顏色建模方法

1、顏色建模方法1. 緒論顏色建模的目的是建立顏料或染料與它們的混合色之間的光譜關(guān)系或色度關(guān)系。這里的顏料或染料可以是油墨、墨水或色光，如顯示器的熒光粉。印刷品、顯示圖像和相片等顏色復(fù)制的結(jié)果都與原色之間有一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，計(jì)算機(jī)配色系統(tǒng)和色彩管理系統(tǒng)都是利用這種數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行的。本課程將對(duì)印刷復(fù)制所涉及到的有關(guān)問題：顯示器的呈色模型和顏色計(jì)算、掃描儀的顏色計(jì)算、彩色打印機(jī)的顏色計(jì)算和印刷品的顏色計(jì)算做一個(gè)一般性的討論，揭示混合色與原色之間的內(nèi)在關(guān)系，探討色彩管理的一般方法。色彩管理包含三個(gè)內(nèi)容：彩色設(shè)備的色度特征化并建立顏色模型、選擇參考空間和色域映射。彩色設(shè)備的色度特征化是用測(cè)量儀器對(duì)設(shè)備進(jìn)行色度

2、的測(cè)量，找出原色的色度特征或規(guī)律，建立輸入和輸出的關(guān)系；色域映射是按一定的要求，將不同設(shè)備的顏色空間向參考顏色空間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到各設(shè)備之間顏色轉(zhuǎn)換的目的。通常進(jìn)行色彩管理計(jì)算的方法有三種：直接插值法、多重線性回歸法和模型分析法。前兩種方法都需要用設(shè)備輸出大量的色樣，用儀器測(cè)量出各色樣的顏色值，直接插值法用插值法直接建立輸出顏色與數(shù)字驅(qū)動(dòng)值之間的查找關(guān)系；多重線性回歸法則是用多重線性回歸法建立原色與樣品色度之間的經(jīng)驗(yàn)公式，用此經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算復(fù)制的顏色。這兩種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，可以直接生成顏色查找表。這兩種方法都需要制作大量的色樣，色樣越多，計(jì)算的準(zhǔn)確性就越高。如果系統(tǒng)的輸入輸出線性較好，兩

3、種方法的結(jié)果一致，非線性越高，多重回歸的方法誤差就會(huì)越大。這兩種方法的缺點(diǎn)是更改數(shù)據(jù)困難，改變了輸出條件，就必須重新計(jì)算一次。第三種方法是用顏色建模的方法建立輸入與輸出之間的關(guān)系。這種方法的好處是：使用較少的輸出色樣；可以隨著輸出已經(jīng)的改變很方便地改變；可以分析顏色復(fù)制的特性；可以比較容易地計(jì)算設(shè)備復(fù)制的色域。缺點(diǎn)是分析和計(jì)算困難。2. 色度學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)（略）2.1 顏色的基本計(jì)算公式顏色的光譜特性顏色相加混合顏色的減色混合顏色的基本計(jì)算公式2.2 均勻顏色空間及色差公式CIE1976均勻顏色空間及色差公式CMC（l：c）色差公式3. 顯示器的顏色計(jì)算3.1 顯示器的數(shù)字驅(qū)動(dòng)值與顏色刺激值數(shù)字驅(qū)

4、動(dòng)值是計(jì)算機(jī)中使用的代表顏色的數(shù)字量，也是保存在圖像文件中的數(shù)字量，用來表示圖像中顏色的混合比例，但它并不是三刺激值，不直接代表顏色的感覺。數(shù)字驅(qū)動(dòng)值用dr、dg、db表示。顏色刺激值代表顏色的感覺，表示顏色中包含三原色的比例，用R、G、B來表示。只有顏色刺激值才與CIE三刺激值成線性關(guān)系，才能進(jìn)行線性變換。顏色刺激值與數(shù)字驅(qū)動(dòng)值之間成指數(shù)關(guān)系：（3-1）其中指數(shù)影響顯示器對(duì)各梯級(jí)的對(duì)比度和層次關(guān)系，值小時(shí)亮調(diào)的級(jí)差拉得比較大，對(duì)表現(xiàn)較亮的顏色有利；而值大時(shí)暗調(diào)的級(jí)差拉開得較大，值的選取應(yīng)該使整個(gè)層次階調(diào)變化均勻。值一般取1.8-2.2。kr、kg、kb為通道的放大系數(shù)，由熒光粉的發(fā)光特性和電

5、路決定。dro、dgo、dbo相當(dāng)于各通道的暗電流，表示數(shù)字驅(qū)動(dòng)值為0時(shí)屏幕的顏色，一般很小，接近于0，要求不高時(shí)可以忽略。n為顏色的位數(shù)，一般為8。式（3-1）默認(rèn)的假設(shè)條件是，RGB三個(gè)通道相互獨(dú)立，互不影響，即三個(gè)數(shù)字驅(qū)動(dòng)值只產(chǎn)生各自通道的顏色，即紅色數(shù)字驅(qū)動(dòng)值不會(huì)產(chǎn)生綠色或藍(lán)色刺激值，依次類推。顯示器一般能夠滿足這個(gè)條件，而且這也是顯示器和彩電質(zhì)量的檢測(cè)指標(biāo)之一。決定顯示器顏色和顯示效果的重要參數(shù)有兩個(gè)：白場(chǎng)平衡和階調(diào)。白場(chǎng)平衡是指，當(dāng)數(shù)字驅(qū)動(dòng)值為最大時(shí)，得到的白色的色溫符合一定的要求，一般為6500K。當(dāng)三個(gè)數(shù)字驅(qū)動(dòng)值取相等值時(shí)，能夠顯示灰色，而此時(shí)的色品坐標(biāo)應(yīng)該滿足色溫的要求。白場(chǎng)

6、平衡決定了顯示器顯示顏色是否偏色。階調(diào)值由值決定，關(guān)系到整個(gè)階調(diào)范圍內(nèi)能夠分辨開的層次數(shù)，應(yīng)該選擇既保證暗調(diào)層次不并級(jí)，又能使亮調(diào)層次不丟失的值。另外，還應(yīng)該使顯示階調(diào)與印刷品的階調(diào)關(guān)系盡量一致。因此，白場(chǎng)平衡或灰平衡和值可以作為求解式（3-1）的約束條件。3.2 數(shù)字驅(qū)動(dòng)值參數(shù)的確定求解式（3-1）可以用幾種方法：直接用測(cè)量值建立查找表，2. 使用多項(xiàng)式逼近，3. 用數(shù)值計(jì)算方法求解公式中的各系數(shù)。1. 直接查找法直接查找法要在最大與最小數(shù)字驅(qū)動(dòng)值之間建立數(shù)字量與刺激值的數(shù)字關(guān)系，當(dāng)n=8時(shí)，可以建立三個(gè)256級(jí)（或小于256級(jí)）的一維查找表，也就是將式（3-1）轉(zhuǎn)換成查找表。也可以直接建立

7、數(shù)字驅(qū)動(dòng)值與CIEXYZ之間的查找表，但此時(shí)的數(shù)字驅(qū)動(dòng)值與CIEXYZ各通道之間就不再是相互獨(dú)立的關(guān)系，需要首先確定迭加關(guān)系。三個(gè)一維查找表可以通過制作三個(gè)原色梯尺并測(cè)量每一梯級(jí)顏色的方法建立。由于三個(gè)一維查找表要比一個(gè)三維查找表小得多，因此可以將表做得很細(xì)。問題：通過制作三個(gè)一維查找表來查找顏色，那么，對(duì)于RGB不同時(shí)為0的顏色是否也可以計(jì)算？為什么？三個(gè)256級(jí)一維查找表總共占用多少存儲(chǔ)空間？2. 多項(xiàng)式逼近法多項(xiàng)式逼近法的理論根據(jù)是：任何函數(shù)均可以用泰勒展開來近似，而泰勒展開的項(xiàng)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，泰勒展開的系數(shù)就是多項(xiàng)式的系數(shù)ai。多項(xiàng)式逼近法的求解可以歸結(jié)為多項(xiàng)式系數(shù)ai的求解，求解

8、方法可以使用非線性回歸法。因?yàn)楦魍ǖ廓?dú)立，因此多項(xiàng)式?jīng)]有交叉項(xiàng)，設(shè)多項(xiàng)式的形式為：（3-2）式中有m+1個(gè)未知數(shù)ai，可以用回歸法確定，m為多項(xiàng)式的最高次數(shù)。為此，需要測(cè)量k個(gè)數(shù)字值對(duì)應(yīng)的刺激值，km?；貧w法的基本原理是最小二乘法，也就是要使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的誤差平方和為最小。問題：請(qǐng)推導(dǎo)式（3-2）的求解方法。3. 數(shù)值計(jì)算求解方法由于式（3-1）為非線性方程，因此通常求接有些困難。為了確定式中的k，和d0，要使用最小二乘法。由于三個(gè)通道獨(dú)立，可以分別求解。下面僅以R通道為例說明求解的方法。令 （3-3）其中k為測(cè)量的樣品數(shù)。上式的意義為所有樣品的測(cè)量值與計(jì)算值之差的平方和。最小二乘法歸結(jié)為求滿

9、足=min時(shí)的、k和d0。滿足=min的條件為：得（3-4）上式為一個(gè)非線性方程組，要使用牛頓迭代法求解。3.3 顯示器的顏色計(jì)算上節(jié)僅僅列出了數(shù)字驅(qū)動(dòng)值與三刺激值RGB間的數(shù)值關(guān)系，但由于RGB是未知數(shù)，并不能直接求出。為此，應(yīng)該首先求出RGB三刺激值來。由于顯示器的顏色是由三種熒光粉發(fā)光混合得到的，因此顯示器的混合色原色就是熒光粉發(fā)光的顏色。設(shè)顯示器三原色為（R）、（G）、（B），對(duì)應(yīng)的CIEXYZ三刺激值為XrYrZr、XgYgZg、XbYbZb，則根據(jù)顏色方程有：（3-5）或?qū)懗删仃囆问剑海?-5a）這是熒光粉RGB三原色與CIEXYZ三原色之間的變換關(guān)系。也就是說，是熒光粉顏色在CI

10、EXYZ系統(tǒng)中的表示。在顯示器上顯示的任一顏色C，在熒光粉顏色系統(tǒng)中的三刺激值為RGB，若在CIEXYZ顏色系統(tǒng)中表示的三刺激值為XYZ，則根據(jù)顏色方程有：和 這是同一個(gè)顏色在不同系統(tǒng)中的兩種表示，二式應(yīng)該相等。也就是說，（3-6）寫成矩陣形式有：（3-6a）將熒光粉三原色的CIEXYZ表示式（3-5a）代入得到比較等式兩端的系數(shù)可得：（3-7）或者表示為：（3-7a）比較式（3-5a）與（3-7a）可知，RGB三刺激值向XYZ變換的變換矩陣就是原色變換矩陣的轉(zhuǎn)置。由此可得，由XYZ向RGB變換的關(guān)系為：（3-8）4. 掃描儀顏色的計(jì)算掃描儀內(nèi)部具有光源及紅、綠和藍(lán)三色濾色片，掃描的過程是顏色

11、分解的過程，將原稿上的顏色分解為紅綠藍(lán)三原色的比例，因此掃描得到的圖像一般是RGB模式圖像。但是，掃描儀的光源和三色濾色片并不完全符合CIEXYZ的標(biāo)準(zhǔn)，所得到的掃描值也不是CIE的三刺激值。通常，由于光源和濾色片匹配關(guān)系的復(fù)雜性，掃描圖像的RGB值與CIE三刺激值不存在簡單的線性關(guān)系，不能用線性變換得到，要進(jìn)行掃描儀的色彩管理，必須首先設(shè)法計(jì)算掃描得到的顏色。計(jì)算掃描儀顏色的方法通常是曲線擬合法。曲線擬合法通過大量樣品的掃描，建立起樣品三刺激值與掃描儀濾色片刺激值之間的多項(xiàng)式關(guān)系，由此關(guān)系進(jìn)行掃描儀顏色的計(jì)算，相當(dāng)于得到掃描儀RGB與CIEXYZ的變換關(guān)系。由于這種變換關(guān)系通常不是線性關(guān)系，

12、因此一般不能使用線性變換。4.1 曲線擬合法設(shè)有n個(gè)掃描樣品，第i個(gè)樣品的CIEXYZ三刺激值為Xi、Yi、Zi，對(duì)應(yīng)的掃描三刺激值為Ri、Gi、Bi，并設(shè)二者的一般關(guān)系用多項(xiàng)式表示為：i=0，i，n，p，q，r=0，1，3，j=1，2，3，。當(dāng)p，q，r取0和1，并且不考慮交叉項(xiàng)時(shí)，對(duì)應(yīng)著線性變換，當(dāng)p，q，r取大于1和考慮交叉項(xiàng)時(shí)，對(duì)應(yīng)著非線性變換。通常常數(shù)項(xiàng)應(yīng)該取為0，因?yàn)楫?dāng)RGB為0時(shí)對(duì)于的三刺激值應(yīng)該為0。例如二次帶交叉項(xiàng)的變換為方程是關(guān)于aij的線性方程組，有9個(gè)未知數(shù)aij，需要9個(gè)方程求解。方程的求解通常要使用線性回歸的方法，測(cè)量顏色樣品數(shù)大于9才能得到較好的計(jì)算結(jié)果。寫成矩鎮(zhèn)

13、陣形式為：4.2 光譜擬合法光譜擬合法采用多個(gè)顏色樣品的掃描值和樣品的光譜曲線，用數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算掃描儀的光譜響應(yīng)曲線r（）、g（）、b（），從而計(jì)算掃描顏色。光譜擬合法基于顏色計(jì)算的最基本公式，通過測(cè)量樣品的光譜反射率（透射率），用數(shù)值計(jì)算的方法求解出掃描儀自身的光譜響應(yīng)函數(shù)，通過這個(gè)光譜響應(yīng)函數(shù)來計(jì)算掃描儀得到的顏色。由顏色計(jì)算公式可得：其中，S（）掃描儀的光源光譜功率分布函數(shù)，（）為樣品的光譜反射率，r（）、g（）、b（）為掃描儀濾色片，r（）、g（）、b（）為光電接收器的光譜透射率函數(shù)。令r（）= S（）r（）r（）g（）= S（）g（）g（）（4-4）b（）= S（）b（）b（）為

14、掃描儀三個(gè)通道的光譜響應(yīng)函數(shù)，如果能夠求出r（）、g（）、b（）就可以求出掃描任意顏色時(shí)的掃描儀顏色三刺激值RGB來，（4-5）假設(shè)測(cè)量顏色時(shí)的波長間隔為10 nm，從380-780 nm范圍內(nèi)可以得到41個(gè)顏色數(shù)據(jù)（其它波長間隔和波長范圍的計(jì)算方法相同），原則上可以用41個(gè)顏色測(cè)量樣品的光譜數(shù)據(jù)建立求解式（4-5）。由于為等間隔，是常數(shù)，不影響計(jì)算，可以忽略。從測(cè)量樣品光譜數(shù)據(jù)可以得到i（），經(jīng)過掃描儀的掃描可以得到對(duì)應(yīng)的Ri、Gi、Bi，代如到（4-5）中就可以得到（以R刺激值為例）：（4-6）求解（4-6）就可以得到掃描儀的光譜響應(yīng)函數(shù)。但是，為了得到更準(zhǔn)確的結(jié)果，通常要使用更多的樣品來

15、計(jì)算，而計(jì)算方法采用最小二乘法。為此，令：求解滿足=min時(shí)的r（）、g（）、b（），即為所求的掃描儀光譜響應(yīng)函數(shù)。滿足=min的條件為：得方程組：此為線性方程組，求解就可得R的光譜響應(yīng)。同理可得G和B的光譜響應(yīng)。思考題：能否用上面的方法直接求解CIEXYZ的光譜響應(yīng)？為什么？5. 彩色打印機(jī)和印刷品顏色的計(jì)算彩色打印機(jī)是點(diǎn)陣記錄設(shè)備，由微小的墨點(diǎn)形成圖像。印刷機(jī)依制版的方式不同，油墨在承印物上存在的形式也不同，可以是點(diǎn)陣，也可以是連續(xù)的線條。但是，連續(xù)的線條一般不能在承印物上形成圖像的層次變化。彩色打印機(jī)和印刷機(jī)形成顏色和層次變化的方式有兩種：二值印刷和多值印刷。對(duì)于二值印刷方式，在承印物上

16、只有有油墨和無油墨兩種狀態(tài)，因此必須使用加網(wǎng)方法來得到圖像的層次和顏色變化。多值印刷是指每一個(gè)墨點(diǎn)都可以有深淺的變化，因此可以通過墨點(diǎn)的深淺變化形成圖像的層次和顏色變化。典型的多值印刷設(shè)備是熱升華打印機(jī)。但更多的多值打印方式是兩種方式的混合。這兩種不同的印刷方式，顏色的形成模式也不同，顏色計(jì)算的方法不同。本章主要討論二值印刷的顏色計(jì)算，而多值印刷的顏色計(jì)算會(huì)更復(fù)雜一些，但可以參考二值印刷計(jì)算的方法推導(dǎo)。5.1 網(wǎng)點(diǎn)模型1. 調(diào)幅加網(wǎng)：網(wǎng)點(diǎn)面積大小變化，依靠網(wǎng)點(diǎn)面積的改變來控制圖像的明暗變化，網(wǎng)點(diǎn)規(guī)則排列。調(diào)幅加網(wǎng)的三要素：加網(wǎng)線數(shù)、網(wǎng)點(diǎn)形狀、加網(wǎng)角度。調(diào)幅加網(wǎng)時(shí)顏色的計(jì)算規(guī)律遵從紐介堡方程，這

17、將在下一節(jié)討論。2. 調(diào)頻加網(wǎng)：網(wǎng)點(diǎn)形狀和大小固定，依靠單位面積內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)的數(shù)量來控制圖像的明暗變化，網(wǎng)點(diǎn)排列無規(guī)則。白紙a3a2a13. 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)模型（dot on dot）：某些打印機(jī)形成的網(wǎng)點(diǎn)是疊印在一起的，墨點(diǎn)的中心是重合在一起的，如圖所示。當(dāng)同網(wǎng)角多色印刷時(shí)（不同原色以相同加網(wǎng)角度印刷）也會(huì)產(chǎn)生這種加網(wǎng)情況。對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)模型，設(shè)三色油墨印刷在單位面積的白紙上，從圖中可以看出，各色疊印的網(wǎng)點(diǎn)面積如下：白：1 - a1色1：a1 a21+2色：a2 a31+2+3色：a3其中，a1a2a3 ，這里a1 = max(c,m,y) , a2 = mid(c,m,y)，a3 = min(c,m

18、,y)。從圖中各色間的關(guān)系還可以看出，此時(shí)在紙上形成的基色共有n+1色。其中，除了白紙以外，只有一色是單色，其余都是疊印色。思考題：對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)模型，使用四色疊印是否有意義？如何使用四色印刷？5.2 Neugebauer方程計(jì)算印刷品顏色對(duì)于調(diào)幅和調(diào)頻網(wǎng)點(diǎn)，三種顏色在紙上疊印形成8種顏色，這8種顏色稱為紐介堡基色（Neugebauer Primaries）。如果疊印網(wǎng)點(diǎn)面積滿足統(tǒng)計(jì)無關(guān)的關(guān)系，則Neugebauer方程滿足如下關(guān)系：（5-1）或其中n為印刷的色版數(shù)，Xi、Yi、Zi為紐介堡基色，XYZ為印刷品顏色。ai和i是網(wǎng)點(diǎn)面積cmyk的函數(shù)。注意第一種表達(dá)式共有2n項(xiàng)，第二種表達(dá)式是2n-

19、1項(xiàng)。對(duì)于4色印刷，ai的表達(dá)式如表5-1，i和fi（X0 - Xi）、fi（Y0 - Yi）、fi（Z0 - Zi）的表達(dá)式如表5-2。表5-1i顏色ai0W(1-c)(1-m)(1-y)(1-k)1Cc(1-m)(1-y) (1-k)2Mm(1-c)(1-y) (1-k)3Yy(1-c)(1-m) (1-k)4R（ym）ym(1-c) (1-k)5G（yc）yc(1-m) (1-k)6B（mc）mc(1-y) (1-k)7Bk（cmy）cmy(1-k)8K(1-c)(1-m)(1-y)k9K+Cc(1-m)(1-y) k10K+Mm(1-c)(1-y) k11K+Yy(1-c)(1-m)

20、k12K+R（kym）ym(1-c)k13K+G（kyc）yc(1-m) k14K+B（kmc）mc(1-y) k15K+Bk（kcmy）cmyk表5-2iifi（X0-Xi），Y、Z形式相同1c(X0-X1)2m(X0-X2)3y(X0-X3)4ym(X0-X4)- (X0-X2)- (X0-X3)5yc(X0-X5)- (X0-X1)- (X0-X3)6mc(X0-X6)- (X0-X1)- (X0-X2)7cmy(X0-X7)- (X0-X4)- (X0-X5)- (X0-X6)+ (X0-X1)+ (X0-X2) + (X0-X3)8k(X0-X8)9ck(X0-X9)- (X0-X1

21、)- (X0-X8)10mk(X0-X10)- (X0-X2)- (X0-X8)11yk(X0-X11)- (X0-X3)- (X0-X8)12ymk(X0-X12)- (X0-X4)- (X0-X10)- (X0-X11) + (X0-X2) + (X0-X3) + (X0-X8)13yck(X0-X13)- (X0-X5)- (X0-X9)- (X0-X11)+ (X0-X1) + (X0-X3) + (X0-X8)14mck(X0-X14)- (X0-X6)- (X0-X9)- (X0-X10)+ (X0-X1)+ (X0-X2) + (X0-X8)15cmyk(X0-X15)- (X0

22、-X7)- (X0-X12)- (X0-X13) - (X0-X14)- (X0-X1) - (X0-X2) - (X0-X3)-(X0-X8)+ (X0-X4)+ (X0-X5) + (X0-X6) + (X0-X9)+ (X0-X10) + (X0-X11)表中第1-3項(xiàng)和第8項(xiàng)對(duì)應(yīng)單色印刷，第4-6和第9-11項(xiàng)是雙色印刷，第7和第12-14項(xiàng)是三色印刷，第15項(xiàng)是四色印刷。值得注意的是，單色印刷時(shí)的表達(dá)式對(duì)網(wǎng)點(diǎn)面積是線性的。對(duì)于dot on dot打印機(jī)，在紙上形成的顏色為：白紙網(wǎng)點(diǎn)面積：1 - a1三刺激值：X0 、Y0 、Z0色1網(wǎng)點(diǎn)面積：a1 a2三刺激值：X1、 Y1 、Z11

23、+2色網(wǎng)點(diǎn)面積：a2 a3三刺激值：X2、 Y2 、Z21+2+3色網(wǎng)點(diǎn)面積：a3三刺激值：X3 、Y3、 Z3X = （1 - a1）X0 + （a1 a2）X1 + （a2 a3）X2 + a3 X3Y = （1 - a1）Y0 + （a1 a2）Y1 + （a2 a3）Y2 + a3 Y3Z = （1 - a1）Z0 + （a1 a2）Z1 + （a2 a3）Z2 + a3 Z3化簡后將上式寫成三色dot on dot印刷時(shí)Neugebauer方程的矩陣形式：=（5-2）其中，a1a2a3 ，這a1 = max(c,m,y) , a2 = mid(c,m,y)，a3 = min(c,m,

24、y) 。X0 、Y0 、Z0是白紙的三刺激值，X1 Y1 Z1是最大網(wǎng)點(diǎn)的單色三刺激值，X2 Y2 Z2是最大和第二色疊印的三刺激值，X3 Y3 Z3是第二和第三色疊印的三刺激值。由此可見，對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)模型，顏色的計(jì)算是線性方程組求解，計(jì)算更加簡單。5.3 Neugebauer方程的求解在使用紐介堡方程計(jì)算打印機(jī)和印刷品顏色時(shí)會(huì)遇到兩種情況：1. 已知網(wǎng)點(diǎn)百分比cmyk，計(jì)算打印或印刷顏色（正向計(jì)算）；2. 已知需要打印的顏色XYZ，求該顏色所需要的油墨網(wǎng)點(diǎn)面積百分比（反向求解）。對(duì)于前者，可以將網(wǎng)點(diǎn)面積代入方程直接計(jì)算出得到的顏色。但對(duì)于第二種情況，需要用數(shù)值解法求解非線性方程組。但對(duì)于dot

25、 on dot打印機(jī)，無論是哪種情況都?xì)w結(jié)為計(jì)算線性方程組，只是要注意處理好各色網(wǎng)點(diǎn)面積之間的關(guān)系。一般來說，反向求解Neugebauer方程要使用牛頓迭代法。令：或（5-3）(k)根據(jù)牛頓法公式，對(duì)于第k次迭代有：+ = （5-4）左邊第一項(xiàng)是Fi在第k次迭代的結(jié)果cmy時(shí)的取值，第二項(xiàng)是Fi偏導(dǎo)數(shù)在第k次迭代結(jié)果的cmy時(shí)的取值，c、m、y是第k次迭代求出的網(wǎng)點(diǎn)面積修正量。第k+1次迭代時(shí)的代入值為：c(k+1) = c(k) +c(k) , m(k+1) = m(k) +m(k) , y(k+1) = y(k) +y(k)（5-5）第一次迭代的初始值可以選：c(0) = 1 - X/X0

26、 , m(0) =1 - Y/Y0 , y(0) = 1 - Z/Z0（5-6）XYZ為待計(jì)算顏色值，X0 Y0 Z0為白紙的三刺激值。使用牛頓迭代法的本質(zhì)是將非線性方程組化為線性方程組求解。但對(duì)于紐介堡方程組，可以根據(jù)實(shí)際的物理意義來近似成線性方程組來求解。若近似認(rèn)為印刷品的顏色主要由油墨網(wǎng)點(diǎn)并列印刷形成，忽略疊印形成的二次色和三次色作用，則方程組化為線性方程組。由表5-2可知，方程組為：或?qū)懗删仃囆问剑海?-7）（5-7）式至少在高和中調(diào)范圍是成立的，隨著墨量的增加，疊印率增加，（5-7）式的誤差越大。對(duì)（5-7）式兩端求導(dǎo)，可以得到顏色誤差值與網(wǎng)點(diǎn)修正量之間的近似關(guān)系：（5-8）用（5-

27、8）式代替牛頓迭代法中的（5-4）式，就可以得到方程的解。5-4 黑版的設(shè)置黑版在四色印刷中起著非常重要的作用，因此黑版墨量控制的準(zhǔn)確與否，對(duì)印刷的效果影響甚大。當(dāng)用紐介堡方程計(jì)算四色印刷顏色時(shí)，三個(gè)方程有四個(gè)未知數(shù)，方程組有無窮解，因此必須有額外的約束條件。通常是根據(jù)黑版與其它色版之間的關(guān)系確定黑版，消去一個(gè)未知數(shù)。確定黑版的方法一般有兩種：方法一：根據(jù)圖像的情況，事先確定黑版曲線。方法二：先不考慮黑版，用三原色計(jì)算出給定XYZ值時(shí)對(duì)應(yīng)的三基色網(wǎng)點(diǎn)cmy，然后按一定的關(guān)系產(chǎn)生黑版。如按下面的關(guān)系：（5-9）5-5 RGB打印機(jī)大多數(shù)噴墨打印機(jī)雖然使用CMYK四色油墨，但使用的驅(qū)動(dòng)都是RGB值

28、。即使是打印CMYK模式圖像，也要先將CMYK轉(zhuǎn)換成RGB，因此直接打印CMYK圖像的效果不如打印RGB圖像的效果好。將CMYK準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換成RGB，要使用Profile中的查找表。彩色噴墨打印機(jī)的Profile中一般是RGB>LAB或XYZ，由打印驅(qū)動(dòng)再轉(zhuǎn)換成打印墨量。作為一種近似計(jì)算，可按下式轉(zhuǎn)換：（5-10）這里假設(shè)rgb與cmy是完全的互補(bǔ)色，并且使用完全的灰色成分替代。對(duì)于不完全替代可使用類似式（5-9）系數(shù)p。5-6 網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大量的計(jì)算通常，在計(jì)算印刷網(wǎng)點(diǎn)面積和網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大量時(shí)使用密度計(jì)算法，也就是要使用瑪瑞戴維斯（Murray-Davies）公式：（5-11）或尤拉尼爾森（Yule-

29、Nielson）公式：其中，a為階調(diào)密度為Dt時(shí)的單色原色油墨網(wǎng)點(diǎn)面積率，Do為印刷實(shí)地密度，n為尤拉尼爾森修正系數(shù)，作用是提高瑪瑞戴維斯的計(jì)算準(zhǔn)確性，其取值與承印物性質(zhì)、加網(wǎng)線數(shù)等因素有關(guān)（見Neugebauer方程的修正一節(jié)中Yule-Nielson指數(shù)修正的討論）。因此，用密度值控制印刷的條件非常方便。但使用密度計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)面積也有一個(gè)限制，即只能測(cè)量單色原色油墨的密度，密度測(cè)量對(duì)專色印刷的控制會(huì)出現(xiàn)問題。（為什么彩色密度計(jì)只能測(cè)量單色原色油墨的密度，而不能測(cè)量專色和疊印的顏色？）根據(jù)顏色迭加原理，單色印刷時(shí)的顏色具有線性關(guān)系，右圖示意出X刺激值的迭加關(guān)系，對(duì)于Y和Z刺激值具有同樣的關(guān)系。其

30、三刺激值的關(guān)系可以表示為：（5-12）其中，ac為三刺激值為X、Y、Z時(shí)對(duì)應(yīng)的單色原色油墨網(wǎng)點(diǎn)面積率，Xo、Yo、Zo為白紙的三刺激值，Xc、Yc、Zc為原色油墨實(shí)地的三刺激值。從圖中可以看到，單色印刷時(shí)，如果沒有網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大，印刷顏色為白紙和原色油墨顏色的線性迭加，三刺激值與網(wǎng)點(diǎn)面積率的關(guān)系是一條直線。實(shí)際中，只要計(jì)算式（5-12）中的一個(gè)表達(dá)式就可以得到網(wǎng)點(diǎn)面積率。但對(duì)于不同的顏色，由（5-12）中的三個(gè)表達(dá)式計(jì)算出的結(jié)果不完全相同，因此最好使用三式計(jì)算結(jié)果的平均值。為此，將式（5-12）改寫成如下形式：將三式的左右兩端相加并整理，得到：（5-13）作為計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)面積率的公式。如果測(cè)量出原色油墨

31、實(shí)地、白紙和某一個(gè)階調(diào)的顏色值，就可以用（5-13）式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)點(diǎn)面積。當(dāng)有網(wǎng)點(diǎn)面積擴(kuò)大時(shí)，印刷顏色就不再是白紙和原色油墨三刺激值的線性迭加，成為一條弧線，如右圖所示。其中，用a0表示無網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的網(wǎng)點(diǎn)面積，即直線上的網(wǎng)點(diǎn)面積（印版上的網(wǎng)點(diǎn)面積），ac表示實(shí)際測(cè)量的網(wǎng)點(diǎn)面積。顯然，網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大量為：由此可得到任意階調(diào)時(shí)的網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大量，從而代替用密度測(cè)量的方法。使用色度計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)面積方法的最大好處是，它不僅可以針對(duì)四色印刷原色油墨，而且可以計(jì)算任意專色油墨的網(wǎng)點(diǎn)面積。5-7 Neugebauer方程的修正由于印刷呈色關(guān)系的復(fù)雜性，Neugebauer方程計(jì)算結(jié)果不可能很精確，還需要進(jìn)行修正。修正的方法

32、有多種，下面是常用的幾種。1. 網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大修正影響印刷效果最大的因素是網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大，因此首先應(yīng)對(duì)網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大進(jìn)行修正。實(shí)際計(jì)算表明，在高光和暗調(diào)區(qū)域，計(jì)算的誤差較小，而在中間調(diào)的誤差大，其規(guī)律與網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的規(guī)律一致，說明網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大在計(jì)算中起很大作用。另一方面，雖然計(jì)算誤差可能由多方面原因組成，但可以假設(shè)紐介堡方程嚴(yán)格成立，其它所有誤差都?xì)w結(jié)為網(wǎng)點(diǎn)誤差變化引起的。對(duì)于單色梯尺測(cè)量出各梯級(jí)的顏色與網(wǎng)點(diǎn)值，代入紐介堡方程計(jì)算，并計(jì)算出測(cè)量值與計(jì)算值的差，得到如圖的誤差曲線。將此誤差曲線作為修正量。誤差網(wǎng)點(diǎn)面積%在使用紐介堡方程計(jì)算顏色時(shí)，應(yīng)該按如下方法修正誤差：a. 當(dāng)已知網(wǎng)點(diǎn)面積cmyk，計(jì)算印刷顏色時(shí)，計(jì)算結(jié)

33、果不包含網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大，而測(cè)量該網(wǎng)點(diǎn)印刷得到的顏色時(shí)，測(cè)量結(jié)果包含網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的作用，因此若將二者進(jìn)行比較時(shí)，必須將計(jì)算結(jié)果加上網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的作用，或者將計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)面積加上網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大量，即使用“計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)值”+“網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大值”計(jì)算，才能等于顏色測(cè)量值。b. 當(dāng)已知顏色測(cè)量值，計(jì)算該顏色對(duì)應(yīng)的網(wǎng)點(diǎn)值時(shí)，由于測(cè)量值已經(jīng)包含了網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的作用，計(jì)算出的網(wǎng)點(diǎn)值必然比實(shí)際值大，即“實(shí)際網(wǎng)點(diǎn)值”=“計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)值”-“網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大值”。2. Yule-Nielson指數(shù)修正考慮到光線在紙張內(nèi)部的多次反射作用，在Neugebauer方程中增加指數(shù)1/n，方程改為：（5-11）由于n值與印刷材料、加網(wǎng)線數(shù)等因素有關(guān)，一般在1.2-5.0之間

34、，而且通常三個(gè)方程的n值也不相同，實(shí)際中很難準(zhǔn)確確定，通常只能通過實(shí)驗(yàn)法或優(yōu)化法確定。增加指數(shù)后方程組的求解更加困難，一般有如下幾種求解方法：a. 最簡單的方法可以通過對(duì)單色梯尺進(jìn)行優(yōu)化來確定n值。計(jì)算時(shí)，可將單色梯尺的測(cè)量值和對(duì)應(yīng)的網(wǎng)點(diǎn)值代入（5-11），使用最小二乘法求出最佳的n值。但是，這樣求出的n值不包含疊印的效果，修正作用不好。b. n值掃描法。首先設(shè)定一個(gè)n值，代入（5-11），計(jì)算對(duì)應(yīng)cmyk網(wǎng)點(diǎn)時(shí)的顏色值，以一定間隔的步長改變n值，重復(fù)計(jì)算，找出當(dāng)誤差最小時(shí)對(duì)應(yīng)的n值。c. 先計(jì)算n=1時(shí)測(cè)量三刺激值Xi、Yi、Zi對(duì)應(yīng)的網(wǎng)點(diǎn)值ci、mi、yi，然后將網(wǎng)點(diǎn)值作為已知條件，再用這

35、些顏色值和網(wǎng)點(diǎn)值單獨(dú)對(duì)n值進(jìn)行優(yōu)化。也就是說，先減少變量。d. 將Xi、Yi、Zi與網(wǎng)點(diǎn)面積ci、mi、yi一起進(jìn)行優(yōu)化。這種計(jì)算方法難度最大。3. Cellular修正法（分段法）此方法將cmyk顏色空間分割成若干個(gè)子空間，即增加更多的Neugebauer Primaries，如增加50%網(wǎng)點(diǎn)面積的顏色作為基色。對(duì)于三色印刷，增加50%網(wǎng)點(diǎn)基色時(shí)，基色總數(shù)成為誤差網(wǎng)點(diǎn)面積%33=27個(gè)，四色印刷時(shí)基色總數(shù)成為34=81個(gè)，分割的子空間數(shù)分別為（3-1）3=8和（3-1）4=16。若增加25%、50%和75%三個(gè)點(diǎn)，則基色數(shù)變?yōu)?3=125個(gè)和54=625個(gè)，子空間數(shù)分別為（5-1）3=64和

36、（5-1）4=256，測(cè)量數(shù)據(jù)大大增加。Cellular修正法相當(dāng)于增加了節(jié)點(diǎn)數(shù)目，將節(jié)點(diǎn)上的誤差降為0，因此誤差曲線變?yōu)橛覉D所示。如果測(cè)量的節(jié)點(diǎn)數(shù)足夠多，則從數(shù)值計(jì)算的角度來說可以將誤差降低。但從實(shí)用的角度出發(fā)，節(jié)點(diǎn)多則大大增加測(cè)量工作量和計(jì)算量，不可取。下面僅以增加50%網(wǎng)點(diǎn)基色為例來討論。在C、M、Y坐標(biāo)軸各增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，把原來的CMY色空間分割成8個(gè)子空間，如圖所示。在使用Cellular修正法計(jì)算時(shí)，計(jì)算的公式仍然是一般的紐介堡方程，但有兩點(diǎn)改變：a. 首先需要確定待計(jì)算顏色落在哪個(gè)子空間中，此時(shí)必然有：clccu，mlmcmymymu，ylyyu；b. 修改公式中網(wǎng)點(diǎn)面積的計(jì)算：y

37、cy cmm0.5yc00.5m(5-12)0.5c右圖很好地解釋了CMY色空間和紐介堡方程的幾何意義。三個(gè)坐標(biāo)軸分別代表三種原色油墨的網(wǎng)點(diǎn)比例，兩種原色的混合色位于兩原色坐標(biāo)軸確定的平面內(nèi)，三色印刷得到的任何顏色的網(wǎng)點(diǎn)比例都可以用從原點(diǎn)出發(fā)的矢量描述，也可以理解為是8個(gè)頂點(diǎn)的基色加權(quán)平均值，而權(quán)重值為網(wǎng)點(diǎn)面積cmy的函數(shù)。而Cellular修正法是在顏色子空間中用矢量表示網(wǎng)點(diǎn)比例，矢量的起點(diǎn)是不僅僅是坐標(biāo)原點(diǎn)，還可以是子空間的起點(diǎn)。也可以理解為是子空間8頂點(diǎn)顏色值的加權(quán)平均值，權(quán)重是式（5-12）描述的cmy的函數(shù)。Cellular修正法雖然從數(shù)值計(jì)算上可以減小誤差，但并不是一種最好的方法。

38、首先，該方法不是從呈色機(jī)理上消除計(jì)算誤差。其次，增加計(jì)算和測(cè)量工作量。從印刷呈色機(jī)理上說，無論用何種修正方法，都應(yīng)該首先消除網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大的影響，其次才能從數(shù)值計(jì)算上設(shè)法減小誤差。6. 顏色的光譜計(jì)算6.1 印刷品顏色計(jì)算的基本公式設(shè)反射樣品的光譜反射率為（），照明光源的相對(duì)光譜功率分布為S（），則該樣品的CIE三刺激值X、Y和Z為：X = kY = k（1）Z = k圖1. 油墨吸收光的示意圖其中x（）、y（）和z（）為CIE 1931標(biāo)準(zhǔn)觀察者函數(shù)。對(duì)于印刷品，（）由油墨的透射率（）和紙張的反射率w（）構(gòu)成。如圖1所示，照明光照射在印刷品上，穿過油墨層，由紙張將透射光反射回來，再次穿過油墨層，相

39、當(dāng)于經(jīng)過油墨的兩次吸收。根據(jù)布格-朗伯定律，油墨對(duì)照明光的吸收作用等于雙倍墨層厚度的吸收： （） = w（）e-2Cd（2）式中d為油墨的厚度，C為油墨的吸收率，一般為波長的函數(shù)，w（）為紙張的吸收率。顯然，當(dāng)油墨網(wǎng)點(diǎn)或油墨厚度為0時(shí)，總反射率等于紙張的反射率。定義2Cd為油墨層的總吸收率A，對(duì)式（2）取對(duì)數(shù)，就可以得到油墨層總的吸收率A=-ln(（）/w（）)。因此，單純油墨層的光譜透射率為（）=（）/w（） ，則印刷品的總光譜反射率（）=（）w（） 。將上面的結(jié)果代入式（1），就可以得到計(jì)算印刷品三刺激值的一般表達(dá)式：X = kY = k（3）Z = k對(duì)印刷品顏色進(jìn)行光譜分析，也就是對(duì)上

40、式的被積函數(shù)進(jìn)行分析。由于積分的本質(zhì)是求和的過程，根據(jù)積分的性質(zhì)，顏色的疊加過程就是被積函數(shù)相互作用的結(jié)果。通常認(rèn)為印刷品的呈色過程是由油墨對(duì)光進(jìn)行吸收的減色過程，和網(wǎng)點(diǎn)色光加色混合共同形成的，通過顏色的光譜分析，可以進(jìn)一步探討印刷品呈色的機(jī)理，理解呈色的過程，驗(yàn)證實(shí)際測(cè)量與理論計(jì)算的符合程度，從更深的層次探討油墨印刷適性產(chǎn)生的光學(xué)特性。6.2 單色油墨印刷的光譜分析設(shè)黃、品紅和青三種原色油墨實(shí)地的光譜反射率為y（）、m（）和c（），根據(jù)上面的討論，對(duì)應(yīng)的油墨光譜透射率為：y（）=y（）/w（）m（）=m（）/w（）(4)c（）=c（）/w（）根據(jù)顏色相加原理和油墨對(duì)光的吸收過程，可以推導(dǎo)出任

41、意網(wǎng)點(diǎn)面積a時(shí)印刷品的光譜反射率ty（）、tm（）和tc（）：ty（）= ay（）+(1-a)w（）tm（）= am（）+(1-a)w（）(5)tc（）= ac（）+(1-a)w（）式（5）的符合程度可以很容易地用實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。為此，測(cè)量三原色單色梯尺各梯級(jí)的光譜反射率。測(cè)量儀器為X-Rite Digital SwatchBook，照明觀察條件為45/0，D65光源，2º視場(chǎng)。測(cè)量時(shí)，樣張下面始終墊一層黑紙，以減少底色對(duì)測(cè)量的影響。測(cè)量值是三次測(cè)量的平均值。(b)(c)(a)圖2. 三原色油墨梯尺的計(jì)算結(jié)果(a)：青 (b)：品紅 (c)：黃由式（5）計(jì)算的結(jié)果如圖2所示。圖中最上面

42、的曲線是白紙的光譜反射率，下面依次為20%、50%、80%和實(shí)地的光譜反射率。實(shí)線代表實(shí)地樣品、80%、50%和20%網(wǎng)點(diǎn)面積的測(cè)量值，“+”線是式（5）中a=1、a=0.8、a=0.5和a=0.2計(jì)算值。從圖2的曲線可以看出，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的曲線形狀和變化趨勢(shì)相同，但曲線的吻合程度不好。對(duì)計(jì)算過程和數(shù)據(jù)分析可以發(fā)現(xiàn)，誤差來源主要是因?yàn)橛?jì)算時(shí)沒有考慮印刷網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大造成的1。為此，測(cè)量出相應(yīng)梯級(jí)的三刺激值，列在表2中，用色度法計(jì)算各梯級(jí)的網(wǎng)點(diǎn)面積1：a = （X0 + Y0 + Z0 - X - Y - Z）/（X0 + Y0 + Z0 - XC - YC - ZC）（6）式中X0 、Y0 和Z0

43、是白紙的三刺激值，XC 、YC和ZC是實(shí)地原色油墨的三刺激值，X 、Y和Z為各梯級(jí)的三刺激值。用式（6）計(jì)算出各梯級(jí)的實(shí)際網(wǎng)點(diǎn)值，代入式（5）中，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。圖3中各曲線的意義與圖2相同。從圖3中的曲線可以看出，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值非常一致，說明單色油墨印刷的顏色完全符合顏色相加的規(guī)律。經(jīng)過網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大修正以后仍然存在的誤差表明，網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大不僅是網(wǎng)點(diǎn)面積的函數(shù)，還與波長和顏色有關(guān)。表1 紙張和三原色油墨的三刺激值顏 色白紙YMC三刺激值X82.1262.2532.0315.22Y86.0769.8815.9321.32Z91.909.4227.7762.60(b)(c)(a)圖3. 三原色油墨梯尺修正后的結(jié)果(a)：青 (b)：品紅 (c)：黃6.3 雙