雨滴下落速的討論

1、編號 2009021236 畢 業(yè) 論 文（ 09 屆本科）論文題目： 雨滴下落速度的討論 學 院： 電氣工程學院 專 業(yè)： 物理學 班 級： 09本科(2)班 作者姓名： 吳麗霞 指導教師： 郭立帥 職稱： 完成日期： 2012 年 12 月 日 雨滴下落速度的討論(隴東學院 電氣工程學院，甘肅 慶陽 745000)吳麗霞 ， 郭立帥摘 要：簡單介紹雨滴的形成，運用流體力學相關知識，分析了雨滴下落所受的黏性阻力和壓差阻力，考慮雨滴在空氣中下落半徑增加對雨滴速度的影響，得出了雨滴下落速度和雨滴半徑的關系，對雨滴下落的收尾速度進行了一般的討論。關鍵詞：雨滴;黏性阻力；壓差阻力；雷諾數；收尾速度D

2、iscussion of the raindrops falling speedWu Li-xia， Guo Li-shuai(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China.)Abstract: Brief rain formation, the use of the knowledge of fluid mechanics, analysis of viscous drag and pressure drag the raindrops whereabouts suffer

3、ed consider raindrops in the air, the whereabouts of the impact of increasing the radius of raindrops speed, to draw raindrops falling speed and raindrops radius the general analysis of the relationship between the terminal velocity of raindrops whereabouts.Key Words: Raindrops; Viscosity resistance

4、; Pressure drag; Reynolds number; Terminal velocity.引言 下雨是自然界常見的現象，如果將雨滴看作自由下落的質點，我們知道云層下表面距地面約2000米，由質點運動學的相關知識和可知，從此高度下落到地面的雨滴速度可達200m/s，化為小時制為720km/h，此速度大約是F1賽車的兩倍，從動量的角度分析，與一個質量為0.1g速度為130m/s的子彈產生的動量相當。這樣的雨滴如果撞在人身上，后果不堪設想，但實際上，地表上的任何生命都沒有被雨滴撞傷，這是因為雨滴下落時不僅受重力，還受空氣浮力和阻力，并不是自由落體運動，在這三個力的作用下，才使得無論是毛

5、毛細雨還是大雨滂沱，雨滴都不會因為速度太大而撞傷人畜。 大小不同的下落的快慢的不同，我們都知道大雨滴下落的快，小雨滴下落的慢，如果將雨滴看做質量不變的球體進行研究，不考慮雨滴質量增加對其速度影響，則雨滴下落最后將達到一個恒定不變的最大速度，稱為收尾速度。然而，雨滴在下落過程中不斷幾首水汽塵埃等物質，質量將會不斷增加，但由于下落過程中還存在摩擦升溫等因素，造成蒸發(fā)現象，質量也會減小。所以為了不是問題過于復雜，本文著重討論質量不變的不同雨滴的下落速度。對于質量變化的雨滴只做淺易討論質量增加的情況。1. 雨滴的形成 雨是由“云”變來的，陸地和海洋表面的水蒸發(fā)變成水蒸氣，水蒸氣在高空遇冷便凝結成小水滴

6、，這些小水滴都很小，直徑只有0.00010.0002mm，它們又輕又小，被空氣中的上升氣流托在空中，就是這些小水滴在空中凝聚成了云，這些小水滴要變成雨滴降到地面，它們的體積大約要增大100多萬倍，這些小水滴主要靠兩個手段增大，一是凝結和凝華增大；二是靠云滴的碰撞增大。在雨滴形成初期，云滴主要不斷吸收云體四周的水氣使自己凝結和凝華，如果云體內的水氣能源源不斷得到供應和補充，使云滴表面處于過飽和狀態(tài)，那么，這種凝結過程將會繼續(xù)下去，使云滴不斷增大，成為雨滴。但有時云內的水氣含量有限，在同一塊云里，水氣往往供不應求，這樣就不可能使每個云滴都增大為較大的云滴，所以，對于云體溫度高于零攝氏度的暖云來說，

7、云中就存在著大小不同的云滴，大云滴下落速度快，上升速度慢；小運滴下降速度慢，上升速度快，于是，由于大小云滴相對速度的差異，使得大云滴有機會與小云滴相撞，結果小云滴就合并到大云滴中去了，這樣，大云滴不斷的增加，又因為上升氣流分布不均勻，大云滴可以多次在云中上下運動，再加上云內的湍流作用，大云滴增大的機會就會增加，于是大云滴越來越大，直到上升氣流再也托不住時，便從云中下落，形成降雨。雨滴在下落過程中區(qū)別于自由落體運動，是由于受到了空氣阻力的作用。2. 空氣阻力的分類 由流體力學可知，雨滴在空氣中下落，所受阻力有兩種，分別是由摩擦引起的黏性阻力和由壓差引起的壓差阻力。2.1 黏性阻力 雨滴在空氣中相

8、對于空氣運動，雨滴表面附著一層空氣，即附面層，附面層靠近雨滴的空氣微團相對于雨滴靜止，附面層外側空氣微團相對于雨滴有一定流速，造成雨滴表面附近的空氣存在速度梯度，因而空氣層之間有阻礙雨滴下落的摩擦力，叫做黏性阻力。比較小的物體在黏性較大的流體中緩慢地運動，即雷諾數很小的情況下，該阻力是主要因素，著名的斯托克斯（G .G .Stokes，18191903）公式描述了球形物體受到的黏性阻力 ；其中為雨滴的半徑，為雨滴下落的速度，為空氣粘滯系數，該公式在雷諾數很小的情況才正確，即<1，是雷諾于1883年提出用來比較黏性流體流動狀態(tài)的量綱為1的量，其定義為；和分別表示流體密度和黏度，表示特征流速

9、，L是與物體橫截面相聯(lián)系的特征長度。2.2 壓差阻力 雨滴表面處有附面層，遠離附面層處氣流受附面層影響小，流速快；，靠近附面層的氣流流動緩慢，因而在雨滴的上方便因靠附面層的的空氣未能及時趕到而留下空間，于是外層空氣便回旋過來補充從而形成渦旋，雨滴上方渦旋產生，所以上方氣壓小于下方氣壓，壓強差構成雨滴下落的阻力，叫壓差阻力。從本質上將，壓差阻力有黏性阻力引起，但與G .G .Stokes公式描述的那類黏性阻力有不同機制，黏性阻力和壓差阻力同時存在，但就渦旋產生后，黏性阻力不占重要地位。球形物體在流體中所受壓差阻力為 ； （1）其中表示流體密度，是物體與流體垂直方向的最大橫截面積，為阻力系數，為無

10、一量綱常數，隨不同雷諾數取不同值，在0<<范圍內，與的關系為；當<1時，式中的第二、三項相比之下可以忽略，此時代入（1）式即前面的G .G .Stokes公式。當時，近似為常數0.4。3. 雨滴下落的模型 據有關對雨滴的實測結果可知，最小雨滴的直徑僅有0.04mm，普通雨滴的直徑約為2mm，最大雨滴的直徑為6mm，再大些的雨滴會由于不穩(wěn)定而破裂為較小雨滴，在此，最大雨滴直徑去4mm。在本文的討論中，將雨滴的形狀視為球體，且分為兩類，一類在下落過程中雖然半徑增加尺度但尺度任然極小，所受空氣阻力始終以黏性阻力為主；一類半徑較大，下落過程器上表面產生渦旋，所受空氣阻力以壓差阻力為主

11、。4. 雨滴下落速度的分類討論 4.1 空氣阻力以黏性阻力為主的雨滴下落情況 在無風的情況下，假設雨滴的質量的為，雨滴在自身重力、浮力和黏性阻力的共同作用下，垂直下落的運動方程為 （2）式中，（下同），為水的密度，為空氣的密度。若不考慮雨滴在下落過程中因蒸發(fā)和碰撞所引起的質量變化，則（2）式可寫為 （3）其中為雨滴在時刻的絕對運動速度（假定雨滴運動中空氣介質是靜止的）；為重力加速度，為空氣質量。上式中令（下同），則（3）式可寫為 (4) 對上式取積分，并取初始條件，可解得任一時刻雨滴下落的速度 (5)（4）式中，令，可得雨滴下落的收尾速度 （6）取，；代入（6）式得： (7)因為G .G .S

12、tokes公式適用的條件是，而，將代入得，雨滴半徑。假設存在的極小雨滴，則代入（7）式得此雨滴的收尾速度，如此小的速度雨滴幾乎瞬間就能達到。因為，而代入數值得，所以 當速度從零增加到，有解得此雨滴達到收尾速度的時間為；在這么短的時間內，雨滴不可能從2000m的高空落至地面，所以，可以認為極小雨滴都是以收尾速度下落的。但是依據實際情況可判斷，半徑為速度為的極小雨滴從高空下落，早在未落至地面前就已經蒸發(fā)不見了。如果考慮雨滴在下落過程中半徑逐漸增加，即雨滴的質量為變量。則（1）可寫為 （8）而上式中左邊 ；因為 右邊 所以（8）式可寫為：整理得 即 積分得 所以有 （9）將邊界條件代入上式得 即 （

13、10）因為滿足G .G .Stokes公式的雨滴半徑必須是，所以代入（10）可得雨滴最大速度分析可得雨滴即使以的速度從2000m高空下落，仍需要大約4個小時才能到達地面，這么長的時間雨滴未等落到地面早就在空中蒸發(fā)掉了，顯然是不存在這種雨滴。氣象學研究表明這種小雨滴至存在于云層中，它需要和更小的雨滴合并，生成較大的雨滴后才能從云中掉下來。這也進一步說明，G .G .Stokes公式只適用于微小現象，像微小粒子、微小時間間隔、微小速度等，像雨滴在云層中的生成過程就可以用此公式來計算，而雨滴在云層中的下落就不在適用了。4.2 空氣阻力以壓差阻力為主的雨滴下落情況在無風情況下，雨滴在重力、浮力和壓差阻

14、力共同作用下，假設雨滴的質量為，則其運動方程為 （11）若不考慮雨滴下落過程中半徑增加，即為常量，則（11）寫為 令，；則上式可寫為 (12)令得收尾速度 (13)由前面討論可知，近似取0.4，將普通雨滴的半徑，代入（13）式得 將初始條件代入（12）得雨滴下落的一般落速公式為 當時，代入上式得，已經非常接近收尾速度，而s，這一過程也是比較短的，所以可以認為在這段時間內雨滴下落的半徑不變，此后，雨滴將以的初速度下落，半徑開始增加，即此后雨滴為變量。由于實際觀測到的最大雨滴的半徑，所以我們取雨滴到達地面時半徑增加至最大值。若考慮雨滴下落過程中半徑增加，即雨滴質量為變量，則雨滴的運動方程（11）可

15、寫為 (14)而上式左邊 而（14）式右邊 所以（14）式 整理得 積分有 （15）將邊界條件，代入（15）式，得所以當時，；此速度即雨滴在下落過程中半徑不斷增加，當落至地面時半徑增大至的速度。 分析可得雨滴即使以的收尾速度從2000的高空下落到地面約需，從下落的時間上看，是比較切合實際的。從上面的計算結果可知，雨滴越小出現收尾速度的時間越短，其收尾速度也越小。如果雨滴尺寸再小，則其收尾速度將趨近于零。而較大雨滴下落的下落速度也相對較大一些，從而導致大雨滴下落的快，小雨滴下落的慢。另外，本文對雨滴的討論對也是理想化的，首先，雨滴在下落過程中并非完全保持球形，經Mutchler研究發(fā)現，當下落的

16、雨滴達到收尾速度時，半徑較小的雨滴保持球形，半徑較大雨滴呈扁平狀，其次，雨滴的質量在下落過程中是不斷變化的，大小不同的雨滴在下落過程中存在速度差，下降速度較快的大雨滴與下降速度較慢的小雨滴相遇會聚成更大的雨滴，但隨著雨滴體積的增大，空氣阻力也隨之增大，當雨滴再大時，空氣阻力超過了使雨滴保存整體的分子內聚力，大雨滴又會破裂才成小雨滴。6. 總結本文首先介紹了雨滴的形成,接著分析了雨滴下落過程的受力情況，進而分析了黏性阻力和壓差阻力的使用條件，最后運用運動學相關知識對雨滴下落進行了一般討論，主要討論了雨滴下落過程中質量不變情況，簡單的也討論了實際現象中雨滴下落半徑增加的情況，得出以下結論：（1）

17、下落過程中受空氣阻力滿足G .G .Stokes公式的極小雨滴只存在于云層中。（2） 由于考慮雨滴下落過程中半徑逐漸增加，嚴格的收尾速度便不存在了，但通過計算發(fā)現雨滴落至地面的速度也不是很大，可見，不存在嚴格收尾速度的雨滴下落模型也是合理的。（3） 由知，雨滴半徑越大其速度越大，雨滴半徑各不相同，其收尾速度也各不相同，但一般降雨雨滴的半徑分布在到之間，通過以上計算大量雨滴的收尾速度分布在到之間。（4） 盡管雨滴在下落過程中并非完全保持球形，且經研究發(fā)現，當下落的雨滴達到收尾速度時，半徑較小的雨滴保持球形，半徑較大的雨滴呈扁平狀，但從計算結果來看，這一點沒有對本文討論的情況造成太大影響。（5）

18、經計算最大雨滴的沖擊力僅有，考慮風影響和雨滴表面的彈性，這個作用力還會更小，顯然不會對地表植物或建筑物等造成傷害。（6） 此結論也適用于冰雹，由于冰的密度比水小，其收尾速度比雨滴還要小，但冰雹的破壞力極大，因為其表面堅硬，與物體作用時間段，使得作用力較大。參考文獻：【1】 漆安慎，杜嬋娟.力學M，北京：高等教育出版社，1997.402410.【2】 劉大偉，閻愛玲.雨滴運動分析J.科學技術與工程.2006,6(9):12661269.【3】 邵學輝，王寶鈞，王建國.關于雨滴問題的幾點思考J,河南師范大學學報,2005.21(2):1011【4】 姚文藝，陳國祥.雨滴降落速度及終速公式J.河南大學學報,1993.5(21).【5】 王立華.空氣阻力對自由落體運動的影響J.滄州師范?？茖W校學報,2000,