高一數(shù)學必修5不等式題型總結

1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？對含參一元二次不等式常用的分類方法有三種： 一、按項的系數(shù)的符號分類，即;例1 解不等式： 分析：本題二次項系數(shù)含有參數(shù)，故只需對二次項系數(shù)進行分類討論。 解：解得方程 兩根當時,解集為當時，不等式為,解集為當時, 解集為 例2 解不等式分析 因為，所以我們只要討論二次項系數(shù)的正負。解 當時，解集為；當時，解集為二、按判別式的符號分類，即；例3 解不等式分析 本題中由于的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。解： 當即時，解集為；當即0時，解集為；當或即,此時兩根分別為，顯然, 不等式的解集為 例4

2、解不等式 解 因，所以當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為R。三、按方程的根的大小來分類，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解為：，故對應的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：，令，可得：，當或時， ，故原不等式的解集為；當或時，,可得其解集為；當或時, ,解集為。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解為，故只需比較兩根與的大小.解 原不等式可化為：，對應方程的兩根為 ，當時，即，解集為；當時，即，解集為一元二次不等式 參考例題（2）1(1)解不等式 （） (2)不等式的解集為，求的值. （）2解下列關于的不等式： （1） （2） （3）

3、 （4） （5） （6） 3（1）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（） （2）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍.（）4（1）已知， 若，求實數(shù)的取值范圍.；（）若，求實數(shù)的取值范圍.；（）若為僅含有一個元素的集合，求的值.（） （2）已知，求實數(shù)的取值范圍. （） (3) 關于的不等式與的解集依次為與，若，求實數(shù)的取值范圍. （） （4）設全集，集合，若，求實數(shù)的取值范圍. （）（5）已知全集，若，求實數(shù)的取值范圍.（ ） 一元二次不等式及其解法1二次函數(shù)的圖象及性質:二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是2二次函數(shù)的解析式的三種形式：（一般式）；（零點式）；（頂點式）3一元二次不等式

4、的解法一元二次不等式的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表： 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根 無實根 R 4解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項系數(shù)化為“+”：A=>0(或<0)(a>0)；(2)計算判別式，分析不等式的解的情況；(3)寫出解集5討論二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題：(1)注意對稱軸與區(qū)間的相對位置一般分為三種情況討論，即：對稱軸在區(qū)間左邊，函數(shù)在此區(qū)間上具有單調性；對稱軸在區(qū)間之內；對稱軸在區(qū)間右邊（2）函數(shù)在區(qū)間上的單調性要注意系數(shù)的符號對拋物線開口的影響6二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判

5、別式；區(qū)間端點的函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間的相對位置三、典型例題選講題型1：考查一元二次函數(shù)的性質例1 函數(shù)是單調函數(shù)的充要條件是（ ）A B C D解：函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)）是單調函數(shù)，故選A歸納小結：二次函數(shù)的單調區(qū)間是和，結合開口方向就可得出所需的條件，從而求出的范圍例2 已知二次函數(shù)的對稱軸為，截軸上的弦長為，且過點，求函數(shù)的解析解：二次函數(shù)的對稱軸為，可設所求函數(shù)為，截軸上的弦長為，過點和，又過點，解之得，歸納小結：求二次函數(shù)的解析式一般采用待定系數(shù)法，但要注意根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)慕馕鍪叫问剑阂话闶?、零點式和頂點式，正確的選擇會使解題過程得到簡化題型2：簡單不等式的求解問題例3 求

6、下列不等式的解集（1）；（2）解法一：因為所以，原不等式的解集是解法二：整理，得因為無實數(shù)解，所以不等式的解集是從而，原不等式的解集是歸納小結：解一元二次不等式要抓住“三個二次”的關系，按照解一元二次不等式的步驟求解，必要時要畫出二次函數(shù)的圖象進行觀察例4 不等式的解集為，求與的值解法一：設的兩根為、，由韋達定理得： 由題意得，此時滿足，解法二：構造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故，歸納小結：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，在解題時要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的關系題型3：含參不等式的求解問題例5 解關于的不等

7、式證：分以下情況討論(1)當時，原不等式變?yōu)椋海床坏仁降慕饧癁?2)當時，原不等式變?yōu)椋?當時，式變?yōu)椋坏仁降慕鉃榛蚣床坏仁降慕饧癁?；當時，式變?yōu)?，當時，此時的解為即不等式的解集為；當時，此時的解為當時，即不等式的解集為歸納小結：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解題型4：一元二次不等式的應用例6 （1）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）A BC D解：依題意得所以，選C（2）若函數(shù)f(x) =的定義域為

8、R，則a的取值范圍為_解：函數(shù)的定義域為R，對一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，故選A歸納小結：解一元二次不等式往往與分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)結合進行綜合考查，一般是借助于函數(shù)的性質和圖象進行轉化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相應一元二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)“三個二次”之間的緊密聯(lián)系，這也是一元二次不等式的重要考點之一例7 已知函數(shù)的最大值為，求的值解：令，對稱軸為，當，即時，得或（舍去）當，即時，函數(shù)在上單調遞增，由，得；當，即時，函數(shù)在上單調遞減，由，得（舍去）綜上可得，的值為或歸納小結：令，問題就轉化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，再由對稱軸與區(qū)間的三種位置關系的討論就可求得

9、的值此題中要注意的條件例8 設不等式的解集為，如果，求實數(shù)的取值范圍？解：有兩種情況：其一是=，此時0；其二是M，此時=0或0，分三種情況計算a的取值范圍設，有=，當0時，12，=；當=0時，=1或2；當=1時=；當=2時，=當0時，a1或a2設方程的兩根，且，那么M=，M1x1x24，即解得2，M1，4時，的取值范圍是(1，)一元二次不等式解法應試能力測試1不等式的解集是( )A B C D2設集合Mx|0x<2，則有MN( )Ax|0x<1 Bx|0x<2 Cx|0x1 Dx|0x23對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )A1a0 B1a<0 C1

10、<a0 D1<a<04不等式的解集為( )Ax|2x2 Bx|x2或x2 Cx|2x2或x6 Dx|x25已知，則AB的非空真子集個數(shù)為( )A2 B3 C7 D86已知，且ABR，ABx|3<x4，則p、q的值為( )Ap3，q4 Bp3，q4 Cp3，q4 Dp3，q47若關于x的二次不等式的解集是x|7<x<1，則實數(shù)m的值是( )A1 B2 C3 D48不等式ax<b與同解，則( )Aa0且b0 Bb0且a>0 Ca0且b>0 Db0且a<0 1不等式的解為_2使函數(shù)有意義的x的取值范圍是_3已知，若，則a的取值范圍是_；若，

11、則a的取值范圍是_4關于x的不等式(ab>0)的解集是_1 為使周長為20cm的長方形面積大于，不大于，它的短邊要取多長？2 解不等式3解關于x的不等式(a>0)4 k為何值時，關于x的不等式對一切實數(shù)x恒成立參考答案一、1D 2B 3C 4C 5A 提示：因為AB3，46A 提示：因Bx|x<1或x>3，由已知得Ax|1x41，4是的兩根，p3，q47C 8A，提示：因的解為，只有a0且b0時，ax<b解為二、1x<5或x>5 提示：原不等式化為，|x|>52x|3<x1 3a>2，1a2 ，提示：Ax|1x2，Bx|(x1)(xa)0，a>24x|x<b或x>a，提示：原不等式可化為(ax)(xb)<0，即(xa)(xb)>0，ab>0，a>b，x>a或x<b三、