新北師大版-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-第四章一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題分析星辰出品

1、青島恩思教育 星辰出品 必屬精品 沈星辰新北師大版 八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章 一次函數(shù)一、函數(shù)1、函數(shù)的概念（重點(diǎn)）一般的，如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和，并且對(duì)于變量的每一個(gè)值，變量都有一個(gè)唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量。理解函數(shù)的關(guān)鍵四點(diǎn)：（1）有兩個(gè)變量；（2）一個(gè)變量變化，另一個(gè)隨之變化；（3）對(duì)于自變量每一個(gè)確定的值，函數(shù)有且僅有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)；（4）函數(shù)不是數(shù)，是過(guò)程中、的變量關(guān)系。2、函數(shù)的三種表示方法（難點(diǎn)）（1）列表法（2）關(guān)系式法（3）圖像法3、函數(shù)的值及自變量的取值范圍（重點(diǎn)）（1）對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值

2、，稱為自變量等于時(shí)的函數(shù)值。（2）使得函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍。確定自變量取值范圍兩點(diǎn)：一是必須使含有自變量的代數(shù)式有意義，二是必須滿足實(shí)際問(wèn)題的意義。二、一次函數(shù)與正比例函數(shù)1、一次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）若兩個(gè)變量、間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成（、為常數(shù)，）的形式，則成是的一次函數(shù)。2、正比例函數(shù)的概念（重點(diǎn)）對(duì)于一次函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，變?yōu)?，這是把叫做的正比例函數(shù)。3、根據(jù)條件列一次函數(shù)的關(guān)系式（難點(diǎn)）認(rèn)真分析，探究實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)信息，再次基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題。步驟：（1）認(rèn)真分析，理解題意；（2）找出等量關(guān)系；（3）寫出一次函數(shù)關(guān)系式；（4）確定自變量的取值范圍

3、，實(shí)際問(wèn)題實(shí)際分析。三、一次函數(shù)的圖像1、函數(shù)的圖像（重點(diǎn)）把一個(gè)函數(shù)的自變量的值和與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形就叫做函數(shù)的圖象。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫出圖象。2、正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（重點(diǎn)）（1）正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線。（2）當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一三象限，且隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二四象限，且隨的增大而減小。3、一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)及性質(zhì)（重點(diǎn)）一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)：k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0圖像經(jīng)過(guò)

4、一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。特點(diǎn)：一次函數(shù)的圖像是一條直線，因此作函數(shù)圖象時(shí)，只需要確定兩個(gè)點(diǎn)，即可連接兩點(diǎn)做出函數(shù)圖象，函數(shù)圖象也成直線。性質(zhì)：（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小。（2）當(dāng)，時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一二三象限；當(dāng)，時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一三四象限；當(dāng)，時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一二四象限；當(dāng)，時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二三四象限；（3）兩條直線位置關(guān)系：當(dāng)相等，不等時(shí)，兩直線平行；當(dāng)相等，相等時(shí)，兩直線重合；

5、當(dāng)不等時(shí)，兩直線相交；當(dāng)不等，相等時(shí)，兩直線相交于軸；四、一次函數(shù)的應(yīng)用1、確定正比例函數(shù)的表達(dá)式（重點(diǎn)）正比例函數(shù)只有一個(gè)待定系數(shù)，只需要除原點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出值，進(jìn)而求出函數(shù)表達(dá)式。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫出圖象。2、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式（難點(diǎn)）一次函數(shù)有兩個(gè)待定系數(shù)和，所以只需求出二者的值，即可求出函數(shù)表達(dá)式。待定系數(shù)法：首先設(shè)函數(shù)；其次將兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶人表達(dá)式，列出、的方程；最后求解方程。3、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系（重難點(diǎn)）（1）從“數(shù)”的方面看：一次函數(shù)函數(shù)值為某一數(shù)值時(shí)，自變量的值即為方程的解。（2）從“形”的方面看

6、：函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解。4、利用圖象信息解決實(shí)際問(wèn)題（重難點(diǎn)）兩方面分析圖象：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可判斷函數(shù)類型，注意特殊的點(diǎn)（2）從軸、軸的實(shí)際意義去理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義1、當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)？舉一反三：【變式1】如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么（）.Am=4或m=2 Bm=4 Cm=1 Dm=2 【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；（3）當(dāng)y=4時(shí)，求x的值類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式2、求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)

7、的表達(dá)式舉一反三：【變式1】已知彈簧的長(zhǎng)度y（cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測(cè)得不掛重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為6cm，掛4kg的重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是7.2cm，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式【變式2】已知直線y=2x+1（1）求已知直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對(duì)稱，求k，b的值【變式3】判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上類型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用3、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過(guò)程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)

8、題：(1)汽車共行駛了_km；(2)汽車在行駛途中停留了_h；(3)汽車在整個(gè)行駛過(guò)程中的平均速度為_(kāi)km/h；(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是_.舉一反三：【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在自行車比賽中所走的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，求它們行進(jìn)的速度關(guān)系。【變式2】小高從家騎自行車去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A，再走下坡路到達(dá)點(diǎn)B，最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時(shí)間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學(xué)時(shí)一致，那么他從學(xué)校到家需要的時(shí)間是（）A.14分鐘 B.17分鐘 C.18分鐘 D.20分鐘【變式3】

9、某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí),經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示：根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升.求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式；如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量.類型四：一次函數(shù)的性質(zhì)4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點(diǎn)A（一6，0），交y軸于點(diǎn)B，且AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)（1）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？（2）m為何值

10、時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）？（3）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象和直線y=x平行？（4）m為何值時(shí)，y隨x的增大而減?。俊咀兪?】函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）類型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），過(guò)點(diǎn)C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E。（1）求OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；（2）若OCD與BDE的面積相等，求直線CE的解析式；若y軸上的一點(diǎn)P滿足APE=45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。舉一反三：【變式1】在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P沿邊按ABCD的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（但不與A，D兩點(diǎn)重合）。求APD的面積y（cm2）與點(diǎn)P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍?！咀兪?】如圖，直線與x