數(shù)列求和的解題方法及技巧

1、數(shù)列求和的解題方法及技巧研究數(shù)列求和，首先要注意：數(shù)列的特征，認清是否是我們熟悉的數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列公式法：等差等比的求和公式（略） 1+2+n= 1n(n+1)12+22+n2 = 1n(n+1)(2n+1)26 13+23+ +n3=(1+2+ +n)2= 1 n2(n+1)24預(yù)熱：1、求等差數(shù)列-3，-1，1，3， 的前 n 項的和。 2、求數(shù)列 1， 2，4， ，2n 的和、求等比數(shù)列2n-1 的和4、若a1 ,n 1求數(shù)列的前n項的和31,x,x , ,x4n 2 , n 2在應(yīng)用公式求等差、等比數(shù)列的和時，要注意：認清特征、數(shù)清項數(shù)、分清條件、記清公式典型例題求和： 1+(

2、1/ a)+(1/a2)+(1/an)（區(qū)分 q 值，分 a=1和 討論）a 1除此之外，還有一些特殊的數(shù)列也可以通過一些方法來求數(shù)列前n 項的和一、分組求和法：若數(shù)列 an 的通項可轉(zhuǎn)化為 an =bn +cn 的形式，且數(shù)列 b nc n 可求出前 n項和 S +Tn。n例： 1、求數(shù)列1111 )的前n項的和、求數(shù)列的前n項的和1,3,5,( 2n19,99,999,2 n2248練習(xí)： 1、求數(shù)列1,3,5,7, (1)n(2n1) 的前 n 項的和（也可用并項求和法）2、求數(shù)列 1,12,1222 ,12 2 223 ,1 22n 1 的前 n 項的和3、求數(shù)列 ( x1) 2 ,

3、(x 212 )2, (x n1n ) 的前 n 項的和（世紀金榜第39 頁例 10 類似）xxx二、裂項相消法：將數(shù)列的每一項拆 ( 裂開 ) 成兩項之差 , 使得正負項能相互抵消 , 剩下首尾若干項 . 常見拆項公式有：111 ，11 ( 11 )，11 (11),n( n 1) n n 1n(n k ) k n n k( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1n(n12)1 (11)( n1)1)(n2 n(n1)(n 2) n n! (n 1)! n!1n 1n ,11b ), ( a b)1naba( anb例： 1、求和 Sn111。 2、求和Sn1111223n(n133

4、 5(2n 1)(2n 1)1)3、數(shù)列 (n1) 21的前 n 項的和。 4、求1,1,1,1的前 n 項的和( n 1) 21121231 2 3n練習(xí)： 1、求數(shù)列2的前 n 項的和。n1n三、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，則將數(shù)列的每一項都作相同的變換 , 然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項相減.例等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo) .例1、求數(shù)列 13,52n1項的和。 、求數(shù)列1,2x,3x23,nxn1的前 n項和。2,2n的前 n2,4x48練習(xí) 已知數(shù)列 an是等差數(shù)列 ,1123求數(shù)列 an且 a =2, a +a +a =12,

5、前項和的公式。（改成呢？）的通項公式，令 nnn求數(shù)列nn3x(2)b =a 3 , b 析： an=2n.Sn3(13n )n 3n 1 ，3 改成 x 后要對 x 進行討論是否為 12四、倒序求和法：將數(shù)列的倒數(shù)第k 項 (k=1, 2, 3,)變 為正數(shù)第 k項 ,然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進行變換 (相加、相減等 ).例等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo) .例已知 lgx+lgy=a,且 Snn+lg(xn-1y)+lg( xn-2 2n求n=lgxy )+lgy ,S .析倒序求和法 Snn(n 1) lg( xy)n(n1) a ?；?qū)?shù)的運算性質(zhì)求解22練習(xí)世紀金榜 P40 例 14五、分段

6、求和法：如果一個數(shù)列是由具有不同特點的兩段構(gòu)成，則可以考慮利用分段求和。例 求等差數(shù)列 200，199 2 ， ， -100 的后 400 項的絕對值之和。3易知 ann301 ，令 an0 可得 n301, 所以3Sna1a2a3a400( a1a2a3a300) ( a301a400 )16700練習(xí)： 世紀金榜 P40 例 14練習(xí)：1、求11,41 ,7 1,( 3n 2)1n 的前 n 項的和24822、設(shè) ak =12+22+32+ +k2，則數(shù)列3 ,5, 7,的前 n 項的和 Sn。a1a2a33、求和 Sn1(11 )(111 )(11121n 1 )224244、求數(shù)列 n(n+1)(2n+1)的前 n項和 Sn .5、數(shù)列 an 中， an12n，又 bn2，求數(shù)列 bn 的前 n 項和。n 1 n 1n 1an an 16、已知遞增的等比數(shù)列 an 前 3項之積為 512, 且這三項分別減去1,3,9后又成等差數(shù)列,求數(shù)列 n的前 n項和 .an7、求數(shù)列 2,2,2,122的前 n