行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、山西師范大學(xué)現(xiàn)代文理學(xué)院本科畢業(yè)論文行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用 姓 名張建民系 別數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí)1004學(xué) 號(hào)1090110403指導(dǎo)教師王翠紅答辯日期成 績(jī)行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用內(nèi)容摘要科學(xué)研究、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有許多問(wèn)題可歸結(jié)為線性方程組，行列式正是由研究線性方程組產(chǎn)生的，并成為一種重要的數(shù)學(xué)工具，因此懂得解行列式就非常重要。本文總結(jié)了行列式的十一種計(jì)算方法，并對(duì)每種方法進(jìn)行例題跟蹤。另外還敘述了行列式在初中代數(shù)和解析幾何兩個(gè)方面的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】線性方程組 行列式 初中代數(shù) 解析幾何Calculating methods of determinant and

2、its applicationAbstractScientific research, engineering and economic activities and there are a lot of problems can be formulated as linear equations, the determinant is generated by a system of linear equations, and become an important mathematical tool, so it is very important to know the solution

3、 determinant. This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry【Key Words】linear equations Determinant junior high sch

4、ool algebra analytic Geometry目 錄前言1一、行列式的計(jì)算方法3（一）利用行列式定義計(jì)算3（二）利用行列式的性質(zhì)計(jì)算4（三）化三角形法4（四）降階法6（五）遞推公式法6（六）利用范德蒙行列式7（七）加邊法8（八）數(shù)學(xué)歸納法8（九）連加法9（十）拆項(xiàng)發(fā)9（十一）析因子法10二、行列式的應(yīng)用10（一）行列式在代數(shù)中的應(yīng)用11（二）行列式在幾何中的應(yīng)用12參考文獻(xiàn)14致謝15行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用學(xué)生姓名：張建民 指導(dǎo)老師：王翠虹前言 解方程是代數(shù)中一個(gè)基本問(wèn)題，特別是在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，解方程占有重要地位。比如說(shuō)，如果一段導(dǎo)線的電阻為,它兩端的點(diǎn)位差為,那么通過(guò)這段導(dǎo)線的

5、電流強(qiáng)度為,就可以用關(guān)系式表示求出來(lái)。這就是通常所謂解一元一次方程的問(wèn)題。在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，我們解過(guò)一元、二元、三元以至四元一次方程組。下面討論一般的多元一次方程組，即線性方程組。對(duì)于二元線性方程組 當(dāng)時(shí)，此方程組有唯一解，即 ，稱為二級(jí)行列式，用符號(hào)表示為 當(dāng)二級(jí)行列式 時(shí)，該方程組有唯一解，即 對(duì)于三元線性方程組有相仿的結(jié)論。設(shè)有三元線性方程組 稱代數(shù)式為三級(jí)行列式，用符號(hào)表示為：= 我們有：當(dāng)三級(jí)行列式 時(shí)，上述三元線性方程組有唯一解，解為 其中 把這個(gè)結(jié)果推廣到元線性方程組 的情形。為此將要給出級(jí)行列式的定義及計(jì)算方法。定義 級(jí)行列式 等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積 的代數(shù)和，

6、這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí)，帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)，帶負(fù)號(hào)。這一定義可以寫(xiě)成這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和。級(jí)行列式性質(zhì)：把行列式的各行變?yōu)橄鄳?yīng)的列，所得行列式與原行列式相等。把行列式的兩行（兩列）對(duì)調(diào)，所得行列式與原行列式絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某個(gè)數(shù)，等于用數(shù)乘原行列式。如果行列式某兩行（或兩列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么行列式等于零。如果行列式的某一行（一列）的元是二項(xiàng)式，那么這個(gè)行列式等于把這些二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作成相應(yīng)行（或列）而其余行（或列）不變的兩個(gè)行列式的和。把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一個(gè)數(shù)，加到另一行（或一列）

7、的對(duì)應(yīng)元上，所得行列式與元行列式相等。行列式某一行（或一列）的各元與另一行（或一列）對(duì)應(yīng)元的代數(shù)余子式的乘積的和等于零。行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元與它們各自對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和。一、 行列式的計(jì)算方法(一)、利用行列式定義計(jì)算 例1 計(jì)算行列式 解：展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是 顯然，如果，那么，從而這個(gè)項(xiàng)都等于零。因此只需考慮的那些項(xiàng)；同理，只需考慮這些列指標(biāo)的項(xiàng)。這就是說(shuō)行列式不為零的項(xiàng)只有這一項(xiàng)，而這一項(xiàng)前面的符號(hào)應(yīng)該是正的。所以 （二）、利用行列式的性質(zhì)計(jì)算 例2 計(jì)算級(jí)行列式 解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每一行有一個(gè)元素是，其余個(gè)是。根據(jù)性質(zhì)6，把行列式第二列加到第一列，行列

8、式不變，再把第三列加到第一列，行列式不變直到第列也加到第一列，即得 =把第二行到第行都分別加上第一行的-1倍，就有 根據(jù)例1得 （三）、化三角形法化三角形法是利用行列式的性質(zhì)將原行列式化為上（下）三角形行列式計(jì)算的一種方法，它是計(jì)算行列式的重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易計(jì)算上（下）三角形行列式。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作保值變形，再將其化為三角形行列式。例3 計(jì)算行列式 解 =（四）、降階法 降階法是按某一行（或一列）展開(kāi)行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，

9、然后再展開(kāi).例5 計(jì)算行列式 解 （五）、遞推公式法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。 例6 計(jì)算階行列式 解 按第一列展開(kāi) 于是有 =及 =從上兩式削去，得對(duì)于形如的所謂三角行列式，可直接展開(kāi)得兩項(xiàng)遞推公式，然后采用如下一些方法求解。方法1 如果較小，則直接遞推計(jì)算。方法2 用第二數(shù)學(xué)歸納法：即驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立，設(shè)結(jié)論成立，若證明時(shí)結(jié)論也成立，則對(duì)任意自然數(shù)

10、結(jié)論相應(yīng)也成立。方法3 將變形為，其中，由韋達(dá)定理知是一元二次方程的兩個(gè)根。確定后，令，利用遞推求出，再由遞推求出。方法4 設(shè)代入得因此有（稱為特征方程），求出其根（假設(shè)），則這里可通過(guò)取來(lái)確定。例4 求階行列式的值 解 按第一行展開(kāi)得，即作特征方程解得，則 當(dāng)時(shí)，代入式得當(dāng)時(shí)，代入得 聯(lián)立求解得，故（六）、利用范德蒙行列式 例7 計(jì)算行列式 解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第行的1倍加到第行，便得范德蒙行列式 =其中“”表示連乘號(hào)。（七）、加邊法 計(jì)算某些行列式有時(shí)特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法叫做加邊法。當(dāng)然，加邊后

11、要保證行列式的值不變，并且要使所得的高一階行列式容易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為個(gè)元素的倍數(shù)的情況。例8 計(jì)算行列式 解 給原行列式加邊 =（八）、數(shù)學(xué)歸納法首先利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。但給定一個(gè)行列式要猜想其值是比較困難的，因此數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。例9 計(jì)算階行列式 解 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí) =假設(shè)時(shí)，有 則當(dāng)時(shí)，把按第一列展開(kāi)，得 = =（九）、連加法如果行列式中某列（行）加上其余各列（行），使該列（行）元素均相等或出現(xiàn)較多零，進(jìn)而簡(jiǎn)化行列

12、式的計(jì)算方法稱為連加法。 例10 計(jì)算行列式 解 它的特點(diǎn)是各列元素之和為 ,因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出 ,得 將第一行乘以分別加到其余各行，化為三角形行列式，則 =（十）、拆項(xiàng)發(fā) 把行列式的某一行（或列）的元素寫(xiě)成兩數(shù)和的形式，然后利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫(xiě)成兩行列式之和，進(jìn)而使行列式簡(jiǎn)化以便計(jì)算。例11 算行列式 解 =（十一）、析因子法例12 算行列式 解 由行列式定義知為的4次多項(xiàng)式，又，當(dāng)時(shí)，行相同，有,所以為的根。 當(dāng)時(shí)，行相同，有 所以為的根。故有4個(gè)1次因式：設(shè)令，則 即，所以所以小結(jié) 以上是行列式計(jì)算常用的方法，在實(shí)際計(jì)算中，不同的方法適應(yīng)于不同特征的行列式，

13、如定義法一般適用于0比較多的行列式，利用性質(zhì)分為直接利用和利用性質(zhì)化三角形行列式，降階法主要是利用按行（列）展開(kāi)公式，一般某行或某列含有較多的零元素。每一種方法都有其各自的優(yōu)點(diǎn)及其獨(dú)特之處，因此研究行列式的解法有非常重要的意義。二、行列式的應(yīng)用 行列式是研究數(shù)學(xué)的重要工具之一，下面主要介紹行列式在代數(shù)和幾何兩個(gè)方面的應(yīng)用。(一)、行列式在代數(shù)中的應(yīng)用（1）用行列式解線性方程組如果線性方程組 （其中代表未知量，代表未知量的系數(shù)，帶表常數(shù)項(xiàng)。）的系數(shù)行列式,那么，這個(gè)方程組有解，并且解事唯一的，可表示為 （2）用行列式因式分解利用行列式分解因式的關(guān)鍵, 是把所給的多項(xiàng)式寫(xiě)成行列式的形式, 并注意行

14、列式的排列規(guī)則. 下面列舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.例13 分解因式 解 原式= = = = = = =(3)用行列式證明恒等式我們知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上, 行列式不變; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么這個(gè)行列式等于零. 利用行列式的這些性質(zhì), 我們可以構(gòu)造行列式來(lái)證明等式和不等式.例14 已知 求證證明 令，則命題得證。（二）、行列式在幾何中的應(yīng)用（1）用行列式表示三角形的面積以平面內(nèi)三點(diǎn)，為頂點(diǎn)的的面積是證明 將平面,三點(diǎn)擴(kuò)充到三維空間，其坐標(biāo)分別為，其中為任意常數(shù)。由此可得， 面積為 = = =（2）用行列式表示直線方程 直線通

15、過(guò)兩點(diǎn)和的直線方程為 證明 由兩點(diǎn)式，我們的直線 方程為 將上式展開(kāi)并化簡(jiǎn)，得此式可進(jìn)一步變形為 此式為行列式按第三行展開(kāi)所得結(jié)果，原式得證。（3）三線共點(diǎn)平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點(diǎn)的充要條件是（4）三點(diǎn)共線 平面內(nèi)三點(diǎn)，在一直線的充要條件是 參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2、江蘇師范學(xué)院數(shù)學(xué)系編寫(xiě)組編. 解析幾何（第四版）M.北京：高等教育出版社，20033、許甫華.高等代數(shù)解題方法M.北京：清華大學(xué)出版社，20034、胡喬林.關(guān)于行列式的定義及其計(jì)算方法M,科技信息,2007，255、張賢科,許浦華 高等代數(shù)學(xué)M.北京 清華大學(xué)出版社，20036、毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢：華中科技大學(xué)出版社，20007、萬(wàn)廣龍. 行列式的計(jì)算方法與技巧J. China's Foreign Trade , 2011,(04) 8、周寧, 夏益斌. 行列式在解析幾何中的應(yīng)用J. 昆明冶金高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) , 2011,(01)9、楊鵬輝.行列式的計(jì)算技巧J. 宜春學(xué)院學(xué)報(bào) , 2011,(04) 10彭麗清. 行列式的應(yīng)用J. 忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2005(5), 40-41.11錢(qián)吉林. 高等代數(shù)題解精粹M. 北京: 中央民族大學(xué)出版社, 2002.致謝本文是在