定義有 |AF1| - |AF2| = 2a, |BF1| - |BF2| = 2a ? -=x-x = 4a，即 x = 22a = |AF1|.故在 Rt AF1F2 中可求得 |AF2| = |F 仆 2|2 - |AF1|2 = 4c2 8a2.又由定義可得 |AF2| = |AF1| - 2a = 22a- 2a,即

19、卩 4c2 - 8a2= 22 - 2a,兩邊平方整理得 c2 = a2? c2a2 = e2= 5-22,故選 D.總結(jié)提高要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和 幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點(diǎn)，如a, b, c 的關(guān)系、漸近線等.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)|PF1| - |PF2| = 2av|F仆2|時， P的軌跡是雙曲線； 當(dāng) |PF1| - |PF2|= 2a = |F 仆 2|時，P 的軌跡是以 F1 或 F2 為 端點(diǎn)的射線；當(dāng)|PF1| - |PF2| = 2a|F 仆 2| 時，P 無軌跡.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線

20、，要掌握以下兩個問題：已知雙曲線方程，求它的漸近線;求已知漸近線的雙曲線的方程 .如已知雙曲線漸近線 y =bax，可將雙曲線方程設(shè)為 x2a2 - y2b2 =入，再利用其 他條件確定入的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法3 拋物線典例精析題型一拋物線定義的運(yùn)用【例 1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線過點(diǎn) P;拋物線焦點(diǎn) F 在 x 軸上，直線 y = 3 與拋物線交于點(diǎn) A,|AF| = 5.【解析】設(shè)方程為 y2 = x 或 x2 = ny.將點(diǎn) P 坐標(biāo)代入得 y2 = 8x 或 x2 = - y.設(shè) A,所求焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線為 y2 = 2px ,由定義得 5 = |AF|

21、= | + p2|，又 2= 2p,所以 p= 1 或 9,所求方程為 y2 = 2x 或 y2 = 18x.【變式訓(xùn)練 1】已知 P 是拋物線 y2 = 2x 上的一點(diǎn)，另一 點(diǎn) A滿足|PA| = d,試求 d 的最小值.【解析】設(shè) P,則 y20 = 2x0,所以 d= |PA| = 2+ y20 = 2+ 2x0 = x0 + 2 + 2a- 1.因為 a0, x00,所以當(dāng) 0vav1 時，此時有 X0 = 0, din = 2+ 2a 1 = a;當(dāng) a 1 時，此時有 x0 = a 1 , din = 2a 1.題型二直線與拋物線位置討論【例 2】已知一條曲線 c 在 y 軸右側(cè)

22、，c 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F 的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1.求曲線 c 的方程；是否存在正數(shù)，對于過點(diǎn)且與曲線c 有兩個交點(diǎn) A，B的任一直線，都有v0?若存在，求出的取值范圍；若不存 在，請說明理由.【解析】設(shè) P 是曲線 c 上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) P 滿足：+ y2 x = 1.化簡得 y2 = 4x.設(shè)過點(diǎn)的直線 I 與曲線 c 的交點(diǎn)為 A, B.設(shè) I 的方程為 x = ty +,由得 y2 4ty 4= 0, = 16 0,于是又=,=.v0?+y1y2=x1x2 +1+y1y2v0.又 x = y24，于是不等式等價于 y214?y224 + y1y2 + 1v0? 216+y

23、1y21422y1y2+1v0.由式，不等式等價于2 6 + 1v4t2.對任意實數(shù) t,4t2 的最小值為 0,所以不等式對于一 切 t 成立等價于 2 6+ 1v0, 即卩 3 22vv3+ 22.由此可知，存在正數(shù)，對于過點(diǎn)且與曲線c 有兩個交點(diǎn)A, B 的任一直線，都有？v0,且的取值范圍是.【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線 y2 = 4x 的一條弦 AB, A, B, AB所在直線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則 1y1 + 1y2 =【解析】？y2 - 4y + 8= 0,所以 1y1 + 1y2 = y1 + y2y1y2 = 12.題型三 有關(guān)拋物線的綜合問題【例 3】已知拋物線c:y =

24、 2x2，直線 y = x + 2 交 c 于 A, B兩點(diǎn)，是線段 AB 的中點(diǎn)，過作 x 軸的垂線交 c 于點(diǎn) N.求證：拋物線 c 在點(diǎn) N 處的切線與 AB 平行；是否存在實數(shù)使？= 0?若存在，求的值；若不存在，說 明理由.【解析】證明：如圖，設(shè) A, B,把 y = x+ 2 代入 y = 2x2，得 2x2- x- 2 = 0,由韋達(dá)定理得 x1 + x2 = 2, x1x2 = - 1,所以 xN= x = x1 + x22 = 4,所以點(diǎn) N 的坐標(biāo)為.設(shè)拋物線在點(diǎn) N 處的切線 I 的方程為 y 28=,將 y = 2x2 代入上式，得 2x2-x + 4-28= 0,因為

25、直線 I 與拋物線 c 相切，所以 = 2-8= 2-2+ 2= 2= 0,所以=，即 I / AB.假設(shè)存在實數(shù)，使？= 0,貝 U NAL NB又因為是 AB 的中點(diǎn)，所以|N| = |AB|.由知 y = 12 = 12= 12 + 4 = 12= 24+ 2.因為 N 丄 x 軸，所以 |N| = |y - yN| = 24 + 2-28= 2+ 168.又 |AB| = 1 + 2?|x1 - x2| = 1 + 2?2 - 4x1x2=1+2?2-4X=122+1?2+16.所以 2+ 168 = 142+ 1?2+ 16,解得= 2.即存在= 2，使？= 0.【點(diǎn)撥】直線與拋物線

26、的位置關(guān)系，一般要用到根與系 數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點(diǎn)， 若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB| = x1 + x2 + p，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長公式.【變式訓(xùn)練 3】已知 P 是拋物線 y2 = 2x 上的一個動點(diǎn)， 過點(diǎn) P 作圓 2+ y2 = 1 的切線，切點(diǎn)分別為、N,則|N|的最 小值是【解析】455.總結(jié)提高在拋物線定義中，焦點(diǎn) F 不在準(zhǔn)線 I 上，這是一個重要 的隱含條件，若 F 在 I 上，則拋物線退化為一條直線.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對稱軸 上；準(zhǔn)線垂直于對稱軸；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p ;過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦長為

27、2p.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與 圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線 的類型，可采用待定系數(shù)法.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線 y2 = 2px 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn)，設(shè) A, B,則有下列性質(zhì)：|AB| = x1 + x2 + p 或 |AB| = 2psin2a, y1y2 = p2, x1x2 =p24等.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例精析題型一直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題【例 1】若曲線 y2 = ax 與直線 y = x

28、 1 恰有一個公共點(diǎn)， 求實數(shù) a 的值.【解析】聯(lián)立方程組當(dāng) a= 0 時，方程組恰有一組解為當(dāng) az0 時，消去 x 得 a + 1ay2 y 1 = 0,1若 a+ 1a = 0,即 a= 1,方程變?yōu)橐辉淮畏匠?y 1 = 0,方程組恰有一組解2若 a+ 1a 工 0,即卩 az1,令厶=0,即卩 1 + 4a = 0，解得 a= 45,這時直線與曲線相切，只有一個公共點(diǎn).綜上所述，a = 0 或 a= 1 或 a= 45.【點(diǎn)撥】本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認(rèn)為 a 工 0,解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù)=0,即a=- 1 的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完

29、后， 應(yīng)從幾何上驗證一下：當(dāng)a= 0 時，曲線 y2 = ax，即直線y = 0,此時與已知直線 y = x - 1 恰有交點(diǎn)；當(dāng) a =- 1 時， 直線y = 1 與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(diǎn)；當(dāng) a=-45 時直線與拋物線相切.【變式訓(xùn)練 1】若直線 y = x - 1 與雙曲線 x2 - y2 = 4 有 且只有一個公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為A.1 , - 1, 52,- 52B.c.D.U52,+)【解析】由？x2 - 2x- 5= 0,? = 52,結(jié)合直線過定點(diǎn)，且漸近線斜率為土 1，可 知答案為 A.題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題【例 2】設(shè)橢圓 c: x2a2 + y

30、2b2 = 1 的右焦點(diǎn)為 F,過 F 的直線 I 與橢圓 c 相交于 A,B 兩點(diǎn)，直線 I 的傾斜角為 60, =2.求橢圓 c 的離心率；如果|AB| = 154,求橢圓 c 的方程.【解析】設(shè) A, B,由題意知 y1V0, y2 0.直線 I 的方程為 y = 3,其中 c = a2- b2.聯(lián)立得 y2 + 23b2cy - 3b4= 0.解得 yi =- 3b23a2 + b2, y2 = - 3b23a2 + b2.因為=2,所以yi = 2y2 ,即 3b23a2 + b2= 2?-3b23a2 + b2.解得離心率 e= ca = 23.因為 |AB| = 1 + 13|y

31、2 - y1|，所以 23?43ab23a2 + b2 = 154.由 ca = 23 得 b= 53a，所以 54a = 154,即 a= 3, b= 5.所以橢圓的方程為 x29 + y25 = 1.【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.【變式訓(xùn)練 2】橢圓 ax2 + by2 = 1 與直線 y = 1 x 交于A, B 兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段 AB 中點(diǎn)的直線的斜率為 32,則 ab 的值為【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程兩式相減得a+ b= 0?ax0 + 2by0y1 y2x1 x2 = 0? ax

32、0 by0 = 0.故 ab = y0 x0 = 32.題型三對稱問題【例 31在拋物線 y2 = 4x 上存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于直線I : y = x+ 3 對稱，求的取值范圍.【解析】設(shè) A、B 是拋物線上關(guān)于直線 I 對稱的兩點(diǎn)，由題意知工 0.設(shè)直線 AB 的方程為 y = 1x + b,聯(lián)立消去 x，得 14y2 + y b= 0,由題意有= 12 + 4?14?b0, 即卩 b+ 10.且 yi + y2 = 4.又 y1 + y22 = 1?x1 + x22 + b.所以 x1 +x22 =.故 AB 的中點(diǎn)為 E, 2).因為 I 過 E,所以一 2= 2+ 3，即 b= 2 3

33、2 2.代入式，得2 33 2+ 1 0? 3+ 2+ 33V0?V0? 1VV0,故的取值范圍為.【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化 .A、B 關(guān)于直線 I 對稱， 則滿足直線 I 與 AB 垂直， 且線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)滿 足 I 的方程；對于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參 數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點(diǎn)的直線方程，利 用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的 坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值 范圍.【變式訓(xùn)練 3】已知拋物線 y = x2 + 3 上存在關(guān)于 x + y =0 對稱的兩點(diǎn) A, B,則|AB|等于A.3B.4C.32

34、D.42【解析】設(shè) AB 方程：y = x + b,代入 y = - x2 + 3,得x2 + x + b 3 = 0,所以 xA+ xB=- 1,故 AB 中點(diǎn)為.它又在 x + y = 0 上，所以 b = 1,所以|AB| = 32,故選c.總結(jié)提高本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判 別式方法及弦中點(diǎn)問題的處理方法 .直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組通過消去 y 得到 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 進(jìn)行討論.這 時要注意考慮 a = 0 和 az0 兩種情況，對雙曲線和拋物線而 言，一個公共點(diǎn)的情況除 az0, = 0

35、 外，直線與雙曲線的 漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交 點(diǎn).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)，并不是直 線與圓錐曲線相切的充要條件.弦中點(diǎn)問題的處理既可以用判別式法，也可以用點(diǎn)差 法；使用點(diǎn)差法時，要特別注意驗證“相交”的情形5 圓錐曲線綜合問題典例精析題型一一 求軌跡方程【例 1】已知拋物線的方程為 x2 = 2y, F 是拋物線的焦 點(diǎn)，過點(diǎn) F 的直線 I 與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn)，分別過點(diǎn) A、 B作拋物線的兩條切線 I1 和 I2，記 I1 和 I2 交于點(diǎn).求證：I1 丄 I2 ;求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】依題意，直線 I 的斜率存在，設(shè)直線 I 的方程

36、為 y =x + 12.聯(lián)立消去 y 整理得 x2 - 2x - 1 = 0.設(shè) A 的坐標(biāo)為，B 的 坐標(biāo)為，則有 x1x2 = - 1,將拋物線方程改寫為y = 12x2 ,求導(dǎo)得 y = x.所以過點(diǎn) A 的切線 I1 的斜率是 1= x1，過點(diǎn) B 的切線 I2 的斜率是 2 = x2.因為 12 = x1x2 = - 1,所以 I1 丄 I2.直線 I1 的方程為 y y1 = 1，即 y x212 = x1. 同理直線 12的方程為 y x222 = x2.聯(lián)立這兩個方程消去 y 得 x212 - x222 = x2 - x1 ,整理得=0,注意到 x1 工 x2，所以 x = x

37、1 + x22.此時 y = x212 + x1 = x212 + x1 = x1x22 = - 12. 由知 x1 + x2= 2,所以 x = x1 + x22 = R.所以點(diǎn)的軌跡方程是 y =- 12.【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題 用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩 個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程， 還要 說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和 它的形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系了如指掌 .【變式訓(xùn)練 1】已知 ABc 的頂點(diǎn)為 A，ABc 的內(nèi) 切圓圓心在直線 x=3 上，貝 U 頂點(diǎn) c 的軌跡方程是A.X29 - y216 =

38、1B.X216 - y29 = 1c.x29 - y216 = 1D.X216 - y29 = 1【解析】如圖，|AD| = |AE| = 8, |BF| = |BE| = 2, |cD| =|cF| ,所以 |cA| - |cB| = 8-2= 6,根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A B 為焦點(diǎn)，實軸長為 6 的雙曲線的右支，方程為 x29 - y216 = 1,故選 c. 題型二 圓錐曲線的有關(guān)最值【例 2】已知菱形 ABcD 的頂點(diǎn) A、c 在橢圓 x2 + 3y2 = 4 上，對角線 BD 所在直線的斜率為 1.當(dāng)/ ABc= 60時，求菱 形 ABcD面積的最大值.【解析】因為四邊形 A

39、BcD 為菱形，所以 Ac 丄 BD. 于是可設(shè)直線 Ac 的方程為 y = - x + n.由得 4x2 6nx + 3n2 4= 0.因為 A, c 在橢圓上，所以= 12n2 + 640,解得一 433vnv433.設(shè) A, c 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，貝 y x1 + x2 = 3n2, x1x2 = 3n2-44,y1 =-x1 + n, y2 = - x2 + n.所以 y1 + y2 = n2.因為四邊形 ABcD 為菱形，且/ ABc= 60，所以|AB| = |Bc| =|cA|.所以菱形 ABcD 的面積 S= 32|Ac|2.又|Ac|2 = 2 + 2 = - 3n2 + 162,所以 S= 34.所以當(dāng) n= 0 時，菱形 ABcD 的面積取得最大值 43.【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要 特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出 n 的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失 不少.【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線 y = x2 - 1 上有一