第1章三角函數(shù)2示范教案弧度制

1、大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！1.1.2弧度制整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析在物理學(xué)和日常生活中,一個(gè)量常常需要用不同的進(jìn)行度量,不同的度量可以滿足我們不同的需要.現(xiàn)實(shí)生活中有許多計(jì)量,如度量長度可以用米、厘米、尺、碼等不同的制,度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的制,度量角的大小可以用度為1進(jìn)行度量,并且一度的角等于周角的,記作 1°.360o通過類比引出弧度制,給出1 弧度的定義,然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對值公式,并得出角度和弧度的換算.在此基礎(chǔ)上,通過具體的例子,鞏固所學(xué)概念和公式,進(jìn)一步認(rèn)識引入弧度制的必要性.這樣可以盡量自然地引入弧度制,并讓學(xué)生在探究過程中,更好地形成弧度的概念

2、,建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對應(yīng),為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).通過探究討論,關(guān)鍵弄清 1難點(diǎn)之目的.通過電教弧度角的定義,使學(xué)生建立弧度的概念,理解弧度制的定義,達(dá)到的直觀性,使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量的可靠性、可行性.通過周角的兩種制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者雖辯證統(tǒng)一思想的理解,滲透數(shù)學(xué)中普遍三維目標(biāo)不同,但卻是互相、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對、相互、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).1.通過類比長度、重量的不同度量制,使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的而引出弧度制.制來度量,從2.通過探究使學(xué)生認(rèn)識到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過總結(jié)引入弧度

3、制的好處,學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識到任何新知識的學(xué)習(xí),都會(huì)為解決實(shí)際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí) .重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制的意義,并能進(jìn)行角度和弧度的換算. 教學(xué)難點(diǎn):弧度的概念及其與角度的.課時(shí)安排1 課時(shí)教程導(dǎo)入新課思路 1.(類比導(dǎo)入)測量人的身高常用米、厘米為進(jìn)行度量,這兩種度量是怎樣換算的?家庭購買水果常用千克、斤為進(jìn)行度量,這兩種度量是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為度量外,還可采用哪種度量角的制?它們是怎樣換算的?思路 2.(情境導(dǎo)入)利用古代度量時(shí)間的一種儀器日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實(shí)際上我們使用的鐘表是用時(shí)針、分針和秒針角度的變化來確定時(shí)間的.無論采用哪法,度量一

4、個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已利用角度來度量角的大小,現(xiàn)在來學(xué)習(xí)角的另一種度量弧度制.要使學(xué)生真正了解弧度制,首先要弄清 1 弧度的含義,并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵.在引入弧度制后,可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念的推廣,圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說,圓心角有正角、零角、負(fù)角, 相應(yīng)的,弧也就有正弧、零弧、負(fù)弧;從“數(shù)”上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、負(fù)數(shù).圓心角和弧的正負(fù)實(shí)際上表示了“角的不同方向”,就像三角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角函數(shù)線(有向線段)的方向來表示一樣.每一個(gè)圓心角都有一條弧與它對應(yīng),并且不同的圓心角對應(yīng)著不同的弧

5、,反之亦然.大同輔導(dǎo)在線·大同人的站大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！推進(jìn)新課新知探究提出問題問題:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢?問題:我們從度量長度和重量上知道,不同的角的度量是否也能用不同制呢?制能給我們解決問題帶來方便.那么圖 1活動(dòng):教師先讓學(xué)生思考或討論問題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識,提出這是認(rèn)識弧度制的關(guān)鍵,為更好地理解角度弧度的奠定基礎(chǔ).討論后教師提問學(xué)生,并對回答學(xué)生及時(shí)表揚(yáng),對回答確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角.以弧度為來度量角的制度叫做弧度制;

6、在弧度制下,1 弧度記作 1 rad.如圖 1 中,的長等于半徑 r,AB 所對的圓心角AOB 就l是 1 弧度的角,即 =1.r討論結(jié)果:1°的角可以理解為將圓周角分成 360 等份,每一等份的弧所對的圓心角就是 1°. 它是一個(gè)定值,與所取圓的半徑大小無關(guān).能,用弧度制.提出問題問題:作半徑不等的甲、,在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長,連結(jié)圓心與弧的兩個(gè)端點(diǎn),得到兩個(gè)角,將移到甲圖上,兩個(gè)角有什么樣的?問題:如果一個(gè)半徑為 r 的圓的圓心角 所對的弧長是 l,那么 的弧度數(shù)是多少?既然的度量制,那么它們之間如何換算?角度制、弧度制活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧

7、度制的,提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和.教師給予補(bǔ)充和提示,對表現(xiàn)學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),對回答確的學(xué)生提示和鼓勵(lì).引入弧度之后,應(yīng)與角度進(jìn)行對比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為來度量角的制,角度制是以“度”為來度量角的制;第二,1 弧度是等于半徑長的弧所對1的圓心角(或這條弧)的大小,而 1°的角是周角的;第三,無論是以“弧度”還是以“度”為,360角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:完全重合,因?yàn)槎际?1 弧度的角.p1801=; 將角度化為弧度:360°=2 rad,1°

8、;=rad0.017 45 rad, 將弧度化為角度:2r180rad=360°,1 rad=()°57.30°=57°18.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為 p大同輔導(dǎo)在線·大同人的站大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！p)°,n°=n(rad).180180aprad=(提出問題問題:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來表示?扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示?問題:填寫下列的表格,找出某種規(guī)律.活動(dòng):教師先給學(xué)生說明教科書上為什么設(shè)置這個(gè)“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對一些特殊角填

9、表,然后概括出情況.教師讓學(xué)生互動(dòng)起來,討論并總結(jié)出規(guī)律,提問學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書,教師對做正確的學(xué)生給予表揚(yáng),對沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡單的提示.檢查完畢后,教師做個(gè)總結(jié).由上表可知,如果一個(gè)半徑為r 的圓的圓心角 所對的弧長是l,那么 的弧度數(shù)的絕對值1是 這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“換算”問題,即角度制、弧度制的a度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個(gè)數(shù)學(xué)對象用不同方式表示時(shí),它們之間一定有內(nèi)在,認(rèn)識這種性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.教師給學(xué)生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集 R 之間建立起一一對:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度

10、數(shù))與它對應(yīng);反過來,每一個(gè)實(shí)數(shù)也都應(yīng)有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角 終邊相同的角時(shí),有弧度制與角度制兩種制,要根據(jù)角 的來決定另一項(xiàng)的,即兩項(xiàng)p所用的制必須一致,絕對不能出現(xiàn) k·360°+或者 2k+60°一類的寫法.在弧度制中,與角3 終邊相同的角,連同角 在內(nèi),可以寫成 =+2k(kZ)的形式.如圖 2 為角的集合與實(shí)數(shù)集R 之間的一一對應(yīng).圖 2討論結(jié)果:與角 終邊相同的角,連同角 在內(nèi),可以寫成=+2k(kZ)的形式.弧度制下關(guān)11于扇形的公式為 l=R,S=R2,S=lR.22大同輔導(dǎo)在線·

11、大同人的站的長OB 旋轉(zhuǎn)的方向AOB 的弧度數(shù)AOB 的度數(shù)p r逆時(shí)針方向2r逆時(shí)針方向R12r-2-0180°360°大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！應(yīng)用示例例 1 下列諸命題中,真命題是()A.一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角,它是角的一種度量活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的練掌握定義.從實(shí)際教學(xué)上看,弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.與區(qū)別,以達(dá)到熟根據(jù)弧度制的定義:我們把長度等于半徑長的弧和所對的圓心角叫做一弧度的角.對照各項(xiàng), 可知

12、 D 為真命題.:D點(diǎn)評:本題考查弧度制下角的度量:1 弧度的概念. 變式訓(xùn)練下列四個(gè)命題中,不正確的一個(gè)是( A.半圓所對的圓心角是 radB.周角的大小是 2)C.1 弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是 1 弧度:D例 2 將下列用弧度制表示的角化為 2k+(kZ,0,2)的形式,并指出它們所在的象15p限:-32p;-20;- 2 3 .43活動(dòng):本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出p規(guī)律.即終邊在 x 軸、y 軸上的角的集合分別是:=k,kZ,=k,kZ.第、2三、四象限角的集合分別為:p2k<<2k+

13、,kZ,2p2k+<<2k+,kZ,23p2k+<<2k+,kZ,23p2k+<<2k+2,kZ.2大同輔導(dǎo)在線·大同人的站的長OB 旋轉(zhuǎn)的方向AOB 的弧度數(shù)AOB 的度數(shù)r逆時(shí)針方向180°2r逆時(shí)針方向2360°R逆時(shí)針方向157.3°2r順時(shí)針方向-2-114.6°r順時(shí)針方向-180°0未旋轉(zhuǎn)00°r逆時(shí)針方向180°2r逆時(shí)針方向2360°大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！15pp解: -=-4+,是第一象限角.4432p2p=10+,是第二象限角.43-2

14、0=-3×6.28 -1.16,是第四象限角.-23-3.464,是第二象限角.點(diǎn)評:在這類題中對于含有 的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為 2k+(kZ,0,2)的形式,再根據(jù) 角終邊所在的位置進(jìn)行,對于不含有 的弧度數(shù)表示的角,取 =3.14,化p3p為 k×6.28+,kZ,0,6.28)的形式,通過 與 ,比較大小,估計(jì)出角所在的象限.22變式訓(xùn)練(1)把-1 480°寫成 2k+(kZ,0,2)的形式; (2)若 -4,0),且 與(1)中 終邊相同,求 .74p16p16p9解:(1)-1 480°= -=-10+,0<2,916p9-1

15、 480°=2( -5)+.916p(2) 與 終邊相同,=2k+,kZ.92p20p又-4,0),1= -,2= -9例 3 已知 0<<2,且 與 7 相同,求.9活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會(huì)用弧度制求終邊相同的角,并通過完成課后練習(xí)真正領(lǐng)悟弧度制的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來看,用弧度制解決角的問題要很容易卻難掌握,很有可能記錯(cuò)或者或者化簡錯(cuò)誤,學(xué)生需多做些這方面的題來練基本功.可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí),在黑板上當(dāng)場演練,教師給予批改指導(dǎo),對易出錯(cuò)的地方特別強(qiáng)調(diào).對學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學(xué)生的練習(xí)操作學(xué)習(xí)大有好處.糾正,這對以后k

16、解:由已知,得 7=2k+,kZ,即 6=2k.=.3k又0<<2,0<<2.3p2p4p5pkZ,當(dāng)k=1、2、3、4、5 時(shí),=、.3333點(diǎn)評:本題是在一定的約束條件下,求與角 終邊相同的角,地,首先將這樣的角表示為 2k+(kZ,0,2)的形式,然后在約束條件下確定 k 的值,進(jìn)而求適合條件的角.例 4 已知一個(gè)扇形的a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí),扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值.活動(dòng):這是一道應(yīng)用題,并且考查了函數(shù)思想,教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟,教師提問學(xué)生對已學(xué)知識的掌握和鞏固,并對回答全面的學(xué)生給予一定的提示和鼓勵(lì).教師補(bǔ)充,函數(shù)法求最值

17、所學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),對回答不的五個(gè)基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標(biāo)函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其中自變量的選取不唯結(jié)構(gòu)確定求最值的立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是,并確保在定義域內(nèi)能取到最值.解:設(shè)扇形的弧長為 l,半徑為 r,圓心角為 ,面積為 S.大同輔導(dǎo)在線·大同人的站大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！由已知,2r+l=a,即 l=a-2r.a 211aaS=l·r=(a-2r)·r= -r2+r=-(r-)2+.222416ar>0,l=a-2r>0,0<r&

18、lt;.2a 2a當(dāng) r=時(shí),Smax=.416aa1此時(shí),l=a-2·=,=2.42ra 2故當(dāng)扇形的圓心角為 2 rad 時(shí),扇形的面積取最大值.16點(diǎn)評:這是一個(gè)最大值問題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積 S 表示成某個(gè)變量的函數(shù), 然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.變式訓(xùn)練8p9已知一個(gè)扇形的+4,圓心角為 80°, 求這個(gè)扇形的面積.p4p解:設(shè)扇形的半徑為 r,面積為 S,由已知知道,扇形的圓心角為 80×=,18094p4p8p扇形的弧長為r,由已知,r+2r=+4,r=2.9r2= 8p991 4pS=·8p.故扇形的面積為.2999

19、點(diǎn)評:求扇形的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.相反,也可由扇形的面積結(jié)合其他條件,求扇形的圓心角、半徑、弧長.解題時(shí)要注意公式的靈活變形及方程思想的運(yùn)用.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).p7m20m解答:1.(1);(2) -;(3).863點(diǎn)評:能進(jìn)行角度與弧度的換算.2.(1)15°(2) -240°(3)54°.點(diǎn)評:能進(jìn)行弧度與角度的換算.p3.(1)|=k,kZ;(2)|=+k,kZ.2點(diǎn)評:用弧度制表示終邊分別在 x 軸和y 軸上的角的集合.4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<

20、tan1.2.點(diǎn)評:體會(huì)同數(shù)值不同的角對應(yīng)的三角函數(shù)值可能不同,并進(jìn)一步認(rèn)識兩種制.注意在用計(jì)算器求三角函數(shù)值之前,要先對計(jì)算器中角的模式進(jìn)行設(shè)置.如求 cos0.75°之前,要將角模式設(shè)置為 DEG(角度制);求 cos0.75 之前,要將角模式設(shè)置為 RAD(弧度制).p5.m.3大同輔導(dǎo)在線·大同人的站大同輔導(dǎo)在線吧（），海量管理資源！點(diǎn)評:通過分別運(yùn)用角度制和弧度制下的弧長公式,體會(huì)引入弧度制的必要性.6.弧度數(shù)為 1.2.點(diǎn)評:進(jìn)一步認(rèn)識弧度數(shù)的絕對值公式. 課堂小結(jié)由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與.教師強(qiáng)調(diào)角度制與弧度制是度制,它們是互相的,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關(guān)鍵要理解并量角的兩種不同的牢記180°= rad 這一式,由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算;三個(gè)注意的問題,同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學(xué)們要熟記.重要的一點(diǎn)是,同學(xué)們