圓中垂徑定理

1、24.124.1垂徑定理垂徑定理河北黃驊新世紀(jì)中學(xué)初三數(shù)學(xué)組王老師制作河北黃驊新世紀(jì)中學(xué)初三數(shù)學(xué)組王老師制作2010.10.9.2010.10.9.問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.27.2m m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的

2、半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ OABCDE把一個圓沿著它的任意一條直把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸在直線都是它的對稱軸如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭?/p>

3、么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？OABCDE活活 動動 二二（1 1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CDCD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE?。?，弧：，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，兩側(cè)的兩個半圓重合，點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦平分弦

4、（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧所對的兩條弧即即，AM=BM,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂徑定理：垂徑定理：推論：推論：判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的平分弧的直徑必平分弧所對的( ) ( ) 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 ( )( )垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦( ) ( ) 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦( ) ( ) 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的

5、直徑 ( )( )平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦( ) ( ) 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 ( )( )解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.927.9m.m.OA2=AD2+OD2, 7 .184 .372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖

6、中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高解：解：1 1如圖，在如圖，在O O中，弦中，弦ABAB的長為的長為8 8cmcm，圓心，圓心O O到到ABAB的距離為的距離為3 3cmcm，求，求O O的半徑的半徑OABE練習(xí)練習(xí)解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5c

7、m.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. 某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為寬度為.2 m .2 m ，過，過O O 作作OC OC AB AB 于于D D， 交圓弧交圓弧于于C C，CD=2.4mCD=2.4m， 現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3m3m，船艙頂部為方，船艙頂部為方形并高出水面（形并高出水面（ABAB）2m2m